Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 76

（前“応援”スレが、1000又は1000近くになったので、新スレ立てる）
前スレ：Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 75
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1757554210/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13
＜IUT最新文書＞
About the study of IUT by Ivan Fesenko http://ivanfesenko.org/wp-content/uploads/rapg.pdf https://ivanfesenko.org/?page_id=80
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
望月新一＠数理研
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
＜新展開＞
・2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
://www.sankei.com/article/20240402-WNUUSYIAO5PRVNCBQSEEUETGMU/
産経 2024/4/2
宇宙際タイヒミューラー理論を提唱、望月新一氏らに賞金１０万ドル
同理論の発展に重要な貢献を果たした論文の執筆者に贈られる「ＩＵＴｉｎｎｏｖａｔｏｒ賞」の最初の受賞者として望月氏ら５人が選ばれ

://www3.nhk.or.jp/news/html/20230707/k10014121791000.html
NHK 数学「ABC予想」新たな証明理論の研究発展させる論文に賞創設 20230707
研究を発展させる論文を対象に、100万ドルの賞金を贈呈する賞が国内のIT企業の創業者によって創設されることになりました
▽新たな発展を含む論文を毎年選び、最大で賞金10万ドル
▽理論の本質的な欠陥を示す論文を発表した最初の執筆者に対しては100万ドル

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz
（J. Stixさん、IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレは、IUT応援スレとします。番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています。
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、実は 分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！
つづく

>>508

tsujimotter氏は、参考文献で
三冊 楕円曲線の教科書をあげている

https://tsujimotter.ｈａｔｅnablog.com/entry/complex-multiplication-and-calculation-1
tsujimotterのノートブック
具体例を通して学ぶ虚数乗法論（前編）

参考文献
楕円曲線論入門
作者:J. H. シルヴァーマン,J. テイト
発売日: 2012/08/25
メディア: 単行本

The Arithmetic of Elliptic Curves (Graduate Texts in Mathematics (106))
作者:Silverman, Joseph H.
発売日: 2009/05/29
メディア: ハードカバー

楕円曲線論概説〈上〉
作者:J.H. シルヴァーマン
メディア: 単行本

>>499-500
きみも
tsujimotter 日曜数学者 氏を
見習って
参考文献を書くべきでは？　；ｐ）

一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）

　>>499-500 で君が書いたことは
それ、日曜数学者のtsujimotterが書いているように
種本（参考文献）あるんだよね

あたかも 自分一人で
考えたように
ハナタカするのは、それ違うんじゃね？ｗ　；ｐ）

尊師♪尊師♪ｿﾝｼｿﾝｼｿﾝｼ♪
望♪月♪尊師〜♪

>>511
理解していれば別に構わないんですよ

>>511
>ハナタカするのは、それ違うんじゃね？ｗ　；ｐ）
なぜあれをハナタカと看做すのかと言えば
あなたがそれをやりたくてやりたくて堪らないからです

あなたが「ハナタカ」と思った人に
あなたが「ハナタカ」と思ったと書いても
読んだ人は誰もが田作の歯軋りにしかみなさないでしょう
あなたがするべきことは「ハナタカ」の鼻を折るような
鋭い質問でしょうよ

>>506
公式には？

鼻は折られることも
齧られることもある

>>510
>きみも参考文献を書くべきでは？
>>511
>それ、種本（参考文献）あるんだよね
>あたかも 自分一人で考えたように
>ハナタカするのは、それ違うんじゃね？

自分は他人の借り羽でハナタカするくせに
相手が自分の知らないこと書くと劣等感でイラついて
「種本書け　お前もオレと同じ借り羽だから同類」
と相手を下げようとするみっともない虚飾カラスの世田某

おまえみたいな分かりもせずにコピペする
「中身ゼロでも自分を誇りたがる病的ナルシスト」
と一緒にすんなってさ

>>513
>理解していれば別に構わないんですよ
>>514
>なぜあれをハナタカと看做すのかと言えば
>あなたがそれをやりたくてやりたくて堪らないからです

「他人の羽でハナタカ」するカラスの世田某ｗｗｗｗｗｗｗ

最先端のネタを分かりもせずにコピペして貼り付けてドヤるカラスには
大学１年で習う基礎ネタを質問してトンデモ回答を引き出す

実績
１．逆行列が存在する条件　
カラス「正方行列」　正解「行列式が０でない正方行列」

２．無限小数による構成が実数の定義を満たすこと
カラス「1＝0.999…でなくてもいい」　正解「それ満たさないと完備性が成立しない」

３．無限集合に関する性質
カラス「順序数はX∪{X}で生成されるから、X∪{X}＝ωとなるXが存在する」　
正解「存在しません　ωは後続順序数ではないから」

カラス、スリーアウト！！！

すぐ、
「群ダー」（ガロア理論）
「圏ダー、層ダー」（グロタンディクの理論）
とチューショー的な理論に食いつくカラスは
その前の段階である
線形空間（集合から数体への関数の空間）の理論
すら理解できない始末

そらアカンわ

R^nを「ｎ個の実数の並び」としか理解できない
「元がｎ個ある集合から実数への関数」なんてことは
高卒レベルの具体脳の彼にはまったく想像もできない

>>475
>だからiutの言語規則と推論規則をセタが抜きだきて引用してくれや
>それすらないのに何を議論するんや

下記 「圏論とはなんなのか」
”圏論は基礎論を無視したガバガバ理論”と
”圏論的な基礎論は明らかな循環論法”
を 百回音読してねｗ　；ｐ）

https://takulabo.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/notes/math_category_introduction.html
TakuLabo
僕用勉強ノート 「圏論」の巻
圏論とはなんなのか
目次
• 圏論とは
• 圏論の使用用途
• 集合の概念の客観視
• 双対性をフォーマルに捉える
• 自然性のフォーマルな定式化
• 普遍的構成をフォーマルに取り扱うことを可能にする
• 図式追跡の厳密な環境設定
• 数学的構造の計算ツールの基盤
• 抽象的な構造の定式化
• 構造が付随するべきものを明確にする
• 型理論を意味論的な側面から考える
• 多項式を始めとする従来の枠組みからはフォーマルに定義することが困難な概念に対する厳密な定義の提供
• 数学基礎 (foundations for mathematics) の一つとして活用する
• 圏論初学者が陥りがちな典型的な誤解
• 圏論では具体的な構成ができない
• 圏論は基礎論を無視したガバガバ理論
• 圏論的な基礎論は明らかな循環論法
• 仕様ベースの数学と従来の実装ベースの数学
• 圏論の世界に踏み入る前に...

つづく

つづき

（以下抜粋）
圏論は基礎論を無視したガバガバ理論
圏論は従来の集合論の枠組みを逸脱するという特徴があり、ZFC を数学基礎に考えてきた人から「圏論はフォーマルな基礎の上に打ち立てることができないガバガバ理論」という印象を持たれたとしても不思議ではない。
結果から言うと、圏論を厳密に展開していくためには「ホモトピー型理論 (HoTT: Homotopy Type Theory)」を集合論の代わりに基礎として使用する必要がある。
というのも、圏論を実践的に展開していくうえで、宇宙 (Universe) の存在は欠かせない。
一方で「集合 (0-型) を要素に持つ空間」が再び「集合 (0-型)」であるとした場合、そもそも集合という概念は
それが持つ要素の間の「同じ (sameness)」の概念が「Equality」で評価される空間
であり、
「同じ (sameness)」の概念が「Isomorphic (同形)」で評価されるべき空間である「集合 (0-型)」が「Equality」によって評価される
というあってはならない状況に陥ってしまう。
即ち「宇宙」を集合として定義することはマズイということである。
因みに、類 (class) の概念を使って集合全体の "集まり" を定式化したとしても、それは結局一時しのぎにしかならない。
一方ホモトピー型理論は、「無限亜群」という概念を根源要素として導入することによって、こういった不都合を起こすことなく宇宙の概念を自然に取り扱うことができるようになる。
例えば、まず適当な宇宙を無限亜群 U
として与えた上で、「 U内の n-亜群全体の空間」を構成してみると
U内の集合 (0-型) 全体の空間は、亜群 (1-型)
U内の亜群 (1-型) 全体の空間は、2-亜群 (2-型)
U内の2-亜群 (2-型) 全体の空間は、3-亜群 (3-型)
U内の3-亜群 (3-型) 全体の空間は、4-亜群 (4-型)
というようにその全体の空間が自動的に「要素を適切な Sameness によって評価する空間」として構成されることになる。

圏論的な基礎論は明らかな循環論法
従来の集合論的なアプローチと純粋圏論的なアプローチの間にはしばしば大きな違いがあり、その辺の区別をしっかりしないまま一方の考え方を他方に無造作に当てはめてしまうと、そういった誤解に陥る可能性がある。典型的なのは、「圏の定義に集合が必要なので、圏を使った集合の定義なんて明らかに話が循環しているし、その程度の単純なことにすら気付くことができないなんてどうかしてる」といった類いの誤解である。
他にも、「非交和に用いる2つの集合は、それぞれ集合の和をとる直前に区別用のインデックスが添えられた別の集合へと変化させられているはずなのに、それらを区別せずに同一の記号で表しているのはおかしい」という誤解などがある
(引用終り)
以上

あほですか？そんなとこに答えあるわけないやろ？
通常の圏論はまず集合論を構成してその中に作られる。通常の圏論は全部それ。
しかし先に圏論を構成してその中に集合論作る流儀もなくはない。しかしそれでつくってもできあがったものは通常のものと変わりない。単に流儀、趣味のちがい。
結局既存の圏論をいくら引用してもIUTのいう通常のそれとはちがうものなんぞでてこない。いちから作りなおすしかないんだよ。
で？どこに書いてあるんや？理解できるとかなんとかいう以前にかいてあるかどうかすらわからんのか？それで数学の議論ができるとおもてんのか？ポンコツ

ロンパされて
発狂する ヒキコモリ数学基礎論くんであった

自分が論破されたことも分からない白痴

まともに思考する能力が０
思考はして相手が言ってることのほうが正しいのはわかるのかもしれないが、それをうけて自分が次におこすべき行動を感情の方をとってしまう。人間として機能してない。
完全に壊れてる。ポンコツ

>>499-500
(引用開始)
多価性としては、分岐点以外では2価であることも分かる。
4つの分岐点を2つずつペアにしてそれぞれ半直線で結び
その線に沿ってリーマン球面に切り込みを入れる。
すると、切られた面上では√f(z)は一価函数になる。
しかし、これは一つの葉（よう）にすぎないので
同じ面のコピーをもう一つ用意して、2枚を同じz座標に沿って
貼り合わせる。するとトーラスが出来て、これが
√f(z)のリーマン面である。
このように4つの分岐点が重要な値になるが、この4つを
同じメビウス変換で移しても、解析的に同型である。
したがって、この4点のメビウス変換不変量が
意味を持つであろうと予想できる。これは「複比」
によって構成でき、これがλである。
　>>502より(ID:YTjRaimF は御大）
λの一般化はタイヒミュラー理論によって実現できる
(引用終り)

さて
1）下記の武部尚志 「楕円積分と楕円関数」が 君の論に近い
　P117 第8章 楕円曲線 に 同じ説明がある。例えば ”8.1 √φ(z)のリーマン面”など
（メビウス変換はP31）
2）梅村 「楕円関数論」は、”はじめに”にあるが 代数幾何関連を付録にしている
　付録I 3次曲線（楕円曲線）、付録Ｊ 4次曲線（楕円曲線） リーマン面の説明もある
　付録K Legendreの標準形 （4次曲線の標準形）
3）御大が、”λの一般化はタイヒミュラー理論”と 茶々入れ　（＾＾

結論として、tsujimotter 日曜数学者 氏を 見習って
参考文献を書くべきと思うよ

(参考)>>257より再録
いま手元に 書棚から 楕円関数の本2冊
一つは 梅村 「楕円関数論」 東京大学出版会 2020/05/27 https://www.utp.or.jp/book/b498559.html
梅村の最後に 第6章 楕円関数の応用 で
6.6 5次方程式の解法が ”とり”だ（紅白のたとえで）
なお、第5章 楕円曲線のモジュライ 5.3 モジュラー関数J(τ) があるね（下記 ja.wikipedia j-不変量 モジュラー関数 ご参照）

もう一つは 武部尚志 「楕円積分と楕円関数」2019 日本評論社 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/8132.html
武部は良いね、読みやすいし まえがき に
「（位相幾何学の）証明に出てくる技術的な話は読み飛ばして差し支えないし、大事な話は直感的に分かる図形の話なので
、あまり怖がらないでほしい」
というスタンスだ （全般にそんな感じ）
数学セミナー誌 2017年4月から 2018年9月までの連載がもとだというが 当時は読んでいない
この本は、ヤコビの楕円関数が活躍する
最後の参考文献に、「ヤコビ 楕円関数原論」（講談社 2012）が上がっているね（下記）

社会の内に精神病院があり、社会の外に犯罪者がいるという圏論、ソクラテスの作図が大事だ。

>>527 補足
(引用開始)
もう一つは 武部尚志 「楕円積分と楕円関数」2019 日本評論社 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/8132.html
武部は良いね、読みやすいし まえがき に
「（位相幾何学の）証明に出てくる技術的な話は読み飛ばして差し支えないし、大事な話は直感的に分かる図形の話なので
、あまり怖がらないでほしい」
というスタンスだ （全般にそんな感じ）
数学セミナー誌 2017年4月から 2018年9月までの連載がもとだというが 当時は読んでいない
(引用終り)

いま、武部尚志 「楕円積分と楕円関数」
　P117 第8章 楕円曲線 ”8.1 √φ(z)のリーマン面”
を見ていると、数学セミナー誌 2017年4月から 2018年9月当時
その”8.1 √φ(z)のリーマン面”と同じ図が
数学セミナー誌にあったように思う・・・
（ページを繰るときに 面白い図解だったので 目にとまったと思う）

内部で梱包するにも行き来できる犯罪者の風が大事だ。内部守　外部攻撃。

>>528
死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツさん
ありがとうございます
今後ともどうかよろしくお願いいたします。

精神病院にしようか刑務所にしようか悩んでる人に警察病院魅力やカリスマから処方。

隔離されうることは必定だが外にはなにもないのだよ。

>4つの分岐点を2つずつペアにしてそれぞれ半直線で結び
>その線に沿ってリーマン球面に切り込みを入れる。

半直線は用語の誤りで、正しくは「線分」ね。
あと2本切り込み線を入れるわけだが、交差しないようにする必要がある。
というか、こんな簡単な話、自分の頭で考えようとは思わない？

わたしのタネ本？ そりゃ複素解析の初歩くらいは学んでますが。
学生時代、岩澤健吉の「代数函数論」を「読んだ」と言っていたが
今にして思うと読めてなかった。

>>527 補足
>結論として、tsujimotter 日曜数学者 氏を 見習って
>参考文献を書くべきと思うよ

私のスタイルは tsujimotter 日曜数学者 氏 と同じで
（それは 学会発表や論文と同じ）
参考文献をあげて すでに知られていることをベースに
論を組み立てる

tsujimotter 日曜数学者 氏 と同じで
自分独自の論が 殆ど無い場合もある

一方、数学科オチコボレさんとか
その連れのスタイルは、参考文献を隠して
すべてを 自分が考えた如く書いているｗ　；ｐ）

それ、私や tsujimotter 日曜数学者 氏
とは 真逆のスタイルですよ

ガウス平面やリーマン球面から出発して、切り刻んだり貼り付けたりというやり方は
ブルバキ流ではないし、ワイルの流儀でもないから、批判される余地はあるが
素朴ではある。

まぁそもそも整数論に応用する場合には係数体がℚで治ってるのかが問題になってしまう。ベタベタ貼り付けるだけではその変換かℚ係数で収まってるのかどうかが問題になる。
例えばy²=f(x) (f(x):4次数) を双有理に v²=g(x) (g(x):3次) に置き換えるときは確か係数体側で二次の拡大取らないといけない例があるはず

確か定数項が平方数でないとダメだったような

>>536
>その連れのスタイルは、参考文献を隠して
>すべてを 自分が考えた如く書いているｗ　；ｐ）
その分野の常識的なことなら
参考文献しか書かないよりずっとよいのでは？
何も理解しようとせず自慢に明け暮れる姿勢は
見苦しいものですよ

「切り刻んで貼り直す」というのは、ビジュアル的に分かりやすくするためで
実は、リーマン球面上の分岐被覆の状態で、すでにトーラスと
同相なのである。セタはそんなことも知らないだろう。

>>521
＞・・・を 百回音読してね
とかいう自分は一回チラ見で「わかんね」と諦め

大学１年から「まるで成長していない」
https://dic.pixiv.net/a/%E3%81%BE%E3%82%8B%E3%81%A7%E6%88%90%E9%95%B7%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%84%E3%81%AA%E3%81%84

世田某「現代数学の最先端の…その空気を吸うだけで僕は高く跳べると思っていたのかなぁ…」

>>527
>参考文献を書くべきと思うよ

まず読んで中身を理解すべきと思うが

国語レベルが著しく低いカラスの世田某には無理か

>>543
(引用開始)
>4つの分岐点を2つずつペアにしてそれぞれ半直線で結び
>その線に沿ってリーマン球面に切り込みを入れる。
半直線は用語の誤りで、正しくは「線分」ね。
あと2本切り込み線を入れるわけだが、交差しないようにする必要がある。
というか、こんな簡単な話、自分の頭で考えようとは思わない？
(引用終り)

武部尚志 「楕円積分と楕円関数」
　P117 第8章 楕円曲線 ”8.1 √φ(z)のリーマン面”で
図8.1が 3次のリーマン面の図
図8.2が 4次のリーマン面の図

武部では、用語”切れ目”で統一して記述している
位相的には、直線である必要はないだろう（普通は直線だが）
なお、半直線に相当するのは 3次のリーマン面の場合で
1本は「無限（半無限）に長い切れ目をa1*と無限遠の間に入れ」としている
（* a1は 3次式の根の一つ）

なので、3次と4次が混線しているようだね　（＾＾

>>529
＞面白い図解

以上、多様体論とか全く知らない素人の素朴な感想でした

>>534
＞「4つの分岐点を2つずつペアにしてそれぞれ（交差しない）線分で結び
＞その線に沿ってリーマン球面に切り込みを入れる。」
＞こんな簡単な話、自分の頭で考えようとは思わない？

資源工学科では複素解析とか教えないから
全部初耳なんじゃね？

数学科では大学２年レベルだけどね

>>535
＞わたしのタネ本？ そりゃ複素解析の初歩くらいは学んでますが。

多様体の淵源が複素解析にあることは間違いない

現代的な多様体の定義もホイットニーによるが
アトラスの張り合わせの発想はワイルの「リーマン面」に遡る

・・・ということでいいんだよね？

>半直線は用語の誤りで、正しくは「線分」ね。
あと2本切り込み線を入れるわけだが、交差しないようにする必要がある。

こういうどうでもいい事にいちいちしょうもないツッコミ入れるのもわかってるアピールなんだろうが、それが他人からどう思われるのか、そういう人間として当然わからんといかん事がわからんゴミ

>>537
＞切り刻んだり貼り付けたりというやり方は
＞ブルバキ流ではないし、ワイルの流儀でもない・・・

そこはどっちの方法でも正当化できるので
分かってる人はそんなことで批判はしない

知らんけど

グロモフ・ウィッテン不変量

>>540
＞その分野の常識的なことなら参考文献しか書かないよりずっとよいのでは？
＞何も理解しようとせず自慢に明け暮れる姿勢は見苦しいものですよ

世田某が大学で習った数学は
大学１年の微分積分と線形代数が全て
と思われる

複素解析とかおそらく全然習ってない
だから数学科の人間ならみんな知ってることが
実は全然初耳だったりする

そして素人のくせにそれが恥ずかしいと思ってる
だからブチ切れる

安心しろ　世田某
だれもおまえがいっちょまえの大人だなんて思ってないから

>>536
＞私のスタイルは参考文献をあげて
＞すでに知られていることをベースに論を組み立てる
＞自分独自の論が 殆ど無い場合もある

＞一方、（他の人々は）
＞参考文献を隠してすべてを 自分が考えた如く書いている
＞それ、私とは 真逆のスタイルですよ

数学科で教育受けた人ならみんな知ってることを書くのに
いちいち参考文献は書かない　そこらの本に書いてあるから
で、みんな知ってることだから、書いた人が自分で考えたとか思わない

世田某がいちいち僻むのは、教育を受けてなくて初めて知ることばかりだから
当然どこに書いてあるかも知らん　複素解析の本なら書いてあるなんてことも知らん
まあ、マセマの複素解析とかみたいなチョロい本しか読んでないならそうなる

要するに世田某の感情的反応のすべてが
不勉強による無知と、その劣等感に根差してる
ので、こういうしかない

「初歩から勉強しろよ」

>日本は明らかにファシスト政権ではない。

ファシズムとまではいきませんが、第二次世界大戦の残虐行為を否定するのと同じナショナリズムが、おっしゃる通り、無関係な領域の人々の態度にも影響を与えています。ビデオゲームの話が出ましたので、ドラゴンクエストの作曲家すぎやまこういち氏の態度も考えます。彼はナショナリズム的な理由で西洋の聴衆に自分の音楽を拒絶することを決意しました（すぎやま氏の政治的傾向のせいで、ドラゴンクエスト11のサウンドトラックは海外ではひどいものになりました）。

>>544
つっこみのいちいちが無理解に基づいているので
かえって恥ずかしいカラスの世田某

>>526
それ、セタに言ってる？ MSに言ってる？
>懐疑派の独ボン大のピーター・ショルツ教授（37）らが「証明にはとても深刻な問題があり、微修正では救えない」と断じると、望月氏は「学部・院生レベルの初等理論についての深刻な無知さを宣言している」と反論した。

>>508
>日曜数学……辻 順平 (tsujimotter)　氏
>数学セミナー 　2024年9月号 に記事を書いている

辻 順平 (tsujimotter)　氏
2009年3月　北海道大学工学部 卒業
数学科オチコボレさんより 力は上かもよ （＾＾

http://tsujimotter.info/
tsujimotter のポートフォリオ
プロフィール
氏名
辻 順平 （Junpei Tsuji）
学位
博士（情報科学）
略歴
2009年3月　北海道大学工学部 卒業
2011年3月　北海道大学情報科学研究科 修士課程修了
2012年4月　日本学術振興会　特別研究員（DC2）
2014年3月　北海道大学情報科学研究科 博士後期課程修了
2014年5月　独立行政法人産業技術総合研究所（特別研究員）
2016年4月　神奈川大学（助教）
2019年4月　東洋大学情報連携学部（助教）
2022年4月〜北海道情報大学情報メディア学部（講師）

(>>527より再録 ；ｐ)
>>499-500
(引用開始)
多価性としては、分岐点以外では2価であることも分かる。
4つの分岐点を2つずつペアにしてそれぞれ半直線で結び
その線に沿ってリーマン球面に切り込みを入れる。
すると、切られた面上では√f(z)は一価函数になる。
しかし、これは一つの葉（よう）にすぎないので
同じ面のコピーをもう一つ用意して、2枚を同じz座標に沿って
貼り合わせる。するとトーラスが出来て、これが
√f(z)のリーマン面である。
このように4つの分岐点が重要な値になるが、この4つを
同じメビウス変換で移しても、解析的に同型である。
したがって、この4点のメビウス変換不変量が
意味を持つであろうと予想できる。これは「複比」
によって構成でき、これがλである。
　>>502より(ID:YTjRaimF は御大）
λの一般化はタイヒミュラー理論によって実現できる
(引用終り)

さて
1）下記の武部尚志 「楕円積分と楕円関数」が 君の論に近い
　P117 第8章 楕円曲線 に 同じ説明がある。例えば ”8.1 √φ(z)のリーマン面”など
（メビウス変換はP31）
2）梅村 「楕円関数論」は、”はじめに”にあるが 代数幾何関連を付録にしている
　付録I 3次曲線（楕円曲線）、付録Ｊ 4次曲線（楕円曲線） リーマン面の説明もある
　付録K Legendreの標準形 （4次曲線の標準形）
3）御大が、”λの一般化はタイヒミュラー理論”と 茶々入れ　（＾＾

結論として、tsujimotter 日曜数学者 氏を 見習って
参考文献を書くべきと思うよ

(参考)>>257より再録
いま手元に 書棚から 楕円関数の本2冊
一つは 梅村 「楕円関数論」 東京大学出版会 2020/05/27 https://www.utp.or.jp/book/b498559.html
梅村の最後に 第6章 楕円関数の応用 で
6.6 5次方程式の解法が ”とり”だ（紅白のたとえで）
なお、第5章 楕円曲線のモジュライ 5.3 モジュラー関数J(τ) があるね（下記 ja.wikipedia j-不変量 モジュラー関数 ご参照）

もう一つは 武部尚志 「楕円積分と楕円関数」2019 日本評論社 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/8132.html
武部は良いね、読みやすいし まえがき に
「（位相幾何学の）証明に出てくる技術的な話は読み飛ばして差し支えないし、大事な話は直感的に分かる図形の話なので
、あまり怖がらないでほしい」
というスタンスだ （全般にそんな感じ）
数学セミナー誌 2017年4月から 2018年9月までの連載がもとだというが 当時は読んでいない
この本は、ヤコビの楕円関数が活躍する
最後の参考文献に、「ヤコビ 楕円関数原論」（講談社 2012）が上がっているね（下記）

>>557
>結論として、tsujimotter 日曜数学者 氏を 見習って
>参考文献を書くべきと思うよ
あーなんかスタンス分かった気がする
分からないことを質問するのが屈辱的に感じていて
質問しなくていいように参考文献読みたいから
参考文献書け書けと言ってるんじゃナイかな

セタさんは、自分の頭で考えず字面を追ってるだけだから
「4次を3次に落とせるということだろう」のように、表面的なことしか言えない。
本質は>>491。つまり、y^2=f(x) （f(x)は重根を持たない3次または4次多項式）
を楕円曲線の標準形と認めれば、細かい計算なしに、4つの分岐点で特徴付けられる
ことは分かるわけ。あとは、メビウス変換で移り合うものは同型ということになり
移り合わないものがモジュラー不変量jさらには、基本領域の点と対応することになる。
λとJの関係は、高木貞治の本とかに書いてある。複比の重要性を学んだのも
この本がきっかけ。

動機「ガウスはどのようにモジュラー函数を発見したか？」

モジュラー不変性の起源も素朴であり
楕円函数の一組の基本周期ω_1,ω_2を
|ad-bc|=1なる整数a,b,c,dによって
aω_1+bω_2,cω_1+dω_2と変換したものも
また基本周期であるという事実に基づいている。
ad-bc=±1であるが、ここで「+1なる変換に限定する」
ことに意味があることをガウスは経験上
知っていたとされる。モジュラー不変性は
数値計算でもすれば、発見できるだろう。
実際にはλは6つの異なる値が生じ、Jの方が
高い対称性、すなわちPSL(2,Z)対称性を
持っている。が、ガウスが描いた基本領域の図は
λの対称性である合同部分群Γ(2)の基本領域。
ガウスがモジュラー群よりΓ(2)を重視したのは理由があったのではないか？
というのは、わたしの想像。
とまれ、発見は意外に素朴なことだったのかもしれない。

高木 定本　解析概論 岩波 が来た（図書館に頼んでいた）
”附録 I　無理数論”では
主にデデキントの切断で論じている

但し ”9 実数の集合の一つの性質”で、非可算性を
実数の10進展開を使って、カントールの対角線論法を説明しているね

別に 第9章 Lebesgue 積分が 追加されている
115 零集合 で、Cantor の三進集合（実数の三進数展開を利用した集合）で
可算でない零集合を論じている
『Lebesgueは一片の咒*語’ほとんど’をもって、彼の積分論に魅惑的な外観を与えたのであった』
か。なるほど、これが 高木先生のLebesgue 積分の＜“big picture”＞(>>11 by Terence Tao）か
(注* いまどきは 呪 と書くところだろう。咒語は、呪文と同義)

第8章 積分法(多変数) 101でベクトル法の記号で
ベクトル解析の Stokesの定理まで扱う
至れり尽くせりだ　（＾＾

(参考)
https://www.iwanami.co.jp/book/b265489.html
定本　解析概論 岩波
高木　貞治 著 2010/09/15
目次
第１章　基本的な概念
第２章　微分法
第３章　積分法
第４章　無限級数　一様収束
第５章　解析函数，とくに初等函数
第６章　Fourier式展開
第７章　微分法の続き（陰伏函数）
第８章　積分法（多変数）
第９章　Lebesgue積分
附録 I　無理数論
附録 II　二，三の特異な曲線

If there was an Igfields Prize or an Iguabel Prize,
There is no doubt that Dr. Mochizuki will win the award.

>>556
＞数学科オチコボレさんより 力は上かもよ
カラス　悔しさのあまり他人で誇る　完全に発●
＞参考文献を書くべきと思うよ
カラス　発●する前に、参考文献を理解できるまで熟読すべきよ
書くのはその後でいいから　理解ゼロで書くな　自慢を書くな

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
三次方程式
還元不能の場合
三次方程式
x3 + p x + q = 0
三次方程式の判別式
D = −(4p3 + 27q2)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4
モジュラー群
定義
モジュラー群
Γ は、ad − bc = 1 を満たす整数 a, b, c, dによって、
z↦(az+b)/(cz+d)
と表せる複素上半平面の一次分数変換の群である。群演算は写像の合成である。
この変換の群は、特殊射影線型群 PSL(2, Z) に同型である。PSL(2, Z)は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Z) をその群の中心 {I, −I} で割った商である。言い換えると、PSL(2, Z) は、 ad − bc = 1 を満たす整数a, b, c, dによって
(a b)
(c d)
(注：ここは行列の意図だよ。便所板では これしか書けないがね；ｐ)
と表される全ての行列で構成される。
ただし、行列 A と -A は同一視する。群の演算は通常の行列の積である。
モジュラー群を PSL(2, Z) であると定義する著者がいる一方で、より大きな群である SL(2, Z) であると定義する者もいる。
数学的な関係より、+1または-1の行列式をもつ行列の群 GL(2, Z) を考えることを求めることもある。
（ SL(2, Z) はこの群の部分群である。）
同様に、PGL(2, Z) は商群 GL(2,Z)/{I, −I} である。単位行列式を持つ 2 × 2 行列は、シンプレクティック行列であるので、SL(2, Z) = Sp(2, Z) は 2 × 2 行列のなすシンプレクティック群である
(引用終り)
以上

>>558
世田某はそもそも分からないことが屈辱
なんでもかんでも分かってるとウソついてでもいいたい
この「ウソついてでも」が病気
正常な人はそんなつまらないことでウソつかない

参考文献書けとかいうのは他人に対するマウント
これまた病気　なんで他人に勝ちたいのか知らんが
こんなの完全な精神異常だからとっとと治せよ

>>559
世田某は「オレは賢い」といいたいだけ
でも考えることが大嫌いで表面だけ取り繕うウソで
他人を騙そうとする　完全な病気

大学１年の数学の基礎すら勉強しないヤツに何言っても無駄かと

>>565
＞赤ペン先生しておくよ
＞GL(2,C)→”SL(2, Z) の作用の下に不変”
＞4次方程式→3次方程式 y2 = 4x3 − g2x - g3
＞"モジュラー判別式Δ" 4次方程式の判別式から来ている（はず）
＞→Δ=(g2)^3−27(g3)^2で 3次方程式 y2 = 4x3 − g2x - g3の判別式
＞不変式論は
＞”例題2 四次方程式の不変式論的解法”と
＞”例題1 三次方程式の不変式論的解法”と
＞両方あるから 「四次方程式だ」と決め打ちする根拠には ならない！

高卒が赤ペン先生できない証拠
３と４の違いに固執し、何が本質か分かってないから
トンチンカンな言いがかりしかつけられない

大学１年の数学を最初から勉強し直せ　高卒カラスの世田某

GL(2､C)不変というのは
メビウス変換で不変ということ

複比はメビウス変換で不変

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B

なぜ赤ペンなどという単語を平気でつかうかというと自分がそんな立場にないことを百も承知でそんな自分が「赤ペンしとくよ」という言葉を発することで相手をイラつかせようと思っている。相手をイラつかせることにしか生きる意味を見いだせない、だれの役に立つこともできないポンコツ。自分が生きていることが誰の利益にもならないことに一ミリも引け目を感じることができない不良品

>>516
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/archive/other/2005/coe-report.html

>>571
＞（カラスの世田某は大学数学で落ちこぼれた）
＞自分が赤ペンできる立場にないことを百も承知で
＞「赤ペンしとくよ」という言葉を発することで
＞数学板読者をイラつかせようと思っている。

我々も彼の発言に赤ペンしているが
別に高卒の彼をイラつかせて喜んでいるわけではなく
単に彼がどこでつまづいてるか気づかせ
彼が何をなすべきか明らかにしているだけである
いわば高卒素人に対する教育的配慮

カラスの世田某は、まず
「現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP」とかいう中二HNで
検索結果をわけもわからずコピペする「自傷行為」をやめよう

匿名でわからないことを質問すればいい

>>167
>楕円関数論は重要な発見が多すぎて一筋縄ではいかない
>どんな命題でも場面が変われば舞台の中央に立ちうる

全くです
下記 「四次の楕円曲線の媒介変数表示とLanden 変換について 高橋大介」
で四次の楕円曲線を扱う

https://kait.repo.nii.ac.jp/record/12133/files/kkb-046-004.pdf
四次の楕円曲線の媒介変数表示とLanden 変換について
高橋大介 神奈川工科大学研究報告 R4年

1 序文
楕円曲線をトーラス上の変数によってパラメトライズすること（“一様化” [WW27, §20.7]）は，楕円関数論の様々
な応用においてしばしば出発点になる．最も基本的な例は右辺が三次式の楕円曲線
Y2 = 4X3−g2X−g3, g3 2−27g2 ≠ 0, (1.1)
のWeierstrass ℘ 関数による媒介変数表示
(X, Y) = (℘(z),℘′(z)) (1.2)
である．本稿では，右辺が四次式の場合の楕円曲線
Y2 = X4−h2X2−h3X−h4 (1.3)
に対して複数の媒介変数表示を与え，その相互関係を明らかにする．証明に必要な楕円関数の諸公式にも適宜言及する．
よく知られているように任意の楕円曲線は式(1.1) の標準形に双有理同値で，それらは不変量j の値で分類される．
特に式(1.3) の媒介変数表示は℘ の線形分数関数で書かれる[WW27, §20.7], [HC64, Kap. 5, §3]．基本理論の観点からはこれ以上新たに付け加える事実は無いが，この℘ の線形
分数関数には一見では同値と思えぬ表示が多数存在し，しかもそれらの同値性は加法定理等の各種公式を駆使してもさほど自明でないため，ここにまとめることにした．
本稿の背景には筆者が楕円関数を理論物理学に応用する過程で経験した試行錯誤悪戦苦闘がある．特に，最初Mathematica を援用した力技で見つけたJacobi の楕円関数による表式(3.29)-(3.31) やその二乗の表式(3.36) を，sn2の線形分数関数(3.27)（これはWeierstrass の理論に翻訳すれば先述の℘ の線形分数関数）からどう導くか当時は分からず引っかかりが残ったことがきっかけになっている．
今日ではAkhiezer の用いた関数(2.1) に任意の楕円関数をσ 関数の比で表す定理を適用した式(2.12) へ帰着させる短い証明を得ており，一旦分かってしまえば楕円関数論の初
歩的練習問題である．しかし，関数論を専門としない筆者が有用な先人の文献にたどり着きこれらをまとめるのに長い時間を要したことを顧みると，他の研究者とこの内容を共有することは無駄ではないと考える．その趣旨から，可能な場合には一つの関係式に複数の証明を与える．というのも，楕円関数の“ユーザー” が研究途上で出会う様々な関係式が，二重周期関数の一般論から出発し全てを導くスタイルの教科書の一体何章の議論に帰着するかは全く自明でないため，応用の観点からは異なる視点で証明を与えることが，それがたとえ論理的最短ではないにせよ示唆的であることがしばしばあるためである．
そのような精神で書かれた戸田の教科書[戸01] の彼自身の手による様々な公式の別証は今読んでも得るものが多い．
参考文献
[戸01] 戸田. 楕円関数入門. 日本評論社, 2001 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/1766.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%B8%E7%94%B0%E7%9B%9B%E5%92%8C
戸田 盛和（ – 2010年11月6日）は、日本の物理学者。 専門は、可積分系

>>575
複素関数論が初歩から全然分かってない高卒カラスが
いくら付け羽しても有害無益だから、永遠に黙りな

>>576
彼は質問には答えませんね
答える能力は無さそうです

世田某は自分が賢いというウソを宣伝したがる病におかされている
なぜそんなに賢さに固執するのかわからんが
いくらウソをつき続けたところで、他人が彼を賢いと認めることはないし
むしろ愚か者のくせに愚かさを認められない奇人変人としか思われない
はっきりいって自傷行為でしかない
自分自身にとって有害だから即やめたほうがいい

>>577
世田某は、中学高校時代の数学の天才だったらしいが、
そんなのは、そこら中にいるので、別に驚きでもなんでもない

世田某は、大学の数学で思いっきり挫折を味わったらしいが、
そんな事も、そこら中にあるので、別に驚きでもなんでもない

世田某はどこからどうみても、凡人あるある
自分が凡人にすぎないことを認めよう

それでも人は死なない　人は９９％凡人だ　あとの１％は変態（笑）

>>570
>GL(2､C)不変というのは
>メビウス変換で不変ということ
>複比はメビウス変換で不変
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B

そうそう、参考文献を付けるといいよね　（＾＾
が良い参考文献を引用しているのに、読めてないな
重要部分を下記に引用する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
メビウス変換
f(z)={az+b}/{cz+d}
の形で表される複素一変数 z に関する有理函数である。ここで、係数 a, b, c, d は ad − bc ≠ 0 を満足する複素定数である。
概要
どんなメビウス変換も、リーマン球面からそれ自身への全単射な共形変換になり、また逆にそのような変換は実際にメビウス変換とならねばならない。
メビウス変換全体の成す集合は写像の合成を積として、メビウス群と呼ばれる群を成す。メビウス群は（リーマン球面をリーマン面とみなしたときの）リーマン球面上の自己同型群であり、しばしば Aut(C^) と記される。メビウス群は双曲的三次元空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群に同型で、それゆえ双曲的三次元多様体の研究において重要な役割を演じる。
複比の保存
複比 (Cross-ratio) はメビウス変換で不変である。すなわち、メビウス変換が相異なる４つの点 z1, z2, z3, z4 を相異なる４つの点 w1, w2, w3, w4 にそれぞれ移すならば
(z1−z3)(z2−z4)/(z2−z3)(z1−z4)=(w1−w3)(w2−w4)/(w2−w3)(w1−w4)
が成立する。
z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は
(z1−z3)/(z2−z3)
である

射影行列表現
一般線型群 GL(2, C) からメビウス群への写像
π：GL(2,C^)→Aut(C^);H→f
は、群準同型を定めている。ここで注意すべきは
H を複素数 λ-倍して得られる行列はどれも同じメビウス変換に対応しているということであり、メビウス変換は対応する行列をそのようなスカラー倍の違いを除いて一意に決定するということである。すなわち、写像 π の核は単位行列 I のスカラー倍全体から成り、群の第一準同型定理から剰余群 GL(2, C)/(CI) がメビウス群に同型となることがわかる。さてこの剰余群は、一般射影線型群として知られ、通例 PGL(2, C) で表される。ここに、群の同型
Aut(C^)≅PGL(2,C)
が得られたことになる。
任意に与えられたメビウス変換に対して、それを表現する行列式 1 の行列はちょうどふたつ存在する。つまり、SL(2, C) は PSL(2,C) の二重被覆である。また、SL(2, C) は単連結ゆえ、これはメビウス群の普遍被覆でもある。よって、メビウス群の基本群は Z2 であることがわかる

つづく

つづき

メビウス変換は三点で決まる
リーマン球面上の相異なるみっつの点 z1, z2, z3 とさらに別の相異なるみっつの点 w1, w2, w3 が与えられたとき、zi をそれぞれ wi (i = 1, 2, 3) に写すメビウス変換 f(z) はただひとつ存在する（別な言いかたをすれば、メビウス群のリーマン球面への作用は鋭 3-重推移的である）。このように与えられた点集合からメビウス変換 f(z) を決定する方法がいくつか存在する。
略

メビウス群の部分群
メビウス変換からなる正二十面体群（英語版）はクラインによって (Klein 1888) において五次方程式の解析解を与えるために用いられた（現代的な解説が (Tóth 2012) にある[3]）。
さて、メビウス変換の係数 a, b, c, d を ad − bc = 1 なる整数と仮定するならば、モジュラー群 PSL(2, Z) と呼ばれる PSL(2, R) の離散部分群で、ガウス平面上の格子および、楕円函数、楕円曲線の研究において重要な群を生じる。PSL(2, R) の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究において重要である。
(引用終り)

さて
1）上記”複比の保存”で、「z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は (z1−z3)/(z2−z3)」
　また、「メビウス変換は三点で決まる」ともある
　つまり、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4) の4次式の楕円曲線で a4→∞ で a4を複素平面から追い出せば
　”複比の保存”の視点で、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)の3次式の楕円曲線で代用できるってことかな
2）変換群について
　モジュラー群 PSL(2, Z)、SL(2, Z)、射影PSL(2, R)、一般射影線型群 PGL(2, C)、一般線型群 GL(2, C)
　ここらの区別がついてないみたいだ

なお、”【3次曲線→4次楕円曲線の有理変換:数学(代数幾何学)】”が、ヒットしたので貼る
（正しいかどうか 数学的背景など不明）

(参考)>>565-566 より再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4
モジュラー群
この変換の群は、特殊射影線型群 PSL(2, Z) に同型である。PSL(2, Z)は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Z) をその群の中心 {I, −I} で割った商である
https://ja.wikipedia.org/wiki/J-%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F
j-不変量
複素変数 τ の函数であるフェリックス・クラインの j-不変量 (j-invariant)（もしくはj-函数）とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数である。

https://x.com/account_formula/status/1914333316846850299
ポスト
@account_formula 2025年4月22日
【3次曲線→4次楕円曲線の有理変換:数学(代数幾何学)】
https://pbs.twimg.com/media/Got90NuacAAo31r?format=jpg
(引用終り)
以上

>>580
>射影行列表現
>H を複素数 λ-倍して得られる行列はどれも同じメビウス変換に対応しているということであり、

ここから、”Teichmüller theory”に繋がっていくのかな　；ｐ）

(参考)
https://www.mathsoc.jp/section/algebra/algsymp_past/algsymp18_files/houkokusyu/09-Nakamura.pdf
グロタンディーク・タイヒミュラー理論の話題から
中村博昭（大阪大学理学研究科）
第63回代数学シンポジウム（於東京工業大学，2018年9月）報告集所収
1.Introduction
代数曲線やそのモジュライ空間のエタール基本群を通じて，数体の絶対ガロア群の数論幾何的な働きが大きく映し出される現象が，１９８０年代に等により指摘されて以来，数論的基本群を中心に，遠アーベル幾何学，ガロアの逆問題などの問題群の理解も深められてきた．
1.2道草(復元の話）
筆者が最初に代数学シンポジウムで話をさせて頂いたのは，北大で1989年に開催された第35回代数学シンポジウムであった．代数学シンポジウム報告集は，現時点で電子的に２００４年以降のものは代数分科会のホームページで入手可能だが，それ以前のものは紙媒体で大学毎の数学図書室に所蔵されているものが(ただし所蔵状態は所によりまちまちのようで)ある．幸いにして，筆者の上記の報告集の記事は英訳を[29]として出版する機会を得た（20年後の2009年にケンブリッジの研究所で行った遠アーベル幾何の入門講義の報告を兼ねている．このときの主な内容はGrothendieckの遠アーベル幾何の基本予想「数論的基本群の純群論的構造から双曲型代数曲線を復元する」を，種数0の場合と，楕円曲線ひく1点の場合に解決したことの報告であった．
円分指標の有用性を理解するのに好適な題材であるので，ここで簡単に種数0の点抜きの射影直線の場合に素描しよう．問題は，Uλ:= P1・・（略）とすると
略す

https://www.mathsoc.jp/~topology/topsymp/2017/ts2017all.pdf
第64回トポロジーシンポジウム 2017年
https://www.mathsoc.jp/~topology/topsymp/2017/ts2017Miyachi.pdf
第64回トポロジーシンポジウム 2017年
宮地 秀樹 (大阪大学)
タイヒミュラー空間論の位相幾何学的側面と複素解析的側面の一意化に向けて
— ここでは,タイヒミュラー空間論の位相幾何学側面の中でも無限遠境界を描写す. る Thurston 理論について復習する. 3.1. 考え方. 例 1.2 を用いてタイヒミュラー空間の無限 ...
略

https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space
Teichmüller space
In mathematics, the Teichmüller space
T(S) of a (real) topological (or differential) surface
S is a space that parametrizes complex structures on
S up to the action of homeomorphisms that are isotopic to the identity homeomorphism. Teichmüller spaces are named after Oswald Teichmüller.
The sub-field of mathematics that studies the Teichmüller space is called Teichmüller theory.

つづく

つづき

History
Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826–1866), who knew that
6g−6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus g≥2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces. Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject. They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works. After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers. The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).

The geometric vein in the study of Teichmüller space was revived following the work of William Thurston in the late 1970s, who introduced a geometric compactification which he used in his study of the mapping class group of a surface. Other more combinatorial objects associated to this group (in particular the curve complex) have also been related to Teichmüller space, and this is a very active subject of research in geometric group theory.

https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
p進タイヒミュラー理論
p進タイヒミュラー理論（ピーしんタイヒミュラーりろん）は、数学者の望月新一によって開発された数学の理論である。この理論は、古典的なタイヒミュラー理論をp進数体の世界に拡張したもので、p進曲線とその構造を決定する係数の「一意化」を扱う理論である。
通常の宇宙際タイヒミュラー理論は、リーマン面を研究対象とし、そのフクシアン一意化、すなわちリーマン面を上半平面から普遍被覆空間への等角写像によって記述することを目指す。この一意化は、リーマン面上の特別な性質を持つ線束（正準固有束）の存在と密接に関係している。この線束は、複素共役によって不変であり、モノドロミー表現が準フクシアンであるという特徴を持つ。
p進タイヒミュラー理論では、古典的なアイデアがp進曲線の文脈で再構築され。具体的には、リーマン面における複素共役の役割は、p進曲線の理論ではフロベニウス自己準同型が担う。同様に、準フクシアンという条件は、積分条件によって置き換えられる。
(引用終り)
以上

でくのぼう

>（正しいかどうか 数学的背景など不明）

手前の頭で理解できていないのか...

>>580
>>GL(2､C)不変というのはメビウス変換で不変ということ
>>複比はメビウス変換で不変
>>https://ja.wikipedia...B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
>そうそう、参考文献を付けるといいよね

カラスが「参考文献！」と騒ぐのは
「考えなくてもそのまま鵜呑みにしてOKな借り羽くれ」
ってコト？（笑）

>読めてないな

カラス、
「なんで、複比はメビウス変換で不変か」
理解してる？　

「有名大学の先生様が書いてるからきっと正しい」
とかいって鵜呑みするのは愚か者だぞ

カァー

>>581
＞つまり、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4) の4次式の楕円曲線で a4→∞ で a4を複素平面から追い出せば
＞”複比の保存”で、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)の3次式の楕円曲線で代用できるってことかな

訳も分からず式の次数にのみ固執するド素人カラス　カァー（笑）

＞モジュラー群 PSL(2, Z)、SL(2, Z)、射影PSL(2, R)、一般射影線型群 PGL(2, C)、一般線型群 GL(2, C)
＞ここらの区別がついてないみたいだ

おまえがだろ。ド素人カラス（笑）

＞なお、・・・が、ヒットしたので貼る
＞（正しいかどうか 数学的背景など不明）

だからさあ、理解してないもん貼るなよバカ
だからおまえは
「自分のバカを認めないバカ」
って罵られるんだよバカ

バカであってもいいんだよ
バカであることに気づかないのがダメなの
わかる？

>>585
＞手前の頭で理解できていないのか...

カラスの世田某は、高校卒業まで、数学は
「こういう問題が出たら、こういう方法で解く」
というスキルの集まりとしてしか理解しなかった

そして
「なぜこの方法で解けるか」
については
「偉い先生様がそういったから！」
というカルト信仰で誤魔化してきた

彼の熱狂的な愛国も
「国家が間違うわけない！　国家が国民を裏切るわけない！」
というカルト信仰の賜物

まあ、国家なんて国民を毟ることしか考えてないし、間違うなんて日常茶飯事
というのが現実だけど、彼には受け入れられない　受け入れたら自我崩壊で廃人になるからｗ

>>581
>また、「メビウス変換は三点で決まる」ともある
>　つまり、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4) の4次式の楕円曲線で a4→∞ で a4を複素平面から追い出せば
>　”複比の保存”の視点で、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)の3次式の楕円曲線で代用できるってことかな
怖ろしい誤解ですね
「メビウス変換は三点で決まる」のでa1,a2,a3を変えなければa4も変わらないのでは？

>>589
うむ

そもそも同値関係とか同値類が理解できないカラスに
モジュライ空間が理解できるわけがない

>>588
>＞モジュラー群 PSL(2, Z)、SL(2, Z)、射影PSL(2, R)、一般射影線型群 PGL(2, C)、一般線型群 GL(2, C)
>＞ここらの区別がついてないみたいだ
>
>おまえがだろ。ド素人カラス（笑）
そうですよね
登場している場面が違うのに混同してますね赤カラス先生は

大学数学を知ってる人が、
高校までの数学を見ると
理屈とか全然教えてないってわかる

なぜそうなってるかといえば
「高校で卒業する人のために、使えるtipsを教えるほうが有用だから」
という発想

このこと自体を否定するつもりは毛頭ない
大体大学でも工学部あたりは使えるtipsだけ教えてくれっていう発想
学歴とか無関係に世間一般の人が数学に求めてるのがそういう思想

だけどそれは数学全体からみるともうほんの一部でしかない
このことだけは世間も理解してもらいたい
膨大な理屈というものがあって、使える方法としてのtipsがある

>>581 補足
(引用開始)
メビウス変換は三点で決まる
リーマン球面上の相異なるみっつの点 z1, z2, z3 とさらに別の相異なるみっつの点 w1, w2, w3 が与えられたとき、zi をそれぞれ wi (i = 1, 2, 3) に写すメビウス変換 f(z) はただひとつ存在する（別な言いかたをすれば、メビウス群のリーマン球面への作用は鋭 3-重推移的である）。このように与えられた点集合からメビウス変換 f(z) を決定する方法がいくつか存在する。
略
(引用終り)

ｺﾞｶｲもなにも、それ六階ｗｗ　（＾＾
対応する英文は 下記ですよ
トンチンカン応答(>>590)こそ ｺﾞｶｲですｗ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation
Möbius transformation
Specifying a transformation by three points
Given a set of three distinct points
z1、z2、z3 on the Riemann sphere and a second set of distinct points ⁠
w1、w2、w3⁠、 there exists precisely one Möbius transformation
f（z） with f(zj)=wj for ⁠j=1,2,3.
(In other words: the action of the Möbius group on the Riemann sphere is sharply 3-transitive.)
There are several ways to determine
f(z) from the given sets of points.

(google訳（多少手直し)）
3点による変換の指定
3つの異なる点の集合が与えられる
z1、z2、z3リーマン球面と、2番目の異なる点の集合⁠
w1、w2、w3⁠、で メビウス変換は1つだけ存在する
f（z） with f(zj)=wj for ⁠j=1,2,3..
（言い換えれば、メビウス群のリーマン球面への作用は鋭く3推移的である。）
与えられた点の集合からf（z）を決定する方法はいくつかある。

>>595
あなたの書いたのが
＞つまり、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4) の4次式の楕円曲線で a4→∞ で a4を複素平面から追い出せば
＞”複比の保存”で、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)の3次式の楕円曲線で代用できるってことかな
というものであることは伏せるわけですね

>>595
＞ｺﾞｶｲもなにも、それ六階
カラスの上ずり　つまんね

＞トンチンカン応答こそ ｺﾞｶｲです
自分が高卒レベルの凡人だって
まだ認めたくない？　虚飾カラス君

あわれだね　自称天才の自傷行為

高卒がキモイHNとトリップまでつけて
検索結果を読まずにコピペして
「俺は数学の大天才だぁぁぁ！！！」
と自慢するから突っ込まれて
全身傷だらけになる（笑）

匿名で書けばいい
分からないから質問すればいい

中味ゼロの「他人の知恵パクリ」自慢は必ず失敗する
何年失敗すればわかるのか　高卒カラスの世田某

高卒カラス世田某の失敗

・メビウス変換が何だか知ろうとしない
・メビウス変換でなぜ複比が不変なのか知ろうとしない

要するに数学に全く興味ないのに数学の知識をひけらかしてリコウぶりたい

自己愛性人格障害だね

高卒カラス世田某は数学板から消えるしかないよ

>>445 追加引用
https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/curve-and-function-field-1
tsujimotterのノートブック
2019-07-01
曲線と関数体 (1)：楕円曲線はなぜ３次曲線で表せるのか？
楕円曲線とは（細かいことを抜きにして言えば \*1）
Y2=X3+aX+b
という式で表される曲線のことです。上の方程式のことを、楕円曲線の定義方程式といいます。
時と場合によって微妙に定義式の書き方が異なったりますが、左辺の y
の指数はいつも 2乗 になっていて、右辺の式はいつも決まって 3乗 になっています。
なぜこんな形の式を考えるのでしょう。
楕円曲線について勉強した人は、一度くらい、このような疑問を持つのではないでしょうか。
ところで、楕円曲線の定義として、以下のものを思い浮かべた方もいるかもしれません。
種数1の非特異射影代数曲線を楕円曲線という
上記の定義には、定義方程式の形が一切出てきませんが、冒頭の定義と一致するのでしょうか。
ここでは、種数1 という情報がポイントです。ほぼこの情報だけから、楕円曲線の定義方程式の形状が決定されるのです。
代数曲線の理論には、リーマン・ロッホの定理 という重要な定理があって、楕円曲線の上で定義される関数の空間の次元を、種数を用いて特定することができます。特定した関数の空間における関係式を用いて、定義方程式を決定することができるのです。
ざっくりと流れを説明しましたが、以降で詳しく解説します。
関数体とは
代数幾何学という分野では、曲線とその上の関数という概念がセットで重要です。今回の記事の話が理解できると「曲線のことを知りたかったら、その上の関数を考えよう」というアプローチが自然であることが実感できるでしょう。

E:y2=(x+1)x(x−1)
y=0 のとき、x=−1,0,1 となります
x 座標の値が x であるような点を Px
とします。といっても、一般には２通りありますから、y 座標が正の点を Px として、y 座標が負の点を P′x とします
ここで、x=−1,0,1 のときは Px=P′x となります。Px=P′x となるような点のことを分岐点といいます。
なお、楕円曲線には無限遠点がありますが、これを P∞ と表記すると、P∞ も分岐点となります。

零点・極の位数
先ほど定義した E の関数に、零点と極という概念を導入します。
1/h(P)=0 となる点 P∈E を h の 極 と言います。
略
重要な結論なので、以上をまとめておきましょう。

・関数 X は P0 で 2 位の零点を持ち、P∞ で 2 位の極を持つ。
・関数 Y は P−1,P0,P1 で 1 位の零点を持ち、P∞ で 3 位の極を持つ
ここで重要な観察事実として、どちらの関数でも
（零点の位数の合計）＝（極の位数の合計）
となっていることに注意します。

ベクトル空間 L(mP∞)
ベクトル空間なので次元という量が定義できます。次元が定義できると、ベクトル空間についてのかなりの情報がわかるのです。
ベクトル空間 L(mP∞) の次元 dimL(mP∞)
を計算できるのが、リーマン・ロッホの定理 です。
リーマン・ロッホの定理は、曲線の 種数 と、標準因子という概念を使って、上記のベクトル空間の次元を決定する公式を与えます。なお種数は、今回は楕円曲線を考えているので、1
であると考えてください。

つづく

つづき

楕円曲線はなぜ３次曲線で表せるのか？
さてここで、この記事でもっとも重要な帰結が得られました。
L(6P∞)=C+CX+CY+CX2+CXY+CX3
定義を思い出すと、L(6P∞)
の定義は
「P∞ で高々位数 6 の極を持つ関数全体のなすベクトル空間」
でした。
Y2 という関数を考えると
3+3=6
より、位数 6 の極を持ちます。つまり
Y2∈L(6P∞)=C+CX+CY+CX2+CXY+CX3
というわけです。
略
と変換することで、a5=1
とできます。他の係数も適当な変数変換で消すことができるので、冒頭の楕円曲線の定義方程式が得られます！
楕円曲線が、Y が 2 次で、X が 3 次だったわけは
2+2+2=3+3=6
という式にあったというわけです！

見方を変える
この辺で話を終わりにしたいところですが、一つ気になる点があります。
略す
(引用終り)
以上

残念ながらこの記事はあかんな

カラスの世田某はキモHNによるコピペ自慢の自傷行為をやめな

どんどん惨めになるだけ

>>595 補足追加

　>>580より再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
メビウス変換
複比の保存
複比 (Cross-ratio) はメビウス変換で不変である。すなわち、メビウス変換が相異なる４つの点 z1, z2, z3, z4 を相異なる４つの点 w1, w2, w3, w4 にそれぞれ移すならば
(z1−z3)(z2−z4)/(z2−z3)(z1−z4)=(w1−w3)(w2−w4)/(w2−w3)(w1−w4)
が成立する。
z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は
(z1−z3)/(z2−z3)
である
(参考)上記の該当英版の箇所
https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation
Möbius transformation
Cross-ratio preservation
(引用終り)

1）いま上記で保存される複比をrとしよう
　r=(z1−z3)(z2−z4)/(z2−z3)(z1−z4)=(w1−w3)(w2−w4)/(w2−w3)(w1−w4)＝(z'1−z'3)/(z'2−z'3) (z'4→∞ )
2）これらから 3つの楕円曲線が定義できる
　y^2=a(x-z1)(x-z2)(x-z3)(x-z4)
　y'^2=a'(x-w2)(x-w2)(x-w3)(x-w4)
　y''^2=a''(x-z'1)(x-z'2)(x-z'3)
　この3つの楕円曲線は、その定義の右辺の多項式の根による 複比が等しい
3）だから、簡便にいえば 複比rで 楕円曲線を（同値類）分類できて
　同値類の代表として 3次式を選ぶことができる■

>>605
＞複比rで 楕円曲線を（同値類）分類できて
なぜかわかるかい？

わかんないんだろ？

権威を鵜呑みにしても意味ないよ

tsujimotter さんはかなり頑張って数学勉強してるサンデー数学者。とてもまじめに論文や教科書をよみこんでおられます。
しかし、それでも
＞種数1の非特異射影代数曲線を楕円曲線という
が Weierstrass 標準形で表示できることの証明は完成できません。
まぁこれはかなり難しい。ハーツホーンレベル以上の教科書よまないととけない。このレベルの話題になるとネットにもころがってないしね。
もちろんセタには無理。

>>521 追加
>https://takulabo.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/notes/math_category_introduction.html
>TakuLabo
>僕用勉強ノート 「圏論」の巻
>圏論とはなんなのか

追加を 貼っておきますね （＾＾

https://takulabo.ｓａｋｕｒａ.ne.jp/notes/sum/category_theory.html
TakuLabo
雑記帳
僕用勉強ノート 「圏論」の巻
＜Lawvere流の非大卒でも楽しく学べる圏論＞
• 僕用勉強ノート 「圏論」の巻 - はじめに
• 圏論とはなんなのか
• 圏を一階述語論理で公理化する
• 特別な名前を持った自己準同形 【冪等 (idempotent) / 対合 (involution)】
• エピック (epic) とモニック (monic)
• 分裂エピックと分裂モニック (split epic / monic)
• 圏論的な選択公理 (AC: Axiom of Choice)
• 同型 (isic) と 均衡圏 (balanced category)
• 亜群・モノイド・群
• 始対象と終対象
• ゼロ対象とゼロ射
• 圏論的和と圏論的積 (余積と積)
• 有限余積を持つ圏・有限積を持つ圏
• 局所的に射を束ねて得られる対象 【指数対象 (Exponential object)】
• ホム集合に相当する対象を持つ圏 【カルテシアン閉圏】
• 圏論的にIf文を組み立てる
以下略す