>>451
ご苦労様です
有名な”数理女子”の記事を引用しておきます

(参考)
https://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_points_of_elliptic_curve/
数理女子
楕円曲線の有理点 ※2016年2月
略
楕円曲線の有理点の演算
例えば楕円曲線に1つ有理点があったとして、その点を通る直線を考えると、その直線は 楕円曲線と合計
3点で交わり、最初の点が有理点で直線の傾きが有理点だとしても、 残りの
2点が有理点であるとは限りません。楕円曲線の場合、パラメーター表示に代わる 何かはあるのでしょうか？

楕円曲線の2つの点 P, Qに対して、その２点を通る直線は、楕円曲線と３点目 R′ で交わります
P, Q
が有理点であるとすると、そこを通る直線の傾きも有理数となり、点 R′も有理点になることが 分かります。また、楕円曲線の式からグラフは
x軸に対して対称となることから、点R′をx軸で ひっくり返した点Rも有理点となることが分かります。以後、この様に得られた点
R を、 R=P+Qと書きます。ここで+という記号を使っていますが、普通の有理数の足し算という意味ではありません。 ２つの有理点
P, Qに対して、新しい有理点Rを対応させる操作という意味です
略
この場合、 E(Q)は無限集合になることが導かれます

Mordellの定理とBirchとSwinnerton-Dyer予想
以上の考察から、楕円曲線の有理点は二次曲線の場合とは異なり、有理点の数が有限個だったり無限個だったりと複雑な振る舞いをしていることが分かります。 これに関して、以下の大事な結果が知られています
Mordellの定理　
E(Q)は、有限個の有理点 P1,⋯,Pnから上記の操作で生成される

Mordellの定理が主張していることは、E(Q)のどの点も、P1,⋯,Pn
という有限個の有理点の和として求まるということです
E(Q)自身は無限集合かもしれませんが、無限集合であったとしても有限個の有理点から操作を始めると全ての有理点が求まってしまうというところが、とても不思議で面白いところです

楕円曲線が与えられたとき、その楕円曲線の有理点を見つけるための有効なアルゴリズムは現在のところ知られていません。有理点が与えられれば、上の操作を使って新しい有理点を作ることもできますが、楕円曲線の有理点すべてを具体的に求めることは非常に興味深い問題でありながら、現在人類の持つ技術では難しい問題でもあります。この様な状況の中、与えられた楕円曲線の有理点の個数の大きさを予想しているのがBirch and Swinnerton-Dyer予想です

Birch and Swinnerton-Dyer予想（BSD予想）は、楕円曲線の有理点の大きさが、
L関数と呼ばれる関数で記述されると予想しています
今後取り組むべき重要な７つの問題としてクレイ数学研究所により選ばれたミレニアム懸賞問題の１つでもある、とても大切な問題です。 多くの数値実験などにより、この予想が正しいことが期待されていますが、現在のところはまだ限られた楕円曲線に対してしか証明されていません。 BSD予想は、Deligne予想、Beilinson予想、Bloch-Katoの玉河数予想など、方程式で定義された幾何学的図形の数論的な情報と
L関数との関係を記述する様々な予想の出発点となっています