つづき

メビウス変換は三点で決まる
リーマン球面上の相異なるみっつの点 z1, z2, z3 とさらに別の相異なるみっつの点 w1, w2, w3 が与えられたとき、zi をそれぞれ wi (i = 1, 2, 3) に写すメビウス変換 f(z) はただひとつ存在する（別な言いかたをすれば、メビウス群のリーマン球面への作用は鋭 3-重推移的である）。このように与えられた点集合からメビウス変換 f(z) を決定する方法がいくつか存在する。
略

メビウス群の部分群
メビウス変換からなる正二十面体群（英語版）はクラインによって (Klein 1888) において五次方程式の解析解を与えるために用いられた（現代的な解説が (Tóth 2012) にある[3]）。
さて、メビウス変換の係数 a, b, c, d を ad − bc = 1 なる整数と仮定するならば、モジュラー群 PSL(2, Z) と呼ばれる PSL(2, R) の離散部分群で、ガウス平面上の格子および、楕円函数、楕円曲線の研究において重要な群を生じる。PSL(2, R) の離散部分群はフックス群として知られ、リーマン面の研究において重要である。
(引用終り)

さて
1）上記”複比の保存”で、「z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は (z1−z3)/(z2−z3)」
　また、「メビウス変換は三点で決まる」ともある
　つまり、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4) の4次式の楕円曲線で a4→∞ で a4を複素平面から追い出せば
　”複比の保存”の視点で、y^2=a(x-a1)(x-a2)(x-a3)の3次式の楕円曲線で代用できるってことかな
2）変換群について
　モジュラー群 PSL(2, Z)、SL(2, Z)、射影PSL(2, R)、一般射影線型群 PGL(2, C)、一般線型群 GL(2, C)
　ここらの区別がついてないみたいだ

なお、”【3次曲線→4次楕円曲線の有理変換:数学(代数幾何学)】”が、ヒットしたので貼る
（正しいかどうか 数学的背景など不明）

(参考)>>565-566 より再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4
モジュラー群
この変換の群は、特殊射影線型群 PSL(2, Z) に同型である。PSL(2, Z)は整数上の 2-次元の特殊線型群 SL(2, Z) をその群の中心 {I, −I} で割った商である
https://ja.wikipedia.org/wiki/J-%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F
j-不変量
複素変数 τ の函数であるフェリックス・クラインの j-不変量 (j-invariant)（もしくはj-函数）とは、複素数の上半平面上に定義された SL(2, Z) のウェイト 0 のモジュラー函数である。

https://x.com/account_formula/status/1914333316846850299
ポスト
@account_formula 2025年4月22日
【3次曲線→4次楕円曲線の有理変換:数学(代数幾何学)】
https://pbs.twimg.com/media/Got90NuacAAo31r?format=jpg
(引用終り)
以上