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(引用開始)
>そこから 冪P(N)=2^N で、連続濃度集合Rができる
はい、大間違いです。
|2^N|=|R|∧2^N≠R
なぜなら、2^N上で0.1000・・・≠0.0111・・・だがR上で0.1000・・・=0.0111・・・だから。
これがRを無限小数全体の集合で定義できない理由。
(引用終り)

ここは中高一貫校生も来る可能性があるから
厳しく赤ペン先生しておくよ　；ｐ）

1）下記 ja.wikipedia 連続体濃度 「実数の全体 Rは自然数の全体 N の冪集合の元と同じ数の元をもつ」
　これを、百回音読しよう
2）上記”2^N上で0.1000・・・≠0.0111・・・だがR上で0.1000・・・=0.0111・・・だから”
　については、下記 東北大 尾畑研
　”補題8.5
　f：Ω→（0,1]は全単射である.したがって、すべてのx∈[0,1]は無限小数によって一意的に表される”
　のPDF全文を百回音読しよう！　；ｐ）

　まあ、お主は 基本的なことの理解が スッポリ抜けているぞｗ　（＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E4%BD%93%E6%BF%83%E5%BA%A6
連続体濃度（cardinality of the continuum）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである
概要
実数の全体 Rは自然数の全体 N の冪集合の元と同じ数の元をもつ。さらに、これらの集合は N 自身よりも多くの元を含む（#連続濃度の非可算性節を見よ）。このことはゲオルク・カントールによって1874年に初めて示され、無限の尺度に異なる階層があることを確立した研究の嚆矢となった。後に、カントールはより簡明な対角線論法による証明も与えている
連続濃度の非可算性
対角線論法により、「任意の集合に対して、その冪集合のほうが濃度が真に大きい：
|A| < 2^|A|」
というカントールの定理が示される。
したがって、自然数全体の成す集合 N の冪集合 P(N) は非可算である。さらに、以下のような議論により、P(N) の濃度は連続体濃度に等しいことが示せる。

（尾畑研 東北大）>>78
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_08.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1
第8章非可算集合
P120
ある桁から先がすべて0となる小数を有限小数
そうでないものを無限小数と呼ぶことにする
有限小数は2通りに表示されることに注意しよう
実はすべての実数 x∈[0,1]は高々2通りの小数で表され
2通りの表示をもつものは0を除けば有限小数で表されるものに限られる（問8.3）
補題8.5
f：Ω→（0,1]は全単射である.したがって、すべてのx∈[0,1]は無限小数によって一意的に表される