>>300
>たまたま３次式だったからそうなっただけで４次式でも同じことは考えられる
>https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1880-08.pdf

ちょっと違う
1）まず、下記 超楕円曲線で
　”次数が 2g + 1 のときは、曲線は虚超楕円曲線（英語版）(imaginary hyperelliptic curve)と呼ばれる。一方、次数 2g + 2 の曲線は実超楕円曲線（英語版）(real hyperelliptic curve)と呼ばれる。種数に関するこの呼び方は、g = 0 や 1 に対しても成り立つが、それらの曲線を「超楕円曲線」とは呼ばない。”
　とある
2）また Elliptic curve en.wikipediaで
　”If P has degree four and is square-free this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element.”
　とある
3）さらに ja.wikipedia で 「楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる[2]」
　とも。三次式が標準らしい　；ｐ）

(参考)　
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
超楕円曲線
y^2=f(x)
ここに、f(x) は n 個の異なった根を持つ次数 n > 4 の多項式である。
曲線の種数
多項式の次数は、曲線の種数を決定する。次数 2g + 1 と 2g + 2 の多項式で定義される超楕円曲線は、種数 g となる。3 次あるいは 4 次（g=1）の多項式で定義される曲線は、種数 1 の楕円曲線である（特別な一点を付加して）。
次数が 2g + 1 のときは、曲線は虚超楕円曲線（英語版）(imaginary hyperelliptic curve)と呼ばれる。一方、次数 2g + 2 の曲線は実超楕円曲線（英語版）(real hyperelliptic curve)と呼ばれる。種数に関するこの呼び方は、g = 0 や 1 に対しても成り立つが、それらの曲線を「超楕円曲線」とは呼ばない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
数学における楕円曲線（英: elliptic curve）とは種数 1 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 O を持つ種数 1 の代数曲線を言う[1]。
楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 P2 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる[2]。

https://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve
Elliptic curve
If y^2 = P(x), where P is any polynomial of degree three in x with no repeated roots, the solution set is a nonsingular plane curve of genus one, an elliptic curve.
If P has degree four and is square-free this equation again describes a plane curve of genus one; however, it has no natural choice of identity element. More generally, any algebraic curve of genus one, for example the intersection of two quadric surfaces embedded in three-dimensional projective space, is called an elliptic curve, provided that it is equipped with a marked point to act as the identity.