つづき

4)1910年代から1930年代までのメタ数学の時代、ヒルベルトの有限主義（英語版）体系やレーヴェンハイム（英語版）およびスコーレムの非有限主義的体系においてメタ論理学の発展がみられ、さらにゲーデルおよびタルスキの著作の中で論理学とメタ論理学が組み合わされた。1931年に発表されたゲーデルの不完全性定理は論理学の歴史における最大の業績の一つである。1930年代後半にはゲーデルは集合論的構成可能性の理論を発展させた。
5)(1945年)戦後論理学の時代、数理論理学が相互に関係するが離れている4つの研究領域、モデル理論、証明論、計算可能性理論、そして集合論に分かれ、その概念・方法が哲学に影響し始めた

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8E%9F%E5%A7%8B%E5%85%83_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
原始元(urelement ドイツ語の接頭辞 ur- は「原始的な」を意味する)とはオブジェクトであってそれ自身は集合でないが、集合の要素には成り得るもののことである。原始元は原子、アトムとも呼ばれることがある。また、日本語文献でも翻訳せずにurelementのまま用いられることも多い。原始元は空集合とは異なるものである

https://takulabo.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/notes/math_category_introduction.html
TakuLabo
圏論とはなんなのか
目次
• 圏論とは
• 圏論の使用用途
• 集合の概念の客観視
• 双対性をフォーマルに捉える
• 自然性のフォーマルな定式化
（圏論初学者が陥りがちな典型的な誤解）
• 圏論は基礎論を無視したガバガバ理論
• 圏論的な基礎論は明らかな循環論法
略
圏論とは
圏論 (category theory) とは、「仕様」ベースに数学理論を組み立てていくツールキットのようなものと考えてよいだろう。
登場し始めた当初は、抽象度の高い数学限定で使用される言語程度の立ち位置であった圏論であったが、研究が進むにつれて圏論は数学全体の基礎理論として応用することすら可能であることも認識されるようになった

圏論は基礎論を無視したガバガバ理論
圏論は従来の集合論の枠組みを逸脱するという特徴があり、ZFC を数学基礎に考えてきた人から「圏論はフォーマルな基礎の上に打ち立てることができないガバガバ理論」という印象を持たれたとしても不思議ではない。
結果から言うと、圏論を厳密に展開していくためには「ホモトピー型理論 (HoTT: Homotopy Type Theory)」を集合論の代わりに基礎として使用する必要がある。
というのも、圏論を実践的に展開していくうえで、宇宙 (Universe) の存在は欠かせない

圏論的な基礎論は明らかな循環論法
従来の集合論的なアプローチと純粋圏論的なアプローチの間にはしばしば大きな違いがあり、その辺の区別をしっかりしないまま一方の考え方を他方に無造作に当てはめてしまうと、そういった誤解に陥る可能性がある。典型的なのは、「圏の定義に集合が必要なので、圏を使った集合の定義なんて明らかに話が循環しているし、その程度の単純なことにすら気付くことができないなんてどうかしてる」といった類いの誤解である

つづく