>>403
>残念ながらそもそもωが唯一だといえない
>いくらでもノンスタンダードなωが存在し得る

それ一階の話で
二階では違う（下記）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Peano_axioms
Peano axioms
(google訳)
モデル
ペアノ公理のモデルは三つ組( N , 0, S )である。ここでNは（必然的に無限の）集合、0 ∈ Nであり、S : N → Nは上記の公理を満たす。デデキントは1888年の著書『数の性質と意味』（ドイツ語：Was sind und was sollen die Zahlen?、すなわち「数とは何か、そしてそれらは何の役に立つのか？」）において、ペアノ公理の任意の二つのモデル（第二階帰納法公理を含む）は同型であることを証明した。特に、ペアノ公理の二つのモデル( N A , 0 A , S A )と( N B , 0 B , S B )が与えられたとき、次を満たす 唯一の準同型写像 f : N A → N Bが存在する。
f（0A）＝0B
f（SA（n））＝SB（f（n））
そしてそれは一対一である。
これは、二階ペアノ公理が圏論的であることを意味する。
（これは、以下に示すペアノ公理の一階再定式化では当てはまらない。）

非標準モデル
通常の自然数はPAの公理を満たすが、他のモデル（「非標準モデル」と呼ばれる）も存在する。
コンパクト性定理は、非標準要素の存在が一階述語論理で排除できないことを意味する。[ 28 ]
上方レーヴェンハイム・スコーレム定理は、すべての無限基数のPAの非標準モデルが存在することを示している。
これは、同型性を除いて1つのモデルしか持たない元の（二階）ペアノ公理には当てはまらない。[ 29 ]
これは、一階システムPAが二階ペアノ公理よりも弱い一例を示している。