なぜ1階論理か？

⑴ ユークリッド平面幾何。
タルスキの公理系は1階述語論理だからユークリッド幾何学も実閉体の条件で完全性.健全性.決定可能だ。

⑵ 新井敏康.数学基礎論

・数学の証明。

>数学の証明において用いられる仮定(公理)を明示しなければならなくなったら、それらは常に形式的に(基礎論の言葉で言えば1階論理で)表現可能であるべきである。
>原理的には1階論理で表現できて
そこでの形式的証明が書けない数学の真理は存在しない、というのが数学の「定義(の一部」になっているのだろう。
控えめに言っても、全数学は究極的には1階論理で形式化できる、ということは経験的事実である。

・モデル。

>モデル論の出発点ともいえるTarskiの結果が教えるのは順序体としての実数(実閉体)及び標数0の代数閉体としての
複素数Cの公理系はそれぞれ完全である。つまりこれらの代数系に関する(1階論理で表現できる)命題はそのモデルによらずに真偽が決まっているのである。

さらにTarskiの証明は定義可能集合が
とても簡単なものに限られることまでしめしている。