>>802 補足
>公理系としてのZFCと
>ZFCのモデルとしてのノイマン宇宙Vと
>を混同している

戻るが、モデル理論の厳密で難しい論は下記に任すとして
いま、日常の例えで言えば
公理系としてのZFCは、プログラミング言語だと思いなよ
そして、ZFCのモデルは プログラミング言語を使って作った プログラムの集まりだと
ノイマン宇宙Vとは、プログラミング言語で作られた プログラムの集まり

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB%E7%90%86%E8%AB%96
モデル理論
モデル理論（英 : Model theory）は、数理論理学による手法を用いて数学的構造（例えば、群、体、グラフ、集合論の宇宙）を研究（分類）する数学の分野である。
モデル理論における研究対象は、形式言語の文に意味を与える構造（英語版）としてのモデルである。もし言語のモデルがある特定の文（英語版）または理論（英語版）（特定の条件を満足する文の集合）を満足するならば、それはその文または理論のモデルと呼ばれる。
モデル理論は代数および普遍代数と関係が深い。
この記事では、無限構造の有限一階モデル理論に焦点を絞っている。
概要
プログラム意味論において操作的意味論と表示的意味論があるように、数理論理学における（論理式の）操作的意味論に相当するものが証明論であるのに対し、モデル理論は同様の類推で表示的意味論に当たる。

例
非自明なモデルの文脈における統語論および意味論を含む基本的な関係を説明するために、統語論側でペアノの公理のような自然数についての適切な公理とその関連する理論から始めることができる。意味論側では、通常の連続数がモデルを構成する。1930年代、スコーレムはその公理を満たす別のモデル（算術の超準モデル）を開発した。これはある特定のモデルにおいて、言語または理論を解釈（英語版）することによって何を意味するのかを説明する。より伝統的な例は、ある群によって与えられたモデルの文脈において、群のような特定の代数系の公理を解釈することである。

普遍代数
→詳細は「普遍代数学」を参照
普遍代数の根本的な概念はシグネチャ（英語版） σ および σ-代数である。これらの概念は構造（英語版）の記事において詳細に定義されている。

モデル理論と集合論
集合論（これは可算言語において表現されている）は可算モデルをもつ。すなわち、非可算集合の存在を仮定している集合論の文が可算モデルにおいても真であることから、これはスコーレムのパラドックス（英語版）として知られている。特に、連続体仮説の独立性の証明はモデル内から見たとき非可算として現れるがモデル外から見たとき可算となるような集合をモデルの対象として必要とする。

モデル理論的な観点は集合論にとって有用である。例えば、ゲーデルがコーエンにより開発された強制法を用いて行った構成可能集合に対する仕事によって、（哲学的に興味深い）選択公理の独立性および集合論の他の公理からの連続体仮説を証明することができる。