>>35
(引用開始)
動機および認識論的状況
巨大基数はフォン・ノイマン宇宙 V の文脈で理解される。これは冪集合を取る操作を超限回反復して得られるもので、与えられた集合の全ての部分集合を集めたものである。典型的には、巨大基数公理が成り立たないようなモデルは、巨大基数公理が成り立つような何らかのモデルの自然な部分モデルになっている。例えば、もし到達不能基数が存在するなら、そのような基数が現れる最初の高さで「宇宙を切り離して」しまうと、到達不能基数が存在しないような宇宙が得られる
(引用終り)

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
補足する
何を集合とし、何を集合としないか？
それは、現代数学では 公理で決まる
例えば、下記”無限公理”を認めれば、可算無限の自然数の集合N={0,1,2,・・} は、是認されるが
”無限公理”を認めなければ、可算無限の自然数の集合Nは存在しない（下記を ご参考）

と同様に、巨大基数を認める意義の一つは フォン・ノイマン宇宙 V を 巨大集合として認めるということ
勿論、巨大基数を認めない ZFCのみの立場では、 Vは集合ではなく 真クラス！■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限公理（英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、無限集合の存在を少なくともひとつ保証するものであり、実際すべての自然数を含む集合である。
無限集合Iから自然数を抽出する
無限集合Iはすべての自然数を含んでいるが。自然数全体が集合となることを示すために、分出公理を使って不要な要素を取り除いて、残った集合Nが自然数全体からなる集合である。この集合は外延性の公理により一意である
略

https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井 明人 筑波大
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/under.html
数理論理学II
https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II
Ｐ8
1.1.9 無限公理
集合xに対して, x∪{x}をS(x)で表す．
略
無限公理：
∃x(∅∈x∧∀y(y∈x→S(y)∈x)
xは∅（0と思う）を含んでいて，yがxに属すれば，yの次の元S(y)もxに
x属している．そのようなxが存在することを主張するのが無限公理である．直
観的には，自然数全体のような集合が存在することを意味する．
略
自然然数全体の集合ωを
{ ∅,S(∅),S^2(∅),S^3(∅),・・・}
として定義したい．しかし「・・・」の部分は直観的な説明としては容認できるが，
我々の立場では定義とは言い難い1．
そこでωを条件
∅∈x∧∀y(y∈x→S(y)∈x)
を満たす最小の集合として定義したい：無限公理によって保証される無限集合Ｘを一つ選び，
ω={y∈Ｘ:∀x(φ(x)→y∈x)}
とする．ここでφ(x)は∅∈x∧∀y(y∈x→S(y)∈x)
である．このようにすれば，ωは集合であり，φ(x)を満たす最小のものになる（もちろんＸの取り方に依存しない）．