>>94
>>群の”定義”で扱う
>定義と公理は何が違うんだい？

良い質問ですね by 池上　（＾＾
「定義と公理は何が違う」か・・

まあ、たまにプロ数学者が巡回しているから
ご意見を賜ればいいだろうが

まず、下記「ユークリッド幾何学」を見てみよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
ユークリッド幾何学 著書『原論』に由来する
概要
エウクレイデスはその成果を『原論』の1〜4巻において体系化した。その手法は以下の通りである。
・まず、点や線などの基礎的な概念に対する定義を与える。
・次に、一連の公理を述べ、公理系を確立する。
・そして、それらの上に500あまりの定理を証明する。
という現代数学に近い形式をとっており、完成度の高いものであったので、それ以降の多くの幾何学者はこの体系の上に研究を進めた
(引用終り)

さて、ユークリッド幾何『原論』を手本にして
19世紀末から20世紀初頭に 公理的集合論が構築された
だが、公理的集合論の外で ”普通”の数学の研究もなされていた
ブルバキが出た。「全数学を『原論』みたく 公理化しよう」となったのかも
だが、挫折した。”挫折した”と言い切ると 語弊があるかも

思うに、ユークリッド幾何『原論』から はみ出す幾何多数で
ブルバキも同様だったろう

ユークリッド幾何『原論』の利点は、当時の雑多な幾何定理に体系を与えたこと
欠点は、その後の発展を取り込めなかったこと

別に
有名なエルランゲンプログラムがある（下記）

エルランゲンプログラムは、『原論』と違って
幾何としての数学の発展を取り込む指針を与えたんじゃないかな？
『クラインの意味での幾何学とはリー群Gと、Gが推移的に作用する多様体Xとの組』
でも、ここでの群と 多様体は 公理ではなく 一つの言葉の定義 くらいの意味じゃね？
1872年の地点から 2025年までは縛れないだろう・・

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%97%E3%83%AD%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%A0
エルランゲン・プログラム（独: Erlanger Programm、英: Erlangen program）とは、1872年フェリックス・クラインが23歳でエルランゲン大学の教授職に就く際、幾何学とは何か、どのように研究すべきものかを示した指針である
概説
古代ギリシアにおいて「幾何学」といえばユークリッド幾何学の事であったが、数学の発展に伴い、様々な幾何学が登場した。
クラインの意味での幾何学とはリー群Gと、Gが推移的に作用する多様体Xとの組
(G,X)の事である[2]。
サーストンの幾何学
サーストンは自身の幾何学化予想を定式化する際、新たな幾何学の概念を定式化した。サーストンの意味の幾何学は、リーマン多様体上のクラインの意味での幾何学であり、群作用がリーマン計量と両立し、しかもある種の極大性をみたすものとして定式化される。
3次元空間には8種類の幾何学が存在し、3次元多様体を適切に分解したものには必ずこの8つの幾何学のいずれかが入る、というのが幾何学化予想で、ペレルマンにより解決された
(引用終り)