>>677
>３）”無限公理の無い集合論では無限集合は存在しない”：これ 正しくは、無限公理の無い集合論では 無限集合では構成できない かつ その存在は証明も否定もできない。だから 永遠
>の「無限集合 存在予想」状態 （訂正は>>679）

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
中学生向けに補足をしておく　；ｐ）

用語を整備しておくと、集合とは「ある公理系内において ”集合である”と証明可能な 要素（ 又は集合）の集まり」
クラスとは「要素 又は集合の集まり」（公理系によって 集合とできる場合もあり、 集合とできない場合もある）

さて、いま 素数の集まり（クラス）を考えよう（下記）
古代ギリシャから、素数は無限にあることが知られている
いま、ZF+無限公理（下記）を認めると、自然数の無限集合Nの存在から 素数の集合P(とする以下同じ)は、Nの部分集合として分出公理で無限集合Pが取り出せる
しかし、無限公理なしの場合、無限集合Nは存在せず 従って Pはクラス■

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%A0%E6%95%B0
素数（英: prime あるいは prime number）とは、2 以上の自然数で、正の約数が 1 とその数自身のみであるもののことである。正の約数の個数が 2 である自然数と言い換えることもできる。
歴史
素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』[21]の中で証明している。
ユークリッドによる証明
『原論』第9巻 命題20[21]
素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。
定められた個数の素数を p1, p2, …, pn とせよ。p1, p2, …, pn より多い個数の素数があると主張する。
『原論』による証明[注釈 2]
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
無限公理（英: axiom of infinity）とは公理的集合論におけるZF公理系を構成する公理の一つで、無限集合の存在を少なくともひとつ保証するものであり、実際すべての自然数を含む集合である。エルンスト・ツェルメロによって1908年に初めて提示された[1]。
解釈と帰結
この公理は集合論におけるフォン・ノイマンによる自然数の構成法と密接な関係がある。そこでは、xの後続をx ∪ {x}で定める。xが集合の場合、集合論の他の公理からこの後続もまた一意に定義された集合となる。後続を使うことで自然数の集合論的な表現が定義できる。
この定義から、すべての自然数はそれより前の自然数すべてからなる集合であることが分かる。各集合の最上位の要素の数はその集合が表す自然数と一致し、もっとも深く入れ子になった空集合の深さとも一致する。
自然数のこの構成において、自然数全体の集合
N0の存在は他の公理から証明することができない。よって、この存在を公理とし、無限公理と呼ぶ。この公理は0を含み後続を取る操作にについて閉じているような集合Iの存在を主張する。つまり、Iの各要素について、その後続もまたIの要素である。
以上のことから、この公理の本質は、
すべての自然数を含んでいる集合Iが存在する
である。
つづく