だからそういうざっくりした書き方じゃなくて正確にかいてっていってるんだけど。おれはこの話では

定理
K が root of unity をすべて含むとする。L を
x^n ∈L → x∈L
をみたす最小の代数拡大とする。このとき K の代数拡大 M について
M ⊂ L ⇔ Gal( M/L ) が solvable

であって K が root of unity を全部含むって仮定がないともっと条件は厳しいはず。実際 Gal( cos(2π/11) ) は位数 5 の巡回群にはなるけどそれを5次の根の分解体としようとすると虚数の5乗根を添加しないといけなくなって、それを認めるなら最初から 1 の 11 乗根を添加しとけばいいとなって自明な主張におちいってしまうはず