Xを完全正則とする。
Z(X)={f^{-1}(0)|f:X→R連続関数}と置く(ゼロ集合全体の集合)。
M(X):={F⊆Z(X)＼{空}|FはZ(X)＼{空}の⊆の意味での極大フィルター}
M(X)に位相を定める:
Z∈Z(X)に対して、U_Z:={F∈M(X)|Z∈Fではない}と置き、O:=(U_Z全体によって生成される位相)と置く。
(この時、(U_Z全体)はOの基底になっている。)

この時、(M(X),O)はXのCech-Stoneコンパクト化であることを示したい。

これがコンパクトであることは証明できましたが、ハウスドルフであることの証明がわかりません。
Grokに聞いても何の参考にもならない嘘証明を言われるばかり。
お力を貸していただきたいです。