>>570
>GL(2､C)不変というのは
>メビウス変換で不変ということ
>複比はメビウス変換で不変
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B

そうそう、参考文献を付けるといいよね　（＾＾
が良い参考文献を引用しているのに、読めてないな
重要部分を下記に引用する
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
メビウス変換
f(z)={az+b}/{cz+d}
の形で表される複素一変数 z に関する有理函数である。ここで、係数 a, b, c, d は ad − bc ≠ 0 を満足する複素定数である。
概要
どんなメビウス変換も、リーマン球面からそれ自身への全単射な共形変換になり、また逆にそのような変換は実際にメビウス変換とならねばならない。
メビウス変換全体の成す集合は写像の合成を積として、メビウス群と呼ばれる群を成す。メビウス群は（リーマン球面をリーマン面とみなしたときの）リーマン球面上の自己同型群であり、しばしば Aut(C^) と記される。メビウス群は双曲的三次元空間上の向きを保つ等距変換全体の成す群に同型で、それゆえ双曲的三次元多様体の研究において重要な役割を演じる。
複比の保存
複比 (Cross-ratio) はメビウス変換で不変である。すなわち、メビウス変換が相異なる４つの点 z1, z2, z3, z4 を相異なる４つの点 w1, w2, w3, w4 にそれぞれ移すならば
(z1−z3)(z2−z4)/(z2−z3)(z1−z4)=(w1−w3)(w2−w4)/(w2−w3)(w1−w4)
が成立する。
z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は
(z1−z3)/(z2−z3)
である

射影行列表現
一般線型群 GL(2, C) からメビウス群への写像
π：GL(2,C^)→Aut(C^);H→f
は、群準同型を定めている。ここで注意すべきは
H を複素数 λ-倍して得られる行列はどれも同じメビウス変換に対応しているということであり、メビウス変換は対応する行列をそのようなスカラー倍の違いを除いて一意に決定するということである。すなわち、写像 π の核は単位行列 I のスカラー倍全体から成り、群の第一準同型定理から剰余群 GL(2, C)/(CI) がメビウス群に同型となることがわかる。さてこの剰余群は、一般射影線型群として知られ、通例 PGL(2, C) で表される。ここに、群の同型
Aut(C^)≅PGL(2,C)
が得られたことになる。
任意に与えられたメビウス変換に対して、それを表現する行列式 1 の行列はちょうどふたつ存在する。つまり、SL(2, C) は PSL(2,C) の二重被覆である。また、SL(2, C) は単連結ゆえ、これはメビウス群の普遍被覆でもある。よって、メビウス群の基本群は Z2 であることがわかる

つづく