>>575
>https://takulabo.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/notes/math_category_introduction.html
>TakuLabo
>圏論とはなんなのか
>圏論は従来の集合論の枠組みを逸脱するという特徴があり、ZFC を数学基礎に考えてきた人から「圏論はフォーマルな基礎の上に打ち立てることができないガバガバ理論」という印象を持たれたとしても不思議ではない。
>結果から言うと、圏論を厳密に展開していくためには「ホモトピー型理論 (HoTT: Homotopy Type Theory)」を集合論の代わりに基礎として使用する必要がある。
というのも、圏論を実践的に展開していくうえで、宇宙 (Universe) の存在は欠かせない

ここ
＜用語 宇宙 補足引用＞
構造が付随するべきものを明確にする
「部分集合を集めたもの」というのは、トポスという良い性質を持つ圏においては「冪対象」というように同じ圏の対象として扱うことができるが、一般にはそのようなことはできない。加えて、排中律を認めない場合、真理値対象が集合の圏を構成する際に用いた宇宙と同じ階層の宇宙に存在することを一般に示せない (集合の圏がトポスにならない) ため、冪集合の直接の使用は難しくなる

結果から言うと、圏論を厳密に展開していくためには「ホモトピー型理論 (HoTT: Homotopy Type Theory)」を集合論の代わりに基礎として使用する必要がある。
というのも、圏論を実践的に展開していくうえで、宇宙 (Universe) の存在は欠かせない。
一方で「集合 (0-型) を要素に持つ空間」が再び「集合 (0-型)」であるとした場合
そもそも集合という概念は
・それが持つ要素の間の「同じ (sameness)」の概念が「Equality」で評価される空間
であり、
・「同じ (sameness)」の概念が「Isomorphic (同形)」で評価されるべき空間である「集合 (0-型)」が「Equality」によって評価される
というあってはならない状況に陥ってしまう。
即ち「宇宙」を集合として定義することはマズイということである。
因みに、類 (class) の概念を使って集合全体の "集まり" を定式化したとしても、それは結局一時しのぎにしかならない。
一方ホモトピー型理論は、「無限亜群」という概念を根源要素として導入することによって
こういった不都合を起こすことなく宇宙の概念を自然に取り扱うことができるようになる。
例えば、まず適当な宇宙を無限亜群U として与えた上で、「U内の n-亜群全体の空間」を構成してみると
・U内の集合 (0-型) 全体の空間は、亜群 (1-型)
・U内の亜群 (1-型) 全体の空間は、2-亜群 (2-型)
・U内の2-亜群 (2-型) 全体の空間は、3-亜群 (3-型)
・U内の3-亜群 (3-型) 全体の空間は、4-亜群 (4-型)
というようにその全体の空間が自動的に「要素を適切な Sameness によって評価する空間」として構成されることになる
(引用終り)

"宇宙"観測も難しいですのーｗ　；ｐ）