>>94 補足
>ZFCの下で、到達不能基数公理はグロタンディークとヴェルディエールのuniverse axiom「任意の集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。」と同値である
>この公理系は、例えば全ての圏は 適切な米田埋め込みを持つということを証明するのに役立つ

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
補足しておく

１）下記 米田の補題、米田埋め込み は
　平たく言えば 一般の圏論と集合論（の圏）との関係を示す定理です
２）下記 ”圏の大きさ”で、”大きい (large) ”（類（クラス））は 避けたいとする
　そこで、便宜的に ZFCのノイマン宇宙Vを、到達不能基数を使って
　大きな集合宇宙 グロタンディーク宇宙 U に拡大する
　そうすると、ノイマン宇宙Vでは類（クラス）だった対象が
　グロタンディーク宇宙 U では 集合として扱えるので
　ZFCの公理も使えて便利だよと
３）これは >>56の 坪井 明人 筑波大 数理論理学II Ｐ8 1.1.9 無限公理 https://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
　と類似で 後者 S(x)＝x∪{x} を、空集合∅ に無限回適用して 自然数の集合Nを作りたいのだが
　それは ZFC内では許されないので 無限公理で 上記の無限回操作のNを含む 無限集合を導入して
　無限集合に、 ZFCの分出公理(任意の集合から 部分集合を取り出す公理)を適用して
　自然数の集合Nを作ること に似ている
　つまり、ノイマン宇宙V ままだと 「それ 類（クラス）」と言われるとして
　グロタンディーク宇宙Uだと「これ集合だっぺ。ZFCの公理使えるだっぺ」となるのです■　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B1%B3%E7%94%B0%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
米田の補題
米田の補題（英: Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変あるいは反変hom関手 hom(A , _), hom(_, A) から集合値関手 F への自然変換と、値となる集合 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である
補題の帰結
普遍性
普遍性は D(d, F_) : C → Set の普遍要素として表現できる
米田埋め込み
米田写像の自然性から、対象 A ∈ C に関手 HA = hom(A, _)、あるいは HA = hom(_, A) を割り当てる操作
任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
概要
圏の研究は、関連する様々なクラスの数学的構造に共通する性質を見出そうとする試みだといえる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
圏 (数学)
定義
圏の大きさ
圏 C が小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる（つまり真の類でない）ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば（hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び）、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]
集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい
文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]