これは結構誤解されてる問題だと思う。問題になるのは

Gal(L/K) が solvable ⇒ L は K から初めてべき根を追加して得られる体

の向きの主張で「べき根を追加」のときに「虚数のべき根をゆるすか」で話が違うということ。Galois の元の主張は「虚数のべき根をゆるす」の立場でしたがって root of unity は全部ふくむことができる、だから最初から ground field が root of unity 全部入れてからスタートしてもよい。しかしそれだと「root of unityをℚに添加していくとき何がおこるか」ということは全く調べることができないわけでそれはそれで別問題になる。そしてたとえば
　cos(2π/5) = (-1+√5)/4
のような「root of unity を実のべき根で表す問題」とするならこれの答えの一つに

定理
cos(2π/n) が実のべき根(いわゆるⁿ√a (a>0、n∈ℕ)の形の実数)を順次添加して得られる体の元であるには [ℚ(cos(2π/n)):ℚ] が2べきであることが必要十分

のはず。なので少なくとも「円分多項式の根はつねにべき根であらわされる」なんて形の主張は成立しないはずだと思う。