Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 75

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 74
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1755784703/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
About the study of IUT by Ivan Fesenko http://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/rapg.pdf https://ivanfesenko.org/?page_id=80
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

>>338
>このレベルの文章の意味すら(読み)とれないのか

まあ、そんなエテ公でも日本の大学の入学試験は受かるってことだよ

でも大学１年の数学では、そんなヤツは数学書も読めないから落第する

当然だね。要するに国語力、論理を読み取る力がない
まあ、日本の国語教育はそういうことを全く教えないからな
当人が意識して努力しないかぎり、まったく身につかないだろ

そういう奴はもう碁でも打ってろって感じ
囲碁とか将棋とかは、別に文章読解力要らないからさ
あんなの理屈が分からんエテ公でもできるのよ（笑）
そんなことが得意だからといってヒトになれるわけでもない
逆にヒトが将棋囲碁ニガテでも別に問題ない

>>340
>なるほど・・・メモメモ （＾＾
>藤田 博司先生の話は、分かり易い

大学教授を先生と呼ぶ奴はただ媚び諂ってるだけ
いってることを全く理解できないのに
「分り易い」とおべんちゃらいう

エテ公って哀しいね

>>341-342
>>For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
>>Vβ+1:=P(Vβ),

そこ >>337に書いたけど
en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
が バグっているかもしれん
なので、撤回するよ
ja.wikipediaの方が正しいかも

(引用開始)
>2）要するに GCHは ZFCの内部の話で、巨大基数はZFCの外の話です
まるで嘘なんですが・・・・
ZFCに巨大基数が有っても無くてもどちらもあり得るのですが
ZFCの上で公理UとGCHは両立しないことが証明されてますよ
(引用終り)

1）”ZFCの上で公理UとGCHは両立しないことが証明されてます”は、何の反論にもなっていない
　即ち、GCHも 巨大基数も ZFC公理系からは 独立で そのままではZFCから導けはしない
2）巨大基数は、ノイマン宇宙の外だから 到達不能（以上）なので 導けない
　一方、GCHとは 一般連続体仮説であって
　例えば
　基数で 可算無限 自然数N＝ℵ0で、連続体（実数）R＝2^N で
　ℵ0とR＝2^Nの間には 順序数は存在すれど 基数は存在しないという主張だね
　いま、ℵ0とR＝2^Nの間にあるとする基数を 仮に ”不純物基数”と 名付ける
　つまり、連続体仮説を採用しないと ZFCままでは ”不純物基数”が 存在するわけだ
　連続体仮説 は、 ”不純物基数”を排除するってことだね
3）『ZFCの上で公理UとGCHは両立しないことが証明されてますよ』かよ
　その議論は めんどうなので、こちらとしては 「両立しないならば、GCHは捨てる」ってこと■

>>345
>>「ベン図の宇宙 Uven」
>>なんだよこれ🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣
>下記だね
>「ある特定の文脈においておそらく最も単純なバージョンは、
>研究対象が特定の集合で閉じている限り、任意の集合が宇宙であるというものである。
>この宇宙の概念はベン図の使用に反映されている。
>ベン図において、作用は伝統的に宇宙 U を表す大きな四角形の内部に生じる。」

それ
Vβ+1=P(Vβ)
というたった１段階の話でしかないね（笑）

Vβはベン図の点の全体
Vβ+1はベン図の丸（というか点の集合）の全体

もうね、どうせそんなハナクソみたいな話だと思ったよ
別にハナクソだから悪いとはいってないよ
◆yH25M02vWFhPがダメなのはハナクソからちょっとも進歩しない点
つまり「スモールピクチャー」（例えばベン図（笑））にとどまってる点
全然「ビッグピクチャー」に到達しない

有限主義者のエテ公にとって、
無限を扱う大学数学は
永遠に到達不能でしたぁ！（笑）

>>347
>＞en.wikipedia ”Vβ+1:=P(Vβ)”は、間違いだね
>＞ja.wikipedia Vα:=⋃β<αP(Vβ)が正しい
>いや間違ってないけど

間違っているよ
βは順序数だから いまN=ω＝{0,1,2,・・・}を取ると
ω+1={0,1,2,・・・,ω}となるが
一方 P(N=ω)＝2^N だから
”Vβ+1:=P(Vβ)”の反例が構成できた
一方、ja.wikipediaでは Vα:=⋃β<αP(Vβ) と そこら（”β+1”は まずい）
をぼかしているから
ja.wikipediaは 正しい

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
Definition
The cumulative hierarchy is a collection of sets Vα indexed by the class of ordinal numbers; in particular, Vα is the set of all sets having ranks less than α. Thus there is one set Vα for each ordinal number α. Vα may be defined by transfinite recursion as follows:
略
For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
Vβ+1:=P(Vβ),
which contains all elements of Vβ (and of course all subsets of Vβ).

ところで、◆yH25M02vWFhPのことを
これから「かっきー」と呼ぶことにするわ（笑）
理由は、なにかというと「下記」というから

残念なことに乃木坂の「かっきー」と違って
全然可愛くないけどな（笑）
https://www.youtube.com/watch?v=hp9QXhUI3Kw

>>351
>Vβはベン図の点の全体
>Vβ+1はベン図の丸（というか点の集合）の全体

いや、そういう話ではなく 用語”宇宙”が 多義だってこと
このベン図の全体U=宇宙 の話は
望月IUTが発表された 2012年のころ
”宇宙”ってなんだ？ の議論で
だれかが、”ベン図の全体U=宇宙”？ みたいに書いていたよ
それを思い出しただけさ

まあ、IUTをチラ見したところでは
”ベン図の全体U=宇宙”に 毛の生えた程度じゃね？ ；ｐ）

査読され採用された論文でないなら理解を求めれるレベルでなく、論理構造の破れにしか過ぎない。

>>350 追加
(引用開始)
>2）要するに GCHは ZFCの内部の話で、巨大基数はZFCの外の話です
まるで嘘なんですが・・・・
ZFCに巨大基数が有っても無くてもどちらもあり得るのですが
ZFCの上で公理UとGCHは両立しないことが証明されてますよ
(引用終り)

それ、下記の google AI Overviewでは、
「宇宙公理「宇宙全体（Universe）の存在を仮定する」と連続体仮説（GCH: Generalized Continuum Hypothesis）のどちらとも両立しない、という主張は誤りです」
だってよ　（＾＾
少なくとも、「ZFCの上で公理UとGCHは両立しないことが証明されてます」は 偽っぽいぞ ；ｐ）

(参考)
google検索：ZFC 宇宙公理UとGCHは両立しない
AI Overview（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
ZFC集合論（Zermelo-Fraenkel集合論 with the Axiom of Choice）は、宇宙公理「宇宙全体（Universe）の存在を仮定する」と連続体仮説（GCH: Generalized Continuum Hypothesis）のどちらとも両立しない、という主張は誤りです。むしろ、ZFC公理系そのものに宇宙全体を仮定する公理Uは含まれておらず、GCHもZFCの公理から直接導き出されるものでも排斥されるものでもありません。
ZFC公理系について
「U」という名称の公理はない:ZFC公理系に「宇宙（Universe）の存在を仮定する」という名称の公理は存在しません。ZFCは集合そのものを扱う枠組みであり、集合の集合として「宇宙全体」という概念を特別に公理化する必要がないためです。
公理の数:ZFC公理系には、個々の集合に関する性質を定める8つの公理（または公理図式）が存在します。
GCHについて
連続体仮説の一般化:GCH（一般化された連続体仮説）とは、任意の無限集合の濃度（大きさ）と次の濃度の間の濃度は存在しない、とする仮説です。
GCHとZFCの関係:GCHは、ZFCの公理系とは独立した命題であり、ZFCの公理からは証明も反証もできないことが知られています。ZFC自体がGCHを肯定も否定もしません。
したがって、「ZFC 宇宙公理UとGCHは両立しない」という前提が、文脈として正しくない可能性が高いです。

>>355
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ さん
いつもありがとうございます。
今後ともどうかよろしくお願いいたします。

新しい論文も領地や繁殖可能性の裏付けがなくてはならない。

灰谷薫さん
これ面白い

https://note.com/haitani_kaworu_s/n/n665b84575734
第3章：ポストゲーデル時代の数学基礎論の迷走
灰谷薫
2025年5月31日
3.1 集合論的基礎（ZFC）への退却とその不完全性
Zermelo-Fraenkel公理系＋選択公理による「暫定的基盤」
ヒルベルトプログラムの破綻後、数学界は実用的な基礎として集合論に退却した。この選択は、数学的厳密性と実用性の妥協案として機能したが、根本的な問題を内包していた。

大基数公理の導入とその哲学的問題
独立性問題に対する一つの応答が、大基数公理の導入であった。

大基数公理の動機：
・ZFCの決定力向上：多くの独立的命題が解決
・数学の実際との整合性：既存定理の自然な基礎
・階層の統一性：体系的な基数理論の構築

集合論的基礎の「任意性」と「不完全性」
ZFC系の問題は、その根本的な「任意性」と「不完全性」にある。

実用主義的受容の問題：
現在のZFC受容は、主に実用主義的理由による：
・「うまく機能している」
・「矛盾が見つかっていない」
・「代替案がない」
しかし、これは真の基礎づけではない。ヒルベルトが求めた「絶対的確実性」とは程遠い妥協案に過ぎない。

「基礎の多元性」と統一理論の困難
ポストゲーデル時代の特徴は、統一的基礎の不在と「基礎の多元性」の常態化である。

実用的問題の深刻さ：
1. 教育面での困難：
・学生にとっての概念的混乱
・古典数学との用語の非互換性
・直観的理解との乖離
2. 数学的実践との断絶：
・既存定理の大幅な修正または破棄
・証明技法の根本的変更
・数学文献との非互換性

3.4 計算機科学的アプローチの限界

>>337
>Von Neumann universe
>Definition
>For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
>Vβ+1:=P(Vβ),
>(引用終り)

>まず、余談だが、en.wikipedia ”Vβ+1:=P(Vβ)”は、間違いだね
β+1は後続順序数だから何も間違ってない

>（一般連続体仮説を採用しないと 冪集合とったら β+1 いえない。というか βが基数としてもだが）
まったく読めてなくて草　こいつ超絶頭悪い

>>359 追加

下記「・類とセットの区別の恣意性」
は、頷ける
類とセットの区別は
どういう公理系を取るか？
その立場による

(参考)
https://note.com/haitani_kaworu_s/n/n665b84575734
第3章：ポストゲーデル時代の数学基礎論の迷走
灰谷薫
2025年5月31日

任意性の諸相：
2. 集合概念の曖昧性：
・類とセットの区別の恣意性

>>360
　>>337
>Von Neumann universe
>Definition
>For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
>Vβ+1:=P(Vβ),
>(引用終り)
>まず、余談だが、en.wikipedia ”Vβ+1:=P(Vβ)”は、間違いだね
β+1は後続順序数だから何も間違ってない
(引用終り)

順序数と基数と極限順序数 この3者の関係が理解できてないね、お主は
βの冪集合P(β)をとったら、βの基数が一つ以上あがる
それを 順序数に換算すると いくら上がるのか？は 不明だ
少なくとも +1 ではおさまらない

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていく

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E6%95%B0
基数とは、集合の濃度を測るために定義された自然数の一般化である
フォン・ノイマンの割り当て
任意の順序数 β に対し β < α ⇒ | β | < | α | を満たす順序数 α を始順序数 (initial ordinal) という[注釈 1]。このとき整列可能な集合 X に対して min{α∈ON :| α | = | X | } を濃度 | X | の始順序数という（ただし ON は順序数全体からなるクラス）。 整列可能な集合の濃度をその始順序数として定義することをフォン・ノイマンの割り当てという
このとき、順序数αに対して濃度| α |の始順序数がα自身であるならば、αは基数であるという。また、濃度が| α |に等しい集合Xについて、Xの基数はαであると言い、| X |=αと書く

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
0 でも後続順序数でもない順序数を言う
任意の順序数は、0 または後続順序数、さもなくば極限順序数である
フォンノイマン基数割り当て（英語版）を用いれば、任意の無限基数もまた極限順序数となる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
冪集合の濃度
S の部分集合 A とその指示関数
χA を対応づけることにより、冪集合 2S と S から {0, 1}[脚注 1]への写像全体のなす集合 Map(S, {0, 1}) =: {0 ,1}S が一対一に対応する
冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい（カントールの定理）。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される

>>347
>任意の順序数αに対してα=β+1となる順序数βが存在するとは限らない
>そしてそのようなβが存在しない順序数αを極限順序数という
α≠0なら

>>362
>>338を百回音読しろ

>>350
>en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
>が バグっているかもしれん
いやバグってるのは君の頭
何かがおかしいと思った時、真っ先に疑うべきはそう思った君の頭

>>350
>いま、ℵ0とR＝2^Nの間にあるとする基数を 仮に ”不純物基数”と 名付ける
>つまり、連続体仮説を採用しないと ZFCままでは ”不純物基数”が 存在するわけだ
はい、大間違いです。
>ZFCままでは ”不純物基数”が 存在する
ならZFC上で連続体仮説は偽。実際は決定不能命題だから間違い。
口から出まかせはやめようね

>>352
>間違っているよ
君がね

>βは順序数だから いまN=ω＝{0,1,2,・・・}を取ると
>ω+1={0,1,2,・・・,ω}となるが
>一方 P(N=ω)＝2^N だから
>”Vβ+1:=P(Vβ)”の反例が構成できた
君、自分が何を言ってるか理解してる？
”Vβ+1:=P(Vβ)”はVβ+1の定義なんだけど、定義の反例って何？

>一方、ja.wikipediaでは Vα:=⋃β<αP(Vβ) と そこら（”β+1”は まずい）
>をぼかしているから
>ja.wikipediaは 正しい
ぼかしてるから正しいは草
ぼかしてるんじゃなくて後続順序数と極限順序数で場合分けしてるだけ

>>338を百回音読しろ馬鹿

テレパシーで暗唱。口は災いのもと。

>>337
いろいろ書いてますが
>まず、余談だが、en.wikipedia ”Vβ+1:=P(Vβ)”は、間違いだね
間違いとかでなくて定義の一部
>ja.wikipedia Vα:=⋃β<αP(Vβ)が正しい
正しいとかいう話でも無くてこれで同値な定義ってことだけど？
ところで
これが「正しい」っていうか同値な定義だってのは理解できてる？
ちょっと証明して見せてくれないかな
>（一般連続体仮説を採用しないと 冪集合とったら β+1 いえない。というか βが基数としてもだが）
β＋1ってべき集合関係ないけど？

>>337　下っ記ー
>en.wikipedia ”V[β+1]:=P(V[β])”は、間違いだね
>ja.wikipedia V[α]:=⋃β<αP(V[β])が正しい

>>347　
>いや間違ってないけど

>>352　下っ記ー
>間違っているよ
>ω＝{0,1,2,・・・}を取ると
>ω+1={0,1,2,・・・,ω}となるが
>一方 P(N=ω)＝2^N だから
>”V[β+1]:=P(V[β])”の反例が構成でき・・・

ギャハハハハハハ！！！
正真正銘の🐎🦌
V[β]＝β、V[β＋1]＝β＋1、とか誤読する🐎🦌（笑）

下っ記ーは、そもそも
V[β]、P(V[β])、∪(β＜α)V[β]、∪(β＜α)P(V[β])、
の関係が分かってない（笑）

まず、無条件に
V[β]⊊P(V[β])

そしてα＝γ+1となるγが存在すれば
（つまりαがγの後続順序数であれば）
∪(β＜α)V[β]=V[γ]
∪(β＜α)P(V[β])=P(V[γ])=V[γ＋1]=V[α]

さらにα＝γ+1となるγが存在しなければ
（つまりαが極限順序数であれば）
∪(β＜α)V[β]=∪(β＜α)P(V[β])＝V[α]

だから確かに順序数αがどうであっても
V[α]=∪(β＜α)P(V[β])
であるが、だからといって
V[α]
=P(V[γ])　(α=γ+1の場合)
＝∪(β＜α)V[β]　(αが極限順序数の場合)
が否定されるわけではなく
実は両者は同値である

ああ、おかしい
下っ記ー　こんな基本的なことも分からんで
V[β]＝β、V[β＋1]＝β＋1、とか誤読するとか
もうヒトじゃなくエテ公だわ🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣

by　大くぼ●おり

>>369
>>（一般連続体仮説を採用しないと 冪集合とったら β+1 いえない。というか βが基数としてもだが）
>β＋1ってべき集合関係ないけど？
ああここは意図分かったかも？
GCHを仮定することで
Vβ＋1＝P(Vβ)
が「次の基数」を定義してるって思ってんじゃ無い？
それ違うよ
そもそもVβは基数でないし

x>0なる任意のxについて、x>x/2>0　であるが

1.1/2,1/4,…　と
1/2,1/4,1/8,…　は
同じく0に収束する

で、同様の理屈で
V[β]⊊P(V[β])
であっても
∪(β＜α)V[β]=∪(β＜α)P(V[β])
となる

しかし下っ記ーにはこんなことすらわからない

彼にとって無限を扱う大学数学は到達不能な別世界・・・

by　そろそろ数学板を卒業する予定の大くぼ●おり

下っ記ー遥かにとって、大学以降の現代数学は到達不能(inaccecssible)

誤　inaccecssible
正　inaccessible

>>367
すまん、おれが勘違いしていたよ ｍ（＿＿）ｍ

https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
The sets in V are divided into the transfinite hierarchy Vα , called the cumulative hierarchy, based on their rank.
Definition
For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
・Vβ+1:=P(Vβ),
For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
・Vλ:=⋃β<λVβ.
(引用終り)

これ ordinal number って、冪を取る回数なんだ
で、”the transfinite hierarchy Vα”で 無限回の冪を取る操作を モロ考えているんだ
てっきり、Vβ+1のordinal numberβ+1が 属する集合の特性で β+1と繋がっていると 勘違いしていた

上記の en.wikipediaのリンク先に
Finite and low cardinality stages of the hierarchy の例示があって
Vo：濃度0 空集合のみ
V1：濃度1 空集合を要素とする集合
V2：濃度2 空集合を要素とする集合と1
V3：濃度4=2^2
V4：濃度16=2^2^2
V4：濃度16=2^2^2
V5：濃度65536=2^16=2^2^2^2
V6：濃度2^65536=2^2^2^2^2
So the finite stages of the cumulative hierarchy cannot physically be written down explicitly after stage 5
The set Vω has the same cardinality as ω. The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.
Applications and interpretations
A simple argument in favour of the adequacy of Vω+ω is the observation that Vω+1 is adequate for the integers, while Vω+2 is adequate for the real numbers, and most other normal mathematics can be built as relations of various kinds from these sets without needing the axiom of replacement to go outside Vω+ω.
(引用終り)

Vωは、2の冪ではなく 和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方へ逃げるんだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vω は遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理を持たない集合論モデルである。Vω+ω はordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロ集合論のモデルである
(引用終り)

Vωは 無限公理があれば 集合になれる
なければ、集合ではない。だから ここで打ち止め
遺伝的有限は、帰納的有限集合とも言われる
”The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers.”で、2^Nに戻って 実数の濃度で
”A simple argument in favour of the adequacy of Vω+ω is the observation that Vω+1 is adequate for the integers, while Vω+2 is adequate for the real numbers, and most other normal mathematics can be built as relations of various kinds from these sets without needing the axiom of replacement to go outside Vω+ω.”
か
いやー、バカ読みしていました ｍ（＿＿）ｍ

>>375 訂正

V4：濃度16=2^2^2
V4：濃度16=2^2^2
　↓
V4：濃度16=2^2^2
（ダブり 一つ消す）

>>375
>すまん、おれが勘違いしていたよ ｍ（＿＿）ｍ

え？何が起きた？
◆yH25M02vWFhP が誤りを認めて謝った？
今まで一度だってそんなことしたことなかっただろ？
富士山噴火の前触れか？こわいこわい！

>これ ordinal number って、冪を取る回数なんだ
うん、そうだよ
まさか、今気づいた？

>てっきり、Vβ+1のordinal numberβ+1が 属する集合の特性で
>β+1と繋がっていると 勘違いしていた
この文章がなにいってんのかわかんない　ワードサラダ？

>Vωは、2の冪ではなく 和集合 Vλ:=⋃β<λVβ ・・・
ωの前者は存在しないからそうなるね

で、Vωは遺伝的有限集合の全体で、可算集合だよ
そして無限公理がない集合論のモデルの一つ

>Vωは 無限公理があれば 集合になれる
>なければ、集合ではない。だから ここで打ち止め

絶対に集合になれない、と思い込んでるなら誤りね

ただ集合であることは証明できないけど
集合であるとしてもよい
「無限公理を設定しても無矛盾」というのはそういうこと
無限”公理”であって、無限”定理”ではない。

>いやー、バカ読みしていました ｍ（＿＿）ｍ

うん、基礎知識ないのに、勝手に思い込むからバカになる
バカが利口ぶっても恥かくだけだからやめな
数学レベルが高卒の君に大学数学は無理よ
別に馬鹿にしてないよ　世の中の９割９分は馬鹿だから
いいじゃん、馬鹿でも死にやしないよ　安心したろ？
これからの人生　数学のことなんか忘れて　碁でも打ってな
碁を打つのに、文章が読める必要も、論理が分かる必要も、全くないから

よかったな！

「公理系から集合であることが証明できない」と
「公理系から集合でないことが証明できる」は
同値ではないよ

公理系が無矛盾である、という前提の上で、
後者から前者は導けるけどね
前者から後者は導けない

「公理系から集合であることが証明できない」かつ
「公理系から集合でないことも証明できない」ということはある

無限公理がそう
到達不能基数の存在公理もそう

無限公理がないからといって無限基数の存在が否定できるわけではない
到達不能基数の存在公理がないからといって到達不能基数の存在が否定できるわけではない

この当たり前のことが分かってないと
「無限公理がないから無限基数の存在の否定が証明できる！」
と大法螺吹いて焼死する

>>375
>Vωは、2の冪ではなく 和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方へ逃げるんだ
極限順序数のときはべきを取るべき前者が無いんだから取りたくても取れないやろ

>>375
>なければ、集合ではない
集合では無いとも言えないのでは？
巨大基数公理で存在が言われる集合は
公理が無ければ集合ではないのでは無くて
その存在が結論づけられないというだけ
自然数の全体も集合かどうか分からない
集合であるとは言えないぐらいで

>>380
そうですね
同意です

・巨大基数公理は、あったらいいな かも
　というか あって何が悪い かも （＾＾
・その存在が結論づけられない→否定も肯定もできない だろうが
　しかし、公理の視点では「勝手に集合を作るのはダメ！」だから
　集合にできないなら その公理系内では ”クラス”（類）扱い
・自然数の全体は集合であってほしい！
　代数学の立場としては・・
　自然数N→整数環Z→有理数体Q→(完備化)実数体R
　そして、イデアルなども導入できる
　デデキントなら、きっとそういうでしょう　（＾＾

>>379
>>Vωは、2の冪ではなく 和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方へ逃げるんだ
>極限順序数のときはべきを取るべき前者が無いんだから取りたくても取れないやろ

つーか
ZFC内に無限公理があるので
無限公理に乗せるには、和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方が 都合が良いのだろう
どう無限公理を使うかは すぐには分らないが

ともかく ”The set Vω has the same cardinality as ω”(>>375)
が言えれば
そこから また2^Vω を繰り返して 無限濃度を上げていけば良いだけ

しかし
”Vω+ω ”(>>375) とか言われてもね
無限集合の冪集合操作を 可算無限回繰り返す？

そう言われても
その正体はよく分らない　（＾＾

>>375-376
それで
・要するに、ノイマン宇宙Vは
　無限集合Vω（the same cardinality as ω）が出来て
　そのあと、冪集合の操作を可算無限繰り返して Vω+ω が出来て
　もちろん、”The set Vω+1 has the same cardinality as the set of real numbers”なので
　Vω+ωは、連続濃度より遙かに大きな集合で
　でも それで終わりではなく
　ずっと続く
・だが、それは到達可能基数の話で
　到達不能基数は、その上(ノイマン宇宙Vより上)ってことですね

>>383
>・だが、それは到達可能基数の話で
>　到達不能基数は、その上(ノイマン宇宙Vより上)ってことですね
なぜこの「結論」にこだわるのですかね？
グロタン宇宙が存在すれば
当然ですがノイマン宇宙の「中」にありますよ

>>381
>代数学の立場としては・・
>自然数N→整数環Z→有理数体Q→(完備化)実数体R
残念ながらその歴史は捏造
負数より分数や無理数(√2)や超越数(π)が生まれたほうが先
加法の逆元より乗法の逆元が生まれたほうが先だし
さらには連続性も加法の逆元より前に生まれている

自然数半環N→正の有理数半体Q＋→正の実数半体R＋（半直線）

負数や虚数の誕生はもっと後
算数のカリキュラムもそういう考えで構成されてる

>>381
＞公理の視点では「勝手に集合を作るのはダメ！」だから
＞集合にできないなら その公理系内では ”クラス”（類）扱い

「集合にできない」というのは
「集合だと証明できない」（１）ではなく
「集合だとすると矛盾する」（２）である

（１）から（２）は導けない

「集合の全体」は集合だとするとカントールのパラドックスに抵触するから矛盾
だから固有クラス
「順序数の全体」も集合だとするとブラリ＝フォルティのパラドックスに抵触するから矛盾
だから固有クラス

しかし、そのことは集合の全体や順序数の全体の大きさとは無関係
無限公理がない場合、すべての集合は有限、としてもOKというだけだし
到達不能基数の存在公理がない場合、すべての基数が到達可能、としてもOKというだけのこと

>>383
＞要するに、ノイマン宇宙Vは…到達可能基数の話で
そこが嘘

＞到達不能基数は、その上(ノイマン宇宙Vより上)ってことですね
したがって、そこも嘘

>>382
＞ZFC内に無限公理があるので
＞（集合Vωの存在を）無限公理に乗せるには、
＞和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方が 都合が良いのだろう
＞どう無限公理を使うかは すぐには分らないが

wikipedia"フォン・ノイマン宇宙"の、整礎集合の累積的階層Vαの定義で
超限帰納法使うって書いてあるけど読めない？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。
特に、空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。
V内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合 Vα の集まりであり、
特に、Vα は階数 α 未満の集合全てによる集合である。
ゆえに各順序数 α に対して集合 Vα が超限帰納法によって以下のように定義できる:

V0は空集合 {} とする。
各順序数 β に対して、Vβ+1 は Vβ の冪集合とする。
各極限順序数 λ に対して、Vλは、次の和集合とする:
Vλ:=⋃(β<λ)Vβ
この定義で重要なのは、ZFCのある式 φ(α, x) で「集合 x は Vα に属する」ことを定義できることである。

超限帰納法
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

超限帰納法（ちょうげんきのうほう、英: Transfinite induction）は、数学的帰納法の整列集合上への拡張である。
例えば順序数や基数の集合の上で行う。
この手法の正当性はZFCの定理である。

各ケースにおける帰納法
性質 P(α)が全ての順序数 α に定義されているとする。
全ての β<α に対して P(β) が正しいと仮定した上で、
そして P(α) も正しいことを示す。
このとき超限帰納法は全ての順序数に対して P が真であることを結論する。

通常、超限帰納法による証明は次の3ケースに分解される:

基本ケース　: P(0) が真であることを証明する。
後続者ケース: 全ての後続順序数 α+1 に対して、P(α+1) を P(α) から証明する。
(必要ならば全ての β<α に対しての P(β) を仮定してもよい。)
極限ケース: 全ての極限順序数 λ に対して、P(λ) であることを P(β)（全ての β<λ について）から証明する。

この3つのケースは、考慮する順序数の種類を除けば全て同じである。
これらは形式的には別々に考える必要はないが、実際には証明は別個に行う必要があるほど異なるのが普通である。
0は極限順序数と見なされることがあり、極限順序数と同じケースとして証明で扱われることがある。

ところで、言葉を用いた上で、その言葉の定義をリンクとコピー＆ペーストで示したならば
いちいち「下記」とかいう言葉くりかえす必要はない

このスレッドで「下記」という言葉を検索したら数十回も出てきたが
そのほとんどはある特定の個人の書き込みによるものであった

このような稚拙な言い回しを多用する必要はないのでやめていただきたい

グロタンディーク宇宙は「通常の数学で扱える対象の全体」を
集合全体の固有クラスではなく、集合と考えることで
圏論も集合論の中で扱えるようにする・・・方便

だから他愛のない話であって
「圏論は集合論より大きい」とか
「圏論は集合論より上」とか
そういう夜郎自大的誇大妄想話ではない（笑）

>>390
>このスレッドで「下記」という言葉を検索したら数十回も出てきたが
>そのほとんどはある特定の個人の書き込みによるものであった
>このような稚拙な言い回しを多用する必要はないのでやめていただきたい

カラスの勝手でしょ by 志村けん（下記）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%83%E3%81%A4%E3%81%AE%E5%AD%90
『七つの子』（ななつのこ）は、日本の童謡である。作詞・野口雨情、作曲・本居長世[1][2]。1921年、童謡・童話雑誌『金の船』（キンノツノ社）に発表された。
概要
野口雨情が1907年1月に刊行した月刊民謡集「『朝花夜花』第一輯」（早稲田詩社）に発表した詩「山烏（やまがらす）」をもとに改作し、童謡・童話雑誌『金の船』の21曲目の曲譜付き童謡として「大正十年七月号」（1921年7月1日付発行）に本居長世作曲の曲譜とともに発表した童謡である[3]。
替え歌
1980年初頭、コントグループ「ザ・ドリフターズ」のメンバーでコメディアンの志村けんは、人気テレビ番組『8時だョ!全員集合』（TBS）で、「カラス なぜ鳴くの カラスの勝手でしょ〜」という替え歌を歌い、当時の子どもを中心に流行した。由来については笑福亭鶴光がDJを務めたニッポン放送のラジオ番組『鶴光のオールナイトニッポン・サンデースペシャル』の中の替え歌コーナーが発祥との説がある[11]。

>>261 追加
(参考)
　>>211より再録
(参考)https://www.mathsoc.jp/activity/video/2017spring/0324usuba.html
企画特別講演　2017年度年会 日本数学会
薄葉 季路 (早大理工)
集合論の宇宙 —Universe と Multiverse—
https://www.mathsoc.jp/meeting/kikaku/2017haru/2017_haru_usuba-p.pdf
発表スライド『集合論の宇宙　Universe と Multiverse』
P3
集合の宇宙
・集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す
・Vは集合ではない
P6
巨大基数
・最小の無限基数ℵ0が持つ性質を一般化する形で定義される
P7
到達不能基数
Remark
�@Uがグロタンディーク宇宙ならば、|U|は到達不能基数である
(引用終り)

上記”集合すべてからなる集まりを（集合論の）宇宙と呼び、Vで表す”は
ある公理系を固定して その公理系で作られる集合をすべて集めたもの(類)が 宇宙で（基礎論的な意味での Ufnd）
例えば、無限公理のあるなしで、Vωは 集合であったり クラス(類)であったりする

ノイマン宇宙では クラス（類）扱いされる対象が
到達不能基数を導入した グロタンディーク宇宙Ｕfndにすれば
それらが集合扱いできる（|U|は到達不能基数である）

基礎論的宇宙Ufnd は、ノイマン宇宙のように ある公理系で作られる集合すべてを集めたもの（その公理系ではクラス（類））
一方、ベン図的宇宙Uven は、Ufndの内部の小宇宙

強制法が発明されて後、基礎論では Ufndの宇宙を使うのが当たり前になった
一方、世間では ベン図的宇宙Uvenが、当たり前
そこで、用語”宇宙”の混乱が起きていると思う

(参考)
https://googology.fandom.com/ja/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
巨大数研究 Wiki
宇宙 (数学)
定義 (グロタンディーク宇宙)
ZFCに「全ての集合に対してそれを含むグロタンディーク宇宙が存在する」を加えた集合論をタルスキ・グロタンディーク集合論といい，これは
ZFCに「到達不能基数が非有界に存在する」を加えたものと無矛盾同値である。

>>382
>無限公理に乗せるには、和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方が 都合が良いのだろう
都合がよいと言うより
前者が無い訳ですし
そうとしか定義しようがないんですよ
>無限集合の冪集合操作を 可算無限回繰り返す？
Vωから始めてVωの構成と同じような構成を
もう一度だけ行うとVω+ωができますから
>その正体はよく分らない
途轍もないものではありますが
イメージができなくもないと思いますよ

google検索：ノイマン宇宙では クラス（類）扱いされる対象が到達不能基数を導入して グロタンディーク宇宙Ｕfndにすればそれらが集合扱いできるらしい

AI Overview（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
ノイマン宇宙における「クラス」は集合の概念を扱いにくくする課題を抱えているため、到達不能基数を導入して拡張した「グロタンディーク宇宙 U_Fnd」を考えることで、これらを「集合」として扱うことが可能になります。この拡張により、集合論における「集合の集合」のパラドックスを回避し、より広範で整合性の高い数学的構造を構築できるようになります。

ノイマン宇宙とクラスの課題
・ノイマン宇宙:集合論の標準的なモデルの一つで、すべての集合の集合を根源的に包含する構造を持っています。
・クラス:ノイマン宇宙では、ある種の数学的対象（例えば、集合を要素として持つすべての集合）は「クラス」として扱われます。クラスは集合よりも大規模な概念であり、それ自体が集合の構成要素となることはできません。これは、集合論における「ラッセルのパラドックス」のように、すべての集合の集合を考える際に生じる矛盾を避けるためです。

到達不能基数とグロタンディーク宇宙
・到達不能基数:集合論における非常に大きな基数の一つで、特定の集合論的性質を満たします。
・グロタンディーク宇宙 U_Fnd:到達不能基数 κ を用いて、ZFC集合論の標準的な宇宙とは別に定義される、より大きな集合論的「宇宙」です。この宇宙 U_Fnd は、ある到達不能基数 κ よりも小さいすべての集合（すなわち、基数 κ の濃度を持つ集合の族）を集めたもので、到達不能基数 κ よりも小さな濃度を持つすべての集合を元として含む「集合」として扱われます。

クラスが集合に変わる仕組み
1.クラスを「集合」として扱う:ノイマン宇宙で「クラス」として扱われる対象を、グロタンディーク宇宙 U_Fnd の中に「集合」として配置します。
2.集合の階層化:到達不能基数 κ より小さい濃度を持つ集合の族を U_Fnd が持つため、元のノイマン宇宙でクラスであったものが、U_Fnd の内部で集合の構成要素となることが可能になります。
3.集合論の整合性の確保:これにより、集合の集合のような構造を、集合論の矛盾に陥ることなく扱うことができるようになります。

>>393
>例えば、無限公理のあるなしで、Vωは 集合であったり クラス(類)であったりする
すべてはクラスで
クラスの特別なものが集合という
BG集合論のイメージも援用すべきと思いますよ
無限公理を省くとVωが集合であることが証明できなくなると言うだけのことです
>ノイマン宇宙では クラス（類）扱いされる対象が
>到達不能基数を導入した グロタンディーク宇宙Ｕfndにすれば
>それらが集合扱いできる（|U|は到達不能基数である）
真のクラス（集合であるとすると矛盾が起こるクラス）が
到達不能基数を導入することで集合になるというイメージは間違いですよ

>>395
>（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
ですね

>>394
(引用開始)
>無限公理に乗せるには、和集合 Vλ:=⋃β<λVβ の方が 都合が良いのだろう
都合がよいと言うより
前者が無い訳ですし
そうとしか定義しようがないんですよ
(引用終り)

　>>375より
https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann_universe
Von Neumann universe
The sets in V are divided into the transfinite hierarchy Vα , called the cumulative hierarchy, based on their rank.
Definition
For any ordinal number β, let Vβ+1 be the power set of Vβ:
・Vβ+1:=P(Vβ),
For any limit ordinal λ, let Vλ be the union of all the V-stages so far:
・Vλ:=⋃β<λVβ.
The set Vω has the same cardinality as ω.
(引用終り)

”limit ordinal λ” を、別扱いしている
そのときに、この場合を どう表現するか。そこは、複数の案があって良いだろうと思うけど
そして、”The set Vω has the same cardinality as ω.”を、どうやって 公理系の内部で証明するのか？
その二つを勘案して、上記の表現になったと思うが
なるほどね

(引用開始)
もう一度だけ行うとVω+ωができますから
>その正体はよく分らない
途轍もないものではありますが
イメージができなくもないと思いますよ
(引用終り)

だけど、そのイメージを他人に説明できた方がいいよね
もし、説明できる あなたのイメージがあれば、やってみて

グロタン宇宙Uの中では
ZFCの公理によってUもしくはそれ以上の集合を作り出せないわけですから
Uの中ではあたかもVのように振る舞えるというイメージを持つべきでしょう

>>396-397
>>（AI の回答には間違いが含まれている場合があります）
>ですね

同意だが
”AI の回答には間違いが含まれている場合があります”
が、正しい場合（部分）もあるよ

>>398
>だけど、そのイメージを他人に説明できた方がいいよね
>もし、説明できる あなたのイメージがあれば、やってみて
その上に書いてある
>もう一度だけ行うとVω+ωができますから
ではイメージできないということですね？
あなたはベキ集合は十分よく理解しているのでは無い？
それではどうしようもありませんかね

>>393
>無限公理のあるなしで、Vωは 集合であったり クラス(類)であったりする

>>396
>真のクラス（集合であるとすると矛盾が起こるクラス）が
>（新たな公理を導入することで）集合になるというイメージは間違いですよ

然り

Vω（ωは最小の無限基数）は
無限公理のない集合論Aのモデルになりえるが
（その場合Vω＝Vなので集合ではなく固有クラス）
無限公理のある集合論Bにモデルにはなりえない
（そしてそのような集合論Bの中では集合として存在することが証明できる）

Vκ（κは最小の到達不能基数）は
到達不能基数の存在公理のない集合論Aのモデルになりえるが
（その場合Vκ＝Vなので集合ではなく固有クラス）
到達不能基数の存在公理のある集合論Bにモデルにはなりえない
（そしてそのような集合論Bの中では集合として存在することが証明できる）

注）
Vωは無限公理のない集合論の唯一のモデルではない（モデルは無数にある）
Vκは到達不能基数の存在公理のない集合論の唯一のモデルではない（モデルは無数にある）

無限公理を否定する公理を追加したモデルではVωが唯一のモデルになるか？

残念ながらそもそもωが唯一だといえない

いくらでもノンスタンダードなωが存在し得る

だからそんなノンスタンダードなωによってノンスタンダードなVωが構成でき
結果としていくらでもノンスタンダード有限集合とかいうものが紛れ込める

これがゲーデルの不完全性定理による帰結

Vω+ωがイメージ難しいならVω1とかすら無理でしょうから
到達不能基数κによるVκは論外でしょう

そもそも
Vω+ωがイメージ難しい人が
Vωを正しくイメージできてるとは
とても思えない・・・

>>403
>残念ながらそもそもωが唯一だといえない
>いくらでもノンスタンダードなωが存在し得る

それ一階の話で
二階では違う（下記）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
モデル
ペアノ公理のモデルは三つ組( N , 0, S )である。ここでNは（必然的に無限の）集合、0 ∈ Nであり、S : N → Nは上記の公理を満たす。デデキントは1888年の著書『数の性質と意味』（ドイツ語：Was sind und was sollen die Zahlen?、すなわち「数とは何か、そしてそれらは何の役に立つのか？」）において、ペアノ公理の任意の二つのモデル（第二階帰納法公理を含む）は同型であることを証明した。特に、ペアノ公理の二つのモデル( N A , 0 A , S A )と( N B , 0 B , S B )が与えられたとき、次を満たす 唯一の準同型写像 f : N A → N Bが存在する。
f（0A）＝0B
f（SA（n））＝SB（f（n））
そしてそれは一対一である。
これは、二階ペアノ公理が圏論的であることを意味する。
（これは、以下に示すペアノ公理の一階再定式化では当てはまらない。）

非標準モデル
通常の自然数はPAの公理を満たすが、他のモデル（「非標準モデル」と呼ばれる）も存在する。
コンパクト性定理は、非標準要素の存在が一階述語論理で排除できないことを意味する。[ 28 ]
上方レーヴェンハイム・スコーレム定理は、すべての無限基数のPAの非標準モデルが存在することを示している。
これは、同型性を除いて1つのモデルしか持たない元の（二階）ペアノ公理には当てはまらない。[ 29 ]
これは、一階システムPAが二階ペアノ公理よりも弱い一例を示している。

>>402
>Vκ（κは最小の到達不能基数）は
>到達不能基数の存在公理のない集合論Aのモデルになりえるが
>（その場合Vκ＝Vなので集合ではなく固有クラス）
>到達不能基数の存在公理のある集合論Bにモデルにはなりえない
>（そしてそのような集合論Bの中では集合として存在することが証明できる）

何をいわんとしているか 意味不明
下記を百回音読してね

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inaccessible_cardinal
Inaccessible cardinal
In particular, inaccessible cardinals need not exist at all. That is, it is believed that there are models of Zermelo-Fraenkel set theory, even with the axiom of choice (ZFC), for which no inaccessible cardinals exist[2]. On the other hand, it also believed that there are models of ZFC for which even strongly inaccessible cardinals do exist. That ZFC can accommodate these large sets, but does not necessitate them, provides an introduction to the large cardinal axioms. See also Models and consistency.

The existence of a strongly inaccessible cardinal is equivalent to the existence of a Grothendieck universe.
If κ is a strongly inaccessible cardinal then the von Neumann stage Vκ is a Grothendieck universe.
Conversely, if U is a Grothendieck universe then there is a strongly inaccessible cardinal κ such that Vκ=U.
As expected from their correspondence with strongly inaccessible cardinals, Grothendieck universes are very well-closed under set-theoretic operations.

https://en.wikipedia.org/wiki/Large_cardinal
Large cardinal
The proposition that such cardinals exist cannot be proved in the most common axiomatization of set theory, namely ZFC, and such propositions can be viewed as ways of measuring how "much", beyond ZFC, one needs to assume to be able to prove certain desired results.
In other words, they can be seen, in Dana Scott's phrase, as quantifying the fact "that if you want more you have to assume more".[1]

>>406
>>残念ながらそもそもωが唯一だといえない
>>いくらでもノンスタンダードなωが存在し得る
>それ一階の話で二階では違う
二階算術は帰納的に公理化できないのでそんな話しても無意味
いいかげんできもしないことでマウントするのやめような
恥ずかしいから

>>Vκ（κは最小の到達不能基数）は
>>到達不能基数の存在公理のない集合論Aのモデルになりえるが
>>（その場合Vκ＝Vなので集合ではなく固有クラス）
>>到達不能基数の存在公理のある集合論Bにモデルにはなりえない
>>（そしてそのような集合論Bの中では集合として存在することが証明できる）
＞何をいわんとしているか 意味不明
＞下記を・・・

下っ記ーは、すぐコピペで逃げるまえに
上記を自分が理解できるまで
百遍でも千遍でも一万遍でも
繰り返し読もうな
わからなかったらどこがどうわからんか尋ねな
わかるまでしつこく教えてやるから

>>407
>下記を百回音読してね
と、一回チラ見して分かった気になってるオチコボレが申しております

>>410
誤　一回チラ見して分かった気になってるオチコボレ
正　一回チラ見しただけでああこりゃ全然わからんと諦めたが、
それを認めたくないのでコピペして他人には百遍読めと強がり、
分かったフリしてリコウぶった気になる正真正銘のオチコボレ。

集合論がわからんのに、勉強もせず
圏論は集合論より上とか、圏論すら知らずに吠え
一階述語論理がわからんのに、勉強もせず
二階論理は自然数の意味を唯一に定めるとか、二階論理すら知らずに吠える

それが「ボクちゃん、誰よりもかしこいもん」とうぬぼれたがる自己愛性人格障害者の症状

まあ、無限集合や述語論理が分からん奴は
大体、有限集合や命題論理しか分かってない

「任意のｘについて性質Ｐが成り立つ」という場合
そもそも任意のｘが有限個しかなければ、
わざわざ述語論理を用いる必要がない
全部のｘについて確かめればエテ公でにもわかるから

しかしｘが無限に存在するならそんなことは不可能
だから述語論理というものを考える
そこから分かってないから大学数学の教科書の文章が読めない

◆yH25M02vWFhP は自分がどこでつまづいたか理解しないかぎり
一歩も先にすすめないという現実を受け入れるべき

いやなら、数学板から立ち去って碁でも打って余生をおくるべし

>>408
>>それ一階の話で二階では違う
>二階算術は帰納的に公理化できないのでそんな話しても無意味

逆じゃね？ 下記
『いかなる一階論理も、自然数や実数直線のような無限領域を持つ構造を一意に記述できるほど強力ではない。
これら2つの構造を完全に記述する公理系、すなわち圏論的公理系は、二階論理などのより強力な論理によって得られる』
だぞ　；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic
First-order logic
(google訳)
一階論理は数学を公理として形式化するための標準であり、数学の基礎において研究される。ペアノ算術とツェルメロ＝フランケル集合論は、それぞれ数論と集合論を一階論理に公理化したものである。
しかし、いかなる一階論理も、自然数や実数直線のような無限領域を持つ構造を一意に記述できるほど強力ではない。
これら2つの構造を完全に記述する公理系、すなわち圏論的公理系は、二階論理などのより強力な論理によって得られる。

第一階述語論理の基礎はゴットロブ・フレーゲとチャールズ・サンダース・パースによって独立に発展した。[ 5 ]第一階述語論理の歴史とそれがどのようにして形式論理を支配するようになったかについては、ホセ・フェレイロス（2001）を参照。

>>415 追加
>第一階述語論理の歴史とそれがどのようにして形式論理を支配するようになったかについては、ホセ・フェレイロス（2001）を参照

(google検索）how first-order logic came to dominate formal logic?

＜検索結果＞
https://philosophy.stackexchange.com/questions/2617/how-did-first-order-logic-come-to-be-the-dominant-formal-logic
How did first-order logic come to be the dominant formal logic?
asked Apr 17, 2012 Thomas Klimpel

https://philosophy.stackexchange.com/questions/96577/advancements-in-formal-logic-in-the-21st-century
Advancements in formal logic in the 21st century?
asked Jan 31, 2023 Nico

https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/logic-firstorder-emergence/
Stanford Encyclopedia of Philosophy Archive
Fall 2019 Edition
The Emergence of First-Order Logic
First published Sat Nov 17, 2018
（結語）
In other words, far from being inevitable, the emergence, towards the end of the 1930s, of first-order logic as a privileged system of logic depended on two things, each independent of the other. On the mathematical side, it depended on Hilbert’s introduction of metalogical techniques; on the philosophical side, it depended on the arguments of the Grundlagenkrise. Neither of these things was inevitable: nor was the fact that they occurred at roughly the same time. With a different history, Hilbert’s flexible attitude might have prevailed, and there might have been more emphasis on higher-order systems, or on the exploration of algebraic logics, infinitary logics, category-theoretic systems, and the like: in short, on logical pluralism.
It is worthwhile to observe that, as the philosophical concerns of the Grundlagenkrise have receded, and as new approaches from the direction of computer science and homotopy theory have entered the field, the primacy of first-order logic is open to reconsideration.

>>415　下っ記ー　曰く
>>二階算術は帰納的に公理化できないのでそんな話しても無意味
>逆じゃね？ 下記…だぞ

またも下記かい、「下記貼るか」（笑）

>いかなる一階論理も、自然数や実数直線のような無限領域を持つ構造を一意に記述できるほど強力ではない。

No first-order theory, however, has the strength to uniquely describe a structure with an infinite domain, such as the natural numbers or the real line.

その通り

>これら2つの構造（自然数や実数直線）を完全に記述する公理系、すなわち”圏論的”公理系は、二階論理などのより強力な論理によって得られる

Axiom systems that do fully describe these two structures, i.e. categorical axiom systems, can be obtained in stronger logics such as second-order logic.

概ねその通りだが・・・一か所致命的な翻訳ミスがある

categorical axiom systems

上記の”categorical”は、「圏論的」ではない。
よく「範疇的」と翻訳されるが、この言葉だけ見ても絶対に意味は分からない（笑）
素人にもわかるように意味を以下に示す

Categorical theory
https://en.wikipedia.org/wiki/Categorical_theory

In mathematical logic, a theory is categorical if it has exactly one model (up to isomorphism).Such a theory can be viewed as defining its model, uniquely characterizing the model's structure.

「数理論理学において、理論がカテゴリカルであるとは、モデルが 1 つだけ存在する場合（同型性を除く）である。このような理論はモデルを定義し、そのモデルの構造を一意に特徴付けるものとして見ることができる。」

まさかとは思うが、カテゴリカル＝圏論的と誤読した上で、
だから圏論最強とかいってるなら・・・壮絶な馬鹿（笑）

Second-order logic
https://en.wikipedia.org/wiki/Second-order_logic#Metalogical_results

Metalogical results

It is a corollary of Gödel's incompleteness theorem that there is no deductive system (that is, no notion of provability) for second-order formulas that simultaneously satisfies these three desired attributes:[d]

(Soundness) Every provable second-order sentence is universally valid, i.e., true in all domains under standard semantics.
(Completeness) Every universally valid second-order formula, under standard semantics, is provable.
(Effectiveness) There is a proof-checking algorithm that can correctly decide whether a given sequence of symbols is a proof or not.

ゲーデルの不完全性定理の帰結として、2階の論理式には、以下の3つの望ましい属性を同時に満たす演繹体系（つまり、証明可能性の概念）は存在しない：

(健全性) 証明可能なすべての 2 階文が普遍的に妥当。つまり、標準的な意味論の下ではすべての領域で真。
(完全性) 標準的な意味論のもとでは、普遍的に妥当な 2 階論理式はすべて証明可能。（健全性の逆）
(有効性) 与えられた記号列が証明であるかどうかを正しく判断できる証明確認アルゴリズムが存在する。

つまり、もし健全かつ完全なる演繹体系が存在するとしても、それを実行するアルゴリズムが存在しない
もし、健全な証明確認アルゴリズムが存在しても、完全ではないし
完全なアルゴリズムが存在しても、健全ではない（つまり矛盾する（笑））

私、大くぼ●おり、が>>408で述べたのは上記
「下記貼るか」が>>415で述べた話ではない（関係あるが、そのものずばりではない）

読む人が苦しくなる数学より読む人が楽しくなる数学描いたほうが世の中が明るくなっていいんじゃない。なにか社会に恨みでもあるの。しかし飽くなき思考の言語化には感心しています。

生徒にダメ出しするより褒めるほうが伸びるんじゃ。

◆yH25M02vWFhP こと「下記貼るか」の致命的ミス

１．正方行列＝正則行列、と言い放った
２．0に収束する数列を足し合わせた級数は収束する、と言い放った
３．グロタンディーク宇宙は、集合全体の外にある、と言い放った
４．２階論理は圏論だから、自然数論や集合のモデルを一意化する、と言い放った

もちろん全部初歩的誤り

一階述語論理と集合論と実数論と線形代数　全部、初歩からやり直せ（笑）

具体的にいうと、ブルバキ数学原論の集合論と位相と代数

ま、ブルバキ数学原論は初心者には読みにくいから別の本でいいけどな

>>419
＞読む人が苦しくなる数学より
＞読む人が楽しくなる数学描いたほうが
＞世の中が明るくなっていいんじゃない。

ベンツのいうことはごもっとも
その上でいわせてもらえば、
私がいってることは別に全然難しいことじゃないよ

＞なにか社会に恨みでもあるの。

社会には恨みはない
なにかというと下らんことでマウントしようとする
◆yH25M02vWFhP こと「下記貼るか」は不快だから
なんとか教育しようとしているけど

＞しかし飽くなき思考の言語化には感心しています。

こんなの大学生ならみんなやって当然のことだよ
大学はそういうところなの
できない奴は大学にいかないほうがいいよ　無意味だから
言葉で思考を表現できないエテ公が
ただ大学卒だと会社に高給で雇ってもらえるとかいう
ゲスな動機で行ったらダメなのよ

今の日本の大卒の９割は偽物だから
それは別にＦランとか大東亜帝国とか日東駒専とかじゃなくて
ＭＡＲＣＨや早慶や東・京・一・科でも同じね

「下記貼るか」は阪大工学部卒らしいけど、全然論理的な思考ができてないだろ？
でも、こんなの、東大工学部でもザラにいるよ　工学部ってそもそも学問してないから（笑）
工学博士なんてのはなんか汗かいて適当なこと書くと貰えちゃう
まあ、全然無意味とかいうつもりないけど、数学の博士と同列に語っちゃいけないレベル
え？残酷？そうだね　でもそれが現実だから、仕方ないね

まあそうだな俺は文学科教授だからたまには数学科の人と話すのは大変刺激になるな。まあ期待しているならいいよ。厳しいことを言うのもな。しかしできないことをやれというよりできることを伸ばしたほうがいいかもよ。できない分野はどうあがいても一流になれない。

>>420
＞生徒にダメ出しするより褒めるほうが伸びるんじゃ。

「下記貼るか」に関していうと、誉めるところが一つもない（笑）

そもそも動機がダメ
「おれはおまえらより賢い」
とかいいたいためだけに数学を学ぶとかクソ

そして態度もダメ
「ただキーワード検索して出てきた文章に一回目を通せば知識として覚えるからＯＫ」
そんなわけないだろ（笑）　ちゃんと前提から結論を推論する流れを読み取れよ

「下記貼るか」は今まで、小中高の算数・数学の教科書・参考書しか読んでないのが明らか
で、それらの本は大体計算方法とかを説明してるだけで、
理論の前提を示した上で結論を証明するなんてことは一つもやってない

自然数の定義や加法・乗法の定義を示した上で
分配法則や交換法則を定理をして証明してる？
そんなことやってないよ　小学生には理解できんから（笑）

しかし大学の数学という観点からいえば、当然そうするべきである
そして多分これを実行すると、「下記貼るか」は理解できずに死ぬだろう（笑）

もうね、ホントは「下記貼るか」って綽名つけるのもヤなんだよ
俺、かっきー（賀喜遥香）のファンだから
坂道合同オーディションの１８番の頃から
「この子絶対売れるよな」って思ってたから

まあ、一番の好みは１６番（守屋麗奈）だったけど（笑）

>>423
＞できないことをやれというより
＞できることを伸ばしたほうがいいかもよ
＞できない分野はどうあがいても一流になれない

「できないこと」とは思わないが
当人ができるようになりたがらないならやめたほうがいいだろう
そして別にやめたからといって（マジな意味で）人間失格とは思わない
只数学（ヲタク）界では人間扱いされないけどな
まあ、数学（ヲタク）界自体、世間の人から変人部落と蔑まれてるから
そんなところに堕ちて（笑）いかなくて、逆にいいんじゃねえの？（拗ねる）

それでは数学に興味を持つ子が減りませんか。私には文学という逃げ道があるけれどその分野数学上の天才的な発見はできるけれど数学総体の大天才にはなれません。退路を断たれた人や子がそうなってくれるといいですね。

そういう人や子たちがね。なるべくなら多く。

先生や数学界、果ては文学界が間違った意見を持っていたから生徒の世界が実現するんでしょう。

そういう意味では教授室や教員室で違う分野の教育者同士での対話が生徒には大事でしょうね。ある意味同じ分野の先達の先輩だけについていくのもなあ。

間違った行き過ぎた教授方法を正しく導くような。そうすれば私等みたいな変人もいなくなる。

十分に理系と文系の橋渡しをするとか。

人の生き方はみな似ているから同じようなことを違った言葉で語っているだけかもね。

だから通さじっていう教育方法じゃなく通してやれば良い。好きな学問を。

間違っていた自分の後悔を託すより生徒の創造性に期待しましょう。

教職の講義も更新したほうが良いんじゃないの、専門分野はもちろんだけど。みんなで。

しかし学問を語るうえで哲学倫理宗教などの分野は必須で、専門の高度化でその分野から人が離れたり無知でいるのを危惧しています。

例えば医学部でそれを全学科必修で教えるとか。神学もやっておくと良いように思う。実務の馬が刑務所や病院だから。

教育大にも関わってみませんか。

実務の場。

例えば確率統計などはやってる人は少ないしその理系だけではギャンブルに勝てませんよね。

>>426
＞それでは数学に興味を持つ子が減りませんか。
減らないと思いますよ
誰が見ても◆yH25M02vWFhP こと「下記貼男」がドイヒーでしょ（笑）

>>433
＞だから通さじっていう教育方法じゃなく
嘘語っても意味ないでしょ　嘘語ってる当人も

>>436
＞哲学倫理宗教
全部意味ないっす

絶対の真理なんてないし
絶対の正義なんてないし
絶対の神様なんていない

そういうものを求めるのは・・・狂ってます
ないものを求めると死にますよ

>>440
＞確率統計などはやってる人は少ないし
＞理系だけではギャンブルに勝てませんよね。

ギャンブルはそもそも勝てません　確率論の常識
勝てないことで勝とうするのは・・・狂ってます
できもしないことをやろうとすると死にますよ

嘘とソクラテスはよくいったが、目に見えていた普通の世界が嘘なのであってその本質の背後にイデア界というのがあるという言い方を彼女はよくしますね。

>>445　彼女？ プラトンって女だっけ？

それはともかく、イデアとか本質とか嘘っていうか妄想じゃね？統失の

プラトンといえば、「国家」で述べた”哲人王”のエリート支配の思想が
カール・ポパーにボコボコに批判されたことで知られてるね