>>40 戻る
(引用開始)
>なので、「無限公理あり」のみが 実質的に
>冪P(N)=2^N → 連続濃度集合Rが 構成できる ってことだ
しかしZF-Infinityのモデルで連続体濃度集合が存在するようなものの存在を否定できない。なぜならZFが無矛盾なら連続体濃度集合の存在とZF-Infinityは矛盾しないから（仮に矛盾するとしたらZFが矛盾していることになる）。
(引用終り)

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
厳しく赤ペン先生しておくよ　；ｐ）

1）下記 渕野「無限の存在が集合論の他の公理から独立である」を認めよう
2）いま、簡単化のために、議論を無限公理に限定する
　（ZFで無限公理なしの公理系を表す）
　・通常のZF+無限公理で できる集合の宇宙をU(ZFinf)
　・ZF+無限公理の否定で できる集合の宇宙をU(ZFfin)
　・ZF+無限公理無しで できる集合の宇宙をU(ZFsmp) ここにsmp：simple で 単純に無限公理無しで 無限を否定も肯定もしない
　とする
3）U(ZFinf)は、無限公理ありで 普通にZFCのノイマン宇宙Vにつながる
　U(ZFfin)は、有限集合限定。但し、無限集合は この宇宙では存在が否定される（無限集合予想不成立）
　U(ZFsmp)は、無限集合を否定も肯定もしない。ゆえに 無限集合に関する命題は証明も否定もされない。永遠の予想状態
4）さて、数学では 証明された命題が一番価値があるのです
　その視点からは、U(ZFfin)とU(ZFsmp)とは 同じになる■

(参考)>>56より再録
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
R. Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化
神戸大学大学院・システム情報学研究科 渕野昌
数理解析研究所講究録第1739巻 2011年 168-179

3 無限の存在証明
Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，
無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研
究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．