AIに聞いてみた結果

NBG（ノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論）が
ZFC（ツェルメロ・フレンケル集合論＋選択公理）の保存拡大である
ということを説明します。
以下、簡潔かつわかりやすく解説します。
数学的な厳密さを保ちつつ、できるだけ直感的に理解できるようにします。

保存拡大とは？
まず、「保存拡大」の概念を簡単に説明します。
ある理論 ( T )（ここではZFC）が別の理論 ( T' )（ここではNBG）に拡張される場合、
( T' ) が ( T ) の保存拡大であるとは、次の条件を満たすことを指します：
包含：( T ) のすべての公理が ( T' ) でも成り立つ。
モデルの保存：( T ) のすべてのモデル（構造）が、適切な方法で ( T' ) のモデルに拡張できる。
証明の保存：( T ) で証明可能なすべての文（命題）は、( T' ) でも証明可能であるが、
( T' ) で新たに証明可能な文は ( T ) の言語で表現可能な範囲では ( T ) と矛盾しない。

直感的には、( T' ) は ( T ) に新しい概念や公理を追加するが、
( T ) の世界で「真」だったことはすべて ( T' ) でも「真」のままである、ということです。

ZFCとNBGの関係
ZFCとNBGはどちらも集合論の公理系ですが、
扱う対象や公理の構成に違いがあります。
以下にその違いを簡単に整理します：

ZFC（ツェルメロ・フレンケル集合論＋選択公理）：
すべての対象は「集合」です。「クラス」という概念は形式的には扱いません。
公理は集合の存在や操作に関するもので、例えば「空集合公理」「対の公理」「和集合公理」「選択公理」など。
ZFCの言語は、集合とその要素関係（∈）のみで記述されます。

NBG（ノイマン・ベルナイス・ゲーデル集合論）：
集合に加えて、「クラス」というより大きな対象を扱います。
クラスは集合の集まり（例：すべての集合のクラス ( V )）や、
集合として大きすぎて集合になれないものを含みます。
NBGはZFCの公理をほぼ含みつつ、クラスを扱うための追加の公理
（例：クラスの包含公理や制限公理）を持っています。
NBGの言語は、集合だけでなくクラスも含むため、
ZFCの言語より拡張されています。

（つづく）