(>>527より再録 ；ｐ)
>>499-500
(引用開始)
多価性としては、分岐点以外では2価であることも分かる。
4つの分岐点を2つずつペアにしてそれぞれ半直線で結び
その線に沿ってリーマン球面に切り込みを入れる。
すると、切られた面上では√f(z)は一価函数になる。
しかし、これは一つの葉（よう）にすぎないので
同じ面のコピーをもう一つ用意して、2枚を同じz座標に沿って
貼り合わせる。するとトーラスが出来て、これが
√f(z)のリーマン面である。
このように4つの分岐点が重要な値になるが、この4つを
同じメビウス変換で移しても、解析的に同型である。
したがって、この4点のメビウス変換不変量が
意味を持つであろうと予想できる。これは「複比」
によって構成でき、これがλである。
　>>502より(ID:YTjRaimF は御大）
λの一般化はタイヒミュラー理論によって実現できる
(引用終り)

さて
1）下記の武部尚志 「楕円積分と楕円関数」が 君の論に近い
　P117 第8章 楕円曲線 に 同じ説明がある。例えば ”8.1 √φ(z)のリーマン面”など
（メビウス変換はP31）
2）梅村 「楕円関数論」は、”はじめに”にあるが 代数幾何関連を付録にしている
　付録I 3次曲線（楕円曲線）、付録Ｊ 4次曲線（楕円曲線） リーマン面の説明もある
　付録K Legendreの標準形 （4次曲線の標準形）
3）御大が、”λの一般化はタイヒミュラー理論”と 茶々入れ　（＾＾

結論として、tsujimotter 日曜数学者 氏を 見習って
参考文献を書くべきと思うよ

(参考)>>257より再録
いま手元に 書棚から 楕円関数の本2冊
一つは 梅村 「楕円関数論」 東京大学出版会 2020/05/27 https://www.utp.or.jp/book/b498559.html
梅村の最後に 第6章 楕円関数の応用 で
6.6 5次方程式の解法が ”とり”だ（紅白のたとえで）
なお、第5章 楕円曲線のモジュライ 5.3 モジュラー関数J(τ) があるね（下記 ja.wikipedia j-不変量 モジュラー関数 ご参照）

もう一つは 武部尚志 「楕円積分と楕円関数」2019 日本評論社 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/8132.html
武部は良いね、読みやすいし まえがき に
「（位相幾何学の）証明に出てくる技術的な話は読み飛ばして差し支えないし、大事な話は直感的に分かる図形の話なので
、あまり怖がらないでほしい」
というスタンスだ （全般にそんな感じ）
数学セミナー誌 2017年4月から 2018年9月までの連載がもとだというが 当時は読んでいない
この本は、ヤコビの楕円関数が活躍する
最後の参考文献に、「ヤコビ 楕円関数原論」（講談社 2012）が上がっているね（下記）