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(引用開始)
>κ 未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数は
>ZFCでは順序数として存在し得ない、という証明はできない
イミフ
κ 未満の任意の基数 λ に対し、2^λ<κ を満たす正則基数は
公理として設定するのであって
”証明”うんぬん 筋違いｗ　（＾＾
通常のユークリッド幾何の中には、無限遠点はない！
ユークリッド幾何の中に、無限遠点が存在し得ないことは 証明はできない？
それ 証明の話か？　それ 妄想でしょｗ　；ｐ）
(引用終り)

到達不能基数 κ 未満の任意の基数 λ に対し、
2^λ<κ を満たす正則基数であることを言う

簡単に 下記で 順序数の基数λ で
λ ＜κ
として λ は ZFCで普通に生成される基数とする
λ とκが、近ければ κ < 2^λとなってしまうので
十分離れている必要があり 2^λ<κが保たれる必要がある

ZFCで 2^λも普通に ZFC内の基数だから
2^λ→λ'と置きなおして
2^λ'<κが保たれる必要がある
これが無限に繰り返されて なお 2^λ<κが保たれている
それが、到達不能基数 κだってことでしょ
ZFCで 存在が 証明できるできない は、イミフ　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%B0%E9%81%94%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%9F%BA%E6%95%B0
非可算基数 κ が
強到達不能基数 または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、
2^λ<κ
を満たす正則基数であることを言う[1]

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
α が順序数のとき、S(α) ≔ α∪{α} は α より大きな順序数のうちで最小のものである。S(α) を α の後続者 (successor of α)と呼ぶ
順序数の並び方を次のように図示することができる：
.., ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))),.., ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))),..＜κ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E5%9F%BA%E6%95%B0
正則基数とは、その共終数が自身と等しい基数である。 より詳細にいえば、
κ が正則基数であることと、どの非有界（英語版）な部分集合
C⊆κ も基数 κ を持つことは同値である
例
非可算な正則な極限基数は弱到達不能基数として知られており、その存在はZFCの下では証明できず、その存在がZFCと矛盾するかどうかも知られていない。
弱到達不能基数の存在はしばしば追加的な公理として採られることがある。
到達不能基数はアレフ関数の不動点である必要があるが、その不動点が正則とは限らない。
例えば、最初の不動点は ℵ0,ℵℵ0,ℵℵℵ0,...の ω-列の極限で、これは特異基数である
性質
選択公理の下ではどの後続基数も正則である。したがって、ほとんどのアレフ数濃度の正則性・特異性は後続基数か極限基数かで確かめられる。濃度の中には、どのアレフ数と等しいか証明できないものもある。連続体濃度がその例で、ZFCの下では非可算な共終数をもついかなる非可算基数と等しいと考えても矛盾しない（イーストンの定理を参照）。連続体仮説は連続体濃度が正則な ℵ1 であるという仮説である