>>701 補足
ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
中学生向けに補足をしておく　；ｐ）

用語を整備しておくと、集合とは「ある公理系内において ”集合である”と証明可能な 要素（ 又は集合）の集まり」
クラスとは「要素 又は集合の集まり」（公理系によって 集合とできる場合もあり、 集合とできない場合もある）

さて、いま 下記の選択公理を考えよう（下記）
添え字集合λ∈Λによる集合族{Aλ}で、Aλが空集合でないとき 集合族{Aλ}から一つずつ要素を取り出せる（選択関数が存在する）
という主張である

選択関数には、変種がある。可算選択公理は、集合族λ∈Λが可算に制限される。それを λ∈ωと書こう。ωは可算である
制限されない 本来の選択公理を フルパワー選択公理と呼ぼう。この場合 λ∈Rを考えよう。Rは連続濃度とする

フルパワー選択公理で
いま、集合族{Aλ}λ∈R から 選択関数で 取り出す要素を aλ(≠φ) と書く。この場合 集合{aλ}は連続濃度である
一方、可算選択公理で 同様に 集合族{Aλ}λ∈ω から 可算選択関数で 取り出すとき 集合{aλ}は可算でしかない

なので、可算選択公理による集合系では
『集合族{Aλ}λ∈R から 選択関数で 取り出す要素を aλ(≠φ) 。この場合 集合{aλ}は連続濃度である』
という命題は 証明できない。人は、常にこのような概念を考えることはできるが、可算選択公理下では 集合演算としては 扱えないってことだね

そして、なんらの選択公理のない（可算選択公理さえない）公理系では、
「集合族{Aλ}λ∈ω から 可算選択関数で 取り出すとき 集合{aλ}は可算」という集合演算さえ不可になる
繰り返すが、人は、常にこのような概念を考えることはできるが、なんらの選択公理なしでは 集合演算としては 扱えないってことだね

つまり、公理系によって、扱える無限集合の範囲が異なり
そうして、作れる集合にも差がでる■

(参考)
https://wiis.info/math/set/set/axiom-of-choice/
wiis
選択公理
集合族{Aλ}λ∈Λ
の要素である集合がいずれも空集合でない場合、その集合族の直積は空集合ではないという主張です。
この主張を選択公理（axiom of choice）と呼びます

https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_11.pdf
尾畑研 東北大 「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第11章選択公理
11.2選択公理
集合系(Aλ｜λ∈Λ)の直積集合∏λ Aλの元fは写像f：Λ→∪λ Aλで
あってf(λ)∈Aλを満たすものである

つづく