一階述語論理は完全かつ健全、すなわちその上の任意の理論TとTで扱える任意の論理式φについて T|=φ⇔T|-φ（→が完全性、←が健全性）。
初等算術を含む無矛盾な理論Uは不完全、すなわちUで扱えるある論理式ψが存在して ¬(U|-ψ)∧¬(U|-¬ψ)。
当たり前だがこれらは矛盾しない。1行目でいう完全と2行目でいう完全は意味が異なる。