>>167
>楕円関数論は重要な発見が多すぎて一筋縄ではいかない
>どんな命題でも場面が変われば舞台の中央に立ちうる

全くです
下記 「四次の楕円曲線の媒介変数表示とLanden 変換について 高橋大介」
で四次の楕円曲線を扱う

https://kait.repo.nii.ac.jp/record/12133/files/kkb-046-004.pdf
四次の楕円曲線の媒介変数表示とLanden 変換について
高橋大介 神奈川工科大学研究報告 R4年

1 序文
楕円曲線をトーラス上の変数によってパラメトライズすること（“一様化” [WW27, §20.7]）は，楕円関数論の様々
な応用においてしばしば出発点になる．最も基本的な例は右辺が三次式の楕円曲線
Y2 = 4X3−g2X−g3, g3 2−27g2 ≠ 0, (1.1)
のWeierstrass ℘ 関数による媒介変数表示
(X, Y) = (℘(z),℘′(z)) (1.2)
である．本稿では，右辺が四次式の場合の楕円曲線
Y2 = X4−h2X2−h3X−h4 (1.3)
に対して複数の媒介変数表示を与え，その相互関係を明らかにする．証明に必要な楕円関数の諸公式にも適宜言及する．
よく知られているように任意の楕円曲線は式(1.1) の標準形に双有理同値で，それらは不変量j の値で分類される．
特に式(1.3) の媒介変数表示は℘ の線形分数関数で書かれる[WW27, §20.7], [HC64, Kap. 5, §3]．基本理論の観点からはこれ以上新たに付け加える事実は無いが，この℘ の線形
分数関数には一見では同値と思えぬ表示が多数存在し，しかもそれらの同値性は加法定理等の各種公式を駆使してもさほど自明でないため，ここにまとめることにした．
本稿の背景には筆者が楕円関数を理論物理学に応用する過程で経験した試行錯誤悪戦苦闘がある．特に，最初Mathematica を援用した力技で見つけたJacobi の楕円関数による表式(3.29)-(3.31) やその二乗の表式(3.36) を，sn2の線形分数関数(3.27)（これはWeierstrass の理論に翻訳すれば先述の℘ の線形分数関数）からどう導くか当時は分からず引っかかりが残ったことがきっかけになっている．
今日ではAkhiezer の用いた関数(2.1) に任意の楕円関数をσ 関数の比で表す定理を適用した式(2.12) へ帰着させる短い証明を得ており，一旦分かってしまえば楕円関数論の初
歩的練習問題である．しかし，関数論を専門としない筆者が有用な先人の文献にたどり着きこれらをまとめるのに長い時間を要したことを顧みると，他の研究者とこの内容を共有することは無駄ではないと考える．その趣旨から，可能な場合には一つの関係式に複数の証明を与える．というのも，楕円関数の“ユーザー” が研究途上で出会う様々な関係式が，二重周期関数の一般論から出発し全てを導くスタイルの教科書の一体何章の議論に帰着するかは全く自明でないため，応用の観点からは異なる視点で証明を与えることが，それがたとえ論理的最短ではないにせよ示唆的であることがしばしばあるためである．
そのような精神で書かれた戸田の教科書[戸01] の彼自身の手による様々な公式の別証は今読んでも得るものが多い．
参考文献
[戸01] 戸田. 楕円関数入門. 日本評論社, 2001 https://www.nippyo.co.jp/shop/book/1766.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%B8%E7%94%B0%E7%9B%9B%E5%92%8C
戸田 盛和（ – 2010年11月6日）は、日本の物理学者。 専門は、可積分系