>>595 補足追加

　>>580より再録
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%83%93%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B
メビウス変換
複比の保存
複比 (Cross-ratio) はメビウス変換で不変である。すなわち、メビウス変換が相異なる４つの点 z1, z2, z3, z4 を相異なる４つの点 w1, w2, w3, w4 にそれぞれ移すならば
(z1−z3)(z2−z4)/(z2−z3)(z1−z4)=(w1−w3)(w2−w4)/(w2−w3)(w1−w4)
が成立する。
z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は
(z1−z3)/(z2−z3)
である
(参考)上記の該当英版の箇所
https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation
Möbius transformation
Cross-ratio preservation
(引用終り)

1）いま上記で保存される複比をrとしよう
　r=(z1−z3)(z2−z4)/(z2−z3)(z1−z4)=(w1−w3)(w2−w4)/(w2−w3)(w1−w4)＝(z'1−z'3)/(z'2−z'3) (z'4→∞ )
2）これらから 3つの楕円曲線が定義できる
　y^2=a(x-z1)(x-z2)(x-z3)(x-z4)
　y'^2=a'(x-w2)(x-w2)(x-w3)(x-w4)
　y''^2=a''(x-z'1)(x-z'2)(x-z'3)
　この3つの楕円曲線は、その定義の右辺の多項式の根による 複比が等しい
3）だから、簡便にいえば 複比rで 楕円曲線を（同値類）分類できて
　同値類の代表として 3次式を選ぶことができる■