>>100
(引用開始)
>圏論を使うとZFCの一階しばりでなく
>高階が使えるという 利点もある らしい
ZFC集合論使おうが、ZFCG集合論で圏論使おうが
一階述語論理上で公理化可能な理論であるかぎり
一階述語論理の完全性定理から抜け出せないけどな
(引用終り)

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
赤ペン先生だけはしておこう ；ｐ）
下記”Gödel's completeness theorem”
解説は下記の通り
『完全性定理は一階論理の中心的な性質ですが、すべての論理に当てはまるわけではありません。例えば、二階論理は、その標準的な意味論については完全性定理を持ちません』
『これはすべての高階論理にも当てはまります。高階論理に対して健全な演繹体系を構築することは可能ですが、そのような体系は完全ではありません。』

百回音読しよう！！ｗ　；ｐ）

https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem
Gödel's completeness theorem
(google訳)
結果
完全性定理の重要な結果は、理論の公理から可能な形式的演繹をすべて列挙することによって、任意の有効な第一階理論の意味的帰結を再帰的に列挙し、これを使用して結論の列挙を生成することが可能であるということです。
また、これにより、「証明可能性」の概念、つまり「定理」の概念が、証明システムの選択ではなく、理論の公理の選択されたシステムのみに依存する明確な概念になります。

不完全性定理との関係
ゲーデルの不完全性定理は、数学におけるあらゆる第一階理論において証明できる内容には固有の限界があることを示しています。
The "incompleteness" in their name refers to another meaning of complete (see model theory – Using the compactness and completeness theorems): A theory
T is complete (or decidable) if every sentence
S in the language of T is either provable (T⊢S) or disprovable (T⊢¬S).
コンパクト性定理との関係
完全性定理とコンパクト性定理は、一階述語論理の二つの基礎となる定理です。どちらの定理も完全に効果的な方法で証明することはできませんが、一方は他方から効果的に導き出すことができます。
他の論理における完全性
完全性定理は一階論理の中心的な性質ですが、すべての論理に当てはまるわけではありません。例えば、二階論理は、その標準的な意味論については完全性定理を持ちません（ただし、ヘンキン意味論については完全性を持ちます）。また、二階論理における論理的に有効な式の集合は再帰的に列挙できません。これはすべての高階論理にも当てはまります。高階論理に対して健全な演繹体系を構築することは可能ですが、そのような体系は完全ではありません。
完全性定理は、クリプキ意味論に関して様相論理または直観論理に対して証明できます。