>>449
巡回ご苦労様です

コウモリのいばる 鳥なき里の便所板に
トリ（ミネルバのフクロウ）のご登場か　（＾＾
下記 tsujimotterのノートブック ですね


(参考)
http://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/complex-multiplication-2
tsujimotterのノートブック
2018-05-19
虚数乗法論 (2)：楕円曲線の由来
今日は、楕円曲線の基本的な事項についてお話します。この記事を読んだら、楕円曲線の由来が楕円関数からきていることが納得できるかと思います。
また、度々言及される 「楕円曲線はトーラスの形をしている」 ということの意味について解説したいと思います。

ワイエルシュトラスのペー関数
略

定義（ワイエルシュトラスのペー関数）
略

ペー関数に親しみを持つために、ペー関数の3Dプロットを作ってみました。
https://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/t/tsujimotter/20180516/20180516143055.png

楕円曲線の標準形とトーラス
ペー関数を準備しましたので、ようやくですが楕円曲線との関連を見ることができます。

まず、ペー関数は以下のように z=0
の周りで展開することができます。
略
y2=4x3−g2x−g3・・・(8)
という式が得られます。
これはまさに 楕円曲線の定義方程式 になっています！！
もしかすると、楕円曲線の定義方程式といえば、こちらの式で覚えている方も多いかもしれません。
y2=x3+ax+b(9)
この形の式をワイエルシュトラスの標準形と言います。式 (8)
に x←x/36,y←y/108
を代入してあげれば、この標準形に変形できますので安心してください。

さて、ここまでで重大な結果を得ることができました。

ワイエルシュトラスのペー関数 ℘,℘′
は複素数平面 C
上の関数でした。その行き先 (℘,℘′)
が、（適切に変数変換を施せば）C
上の楕円曲線 E:y2=x3+ax+b
と対応しているというのです。

もう少し正確に言えば、ペー関数 ℘(z),℘′(z)
は２重周期関数ですから、格子の分だけずらしたものは同じ値に対応します。したがって z
に対して楕円曲線 E
の点が対応しているというよりは、z+Λ
に対して楕円曲線 E
のC
-有理点 (℘(z),℘′(z))
が対応していると考えます。

おわりに
ここまでの議論で「複素数平面を格子で割った空間 C/Λ
」と「C
上の楕円曲線 E(C)
」が同相であるということを説明してきました。両者を結びつけるのは、ワイエルシュトラスのペー関数という楕円関数でした。このことを「楕円曲線はペー関数によってパラメータ化される」というように言うこともあります。楕円関数によってパラメータ化されるので、「楕円」曲線と名付けられたそうです。これが楕円曲線という名称の由来です。