Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 86

前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 85
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということか）
https://www.mathunion.org/icm/icm-2026
ICM 2026
https://www.icm2026.org/event/ac193975-5d24-4628-8c30-ddb23de19a8b/catalog
Titles & Abstracts

https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops

＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz （J. Stix IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）
(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく

>>236
対角化可能性の浅いところまでは、何とか頑張ってほしいところです。

目次から考えると正則かどうかが分かり、逆行列が求められれば十分かもしれませんね。

とは言っても、スレが回れば別に何したって私は構いませんがねw
あんまり制限かけずに自由にやりましょうよ。
2つの話が同時並行したって、良いんじゃないですか？

>>237
対角化は共役変換での話ね
それは・・・確かに結構ムズイね

√2を代数的無理数と仮定すると、ロスの定理により、
任意の ε＞0 に対して、高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
|√2－(q/p)|＜1/p^{2+ε} が成り立つから、
高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2－(q/p)|＜1/p^2 である
仮定から√2は代数的無理数であるから√2は無理数であって、
√2は正則連分数で一意に √2＝[a_0;a_1,a_2,…,a_n…]
と無限連分数展開した形で表される
任意に正の整数kを取って、√2の第k近似分数を
(q_k)/(p_k) p_k と q_k は互いに素な正の整数
とすれば |√2－((q_k)/(p_k))|＜1/(p_k)^2 が成り立つから、
無限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2－(q/p)|＜1/p^2 である
しかし、これは高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
|√2－(q/p)|＜1/p^2 なることに反し矛盾する
よって背理法により、√2は代数的無理数ではない

あと、エルミート・ユニタリ・随伴・正規行列とかがごっちゃになるとかw

>>226-227
>なるほど、「正方行列と逆行列」・「正方行列の逆行列」の一字違いですかw
>ちょっと分野を変えませんか？w

それは おサルさん次第ですよ
私としては おサルをブチノメス機会なのですが
逃げるなら それでよし

補足説明すると
１）wikipedia 正則行列 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
　から 英語では
　Invertible matrix https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix
　仏語 Matrice inversible
　独語 Reguläre Matrix
２）つまり 正則 regular を使うのが 日独
　Invertible matrix（可逆行列） が 英仏
３）逆行列が存在する行列を 可逆行列 という
　それは ほぼ 馬から落ちることを 落馬という のと同じだね
　まあ、正則 regular の方が 格調高く アカデミックの香りが高い
　が大衆向けに分かり易く Invertible matrix でいいんじゃね？ とアメリカさん
　富谷昭夫氏も同じ トンジョでは ”正方行列と逆行列”から導入している
　大衆向けに分かり易く
　私も 分かり易く 正則 regularは あえて避けた

ところが、やくざのあほサルが絡んでくるので
　>>34に示したが
"私「零因子行列のことだろ？知っているよ」"と切り返したところ
”おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』”
と言ってきたのです。バカですね こいつ（＾＾

この瞬間 おサルは
抽象代数は壊滅 特に環論に無知だと
自白してしまったのですｗｗ （＾＾

こっちは、前スレ に書いた通りで 過去スレで
ケーリー＝ディクソンの構成法とか を話題にしたことがありますから
正則も 零因子も 先刻承知で
零因子行列で切り返したら おサルは発狂して 頓死しまったのでした （＾＾

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/845
おサルさん>>39が2ｃｈに来る前に
私のスレで 下記の
行列によるケーリー＝ディクソンの構成法を取り上げたことがある
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%BC%EF%BC%9D%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%A7%8B%E6%88%90%E6%B3%95
ケーリー＝ディクソンの構成法（ケーリー・ディクソンのこうせいほう、英: Cayley–Dickson construction）は、アーサー・ケイリーとレオナード・E・ディクソンに因んで名づけられた、実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数（ケーリー・ディクソンだいすう、英: Cayley–Dickson algebras）として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている。

>>241
最初と最後の1行だけ確認しました！

>>243
環論は私も微妙なので、京大の雪江先生の通称「青雪江」を眺めています。

・私「正方行列の逆行列」（数年前）
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」

>>243 補足
>ケーリー＝ディクソンの構成法

”ケーリー＝ディクソンの構成法 と 行列表現”
密接な関係があります
これも おサルが来る前に取り上げた

(google検索)
ケーリー＝ディクソンの構成法 と 行列表現
AI による概要
ケーリー＝ディクソン構成は、実数から複素数、四元数、八元数へと次元を倍々（
）に増やす代数系生成法。共役複素数を利用し、前の代数
の要素二つ組
で新しい代数を定義する。この構成法は、行列の掛け合わせ（例：
のブロック行列）で行列表現される。
ケーリー＝ディクソン構成と行列表現のポイント
略す

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~tnomura/EdAct/nomura060730.pdf
行 列 の 世 界 で 代 数・幾 何・解 析
九大数理学研究院
PDF
2006/07/30 — §3 の (2) の最後を参照． Page 12. 10. 般な導入の仕方をします（Cayley–Dickson の拡張法と呼ばれています）．まず. 複素数 a + bi. （実数の 2 重化 ...
33 ページ

https://7shi.hateblo.jp/entry/2018/09/08/014200
ケイリー＝ディクソン構成と行列表現 - 七誌の開発日記
はてなブログ
2018/09/08 — 実数から複素数、複素数から四元数、四元数から八元数、八元数から十六元数のように超複素数系を生成するのがケイリー＝ディクソン構成です。

https://7shi.hateblo.jp/entry/2018/08/23/024756
テンソル積と双四元数 - 七誌の開発日記
はてなブログ
2018/08/23 — 2018-09-08 · ケイリー＝ディクソン構成と行列表現. 超複素数系を生成するケイリー＝ディクソン構成と行列表現の関… 2018-08-25 · 行列表現で考えるテンソル ...

>>247
四元数が非可換なことは、群論とかで慣れているので良いです。
しかし、八元数で結合法則が成り立たないのは、もう良く分からないですね…。

ヴェイユ予想が解決したからと言って
なぜ同じ手法を無理矢理にリーマン予想に導入しようとするんだろ
自然でないだけで無く成功もしていない瓢箪鯰なのではないかな
知らんけど

>>197
>超準解析の最初の部分だと思うので、緩い理解で式をこねくり回せばいけるのかなと思ってます(⁠^⁠^⁠)

その通りです

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/
河東 泰之
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0810.pdf
私はどうして数学者になったか 河東 泰之
Graduate School of Mathematical Sciences
超準解析に興味を持ったのもこの. 頃である．のちに線形代数を習うことになる，斎.藤正彦先生が「数学セミナー」に超準解析の連載. をしており，それが本となって出版 ...
6 ページ

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0404.pdf
演算子・作用素というパラダイム 河東 泰之 数理科学 NO.490,APRIL 2004

2. 作用素としての行列さて上で述べたように，我々は主に無限次元（ヒルベルト）空間上の作用素の興味があるのだが，有限次元空間の場合の作用素，すなわち行列についてもう一度考えてみることは無駄ではない．実際，作用素を「とても大きなサイズの行列」のように考えることは重要かつ有効な考え方である．

6. さまざまな分野に現れる作用素（環）
．さらには数学基礎論における超準解析の技法は，作用素環の超積としてかなり前から盛んに使われており，現在では作用素環論における欠くことのできない基本テクニックとなっている．

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
平成29年度(第39回)数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所
超準解析入門−超実数と無限大の数学磯野優介∗数学入門公開講座
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに1を足せば，より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このような無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられてきました（いわゆる「無限小解析」）．その後19世紀に入り，厳密さを備えたε-δ論法が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
目次
1イントロダクション2
1.1記号の復習. . . . . . 3

3超実数∗Rの構成8
3.1基本的な考え方と問題点. . . . . . 9
3.2フィルターと超フィルター. . . . 10
3.3超積を用いた超実数∗Rの構成. . . . . 12

>>250
色々チラ見した感じだと、無限小と無限大を実数に加えて、つじつま合わせの演算でもしたいのかと感じました。
その後の極限や連続性の話は見ていませんが、そこもチラ見してみますかね…。

>>250
>>超準解析の最初の部分だと思うので、緩い理解で式をこねくり回せばいけるのかなと思ってます(⁠^⁠^⁠)
>その通りです
その通りと思うならなぜ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/889
の解答書かないの？　またフカシ？

>>243
>分かり易く 正則 regularは あえて避けた

なぜ正則を正方とすると分かりやすいのか理解できませんね
全く違いますから

>「零因子行列のことだろ？知っているよ」

・整数Zを成分とするｎ×ｎ行列は乗法で閉じているが、乗法に関して群ではない
・整数Zを成分とするｎ×ｎ行列から零行列と零因子を取り除いても、乗法に関して群にはならない

「演算について閉じてるだけで群」
というのは、群論に無知（群の公理を理解してない）
「環から０と零因子を取り除けば乗法群」
というのも、群論、環論に無知（整数の行列環が反例）

整数Zを成分とするｎ×ｎ行列のうち、
行列式が逆元をもつ（すなわち１かー１）ものに制限して
やっと群になります

>バカですね

ID:mD7AOq4a さん がそう自嘲するならそうなんでしょう

>こっちは、過去スレで
>ケーリー＝ディクソンの構成法とかを
>話題にしたことがありますから
>正則も 零因子も 先刻承知で
>零因子行列で切り返した

ケイリー・ディクソンの構成法でも零因子は発生します
（例：八元代数から十六元代数への構成）
また、上記の通り零因子を抜いただけでは群になりません
行列環の場合、行列式が可逆元をもつことまで示して
はじめてその行列が可逆だと示せます

その理屈をいまだに理解してないあなたは、今ここで頓死しました

南無阿弥陀仏

行列の成分が体の要素の場合、行列式が０でなければ逆元をもつので、逆行列をもつ
しかし
行列の成分が環の要素場合、行列式が０でなくとも逆元をもたなければ、その環の要素を成分に持つ逆行列をもたない

これだけなら、クラメールの公式を暗記してるだけでも分かる

行列式は、行列の成分が環であっても定義できる
行列の余因子行列についても、行列の成分が環であっても定義できる
行列とその余因子行列の積が、単位行列に行列式をスカラー積でかけたものになることは、環でも証明できる
行列式が逆元をもてば、余因子行列に行列式の逆元をスカラー積で書けたものが、逆行列になる

理屈で考えればあきらか　理屈で考えない人はいちいち検索するかＡＩに訊くしかないので時間がかかる

行列が逆元をもつかどうかの判定に、ケイリー・ディクソンなど関係ないので
ケイリー・ディクソンを持ち出した時点で、何も分かってませんと白状してることになる

いうべきことをいわないと✘
いわなくていいことをいうと✘

覚えておこう

>>249
>ヴェイユ予想が解決したからと言って
>なぜ同じ手法を無理矢理にリーマン予想に導入しようとするんだろ
>自然でないだけで無く成功もしていない瓢箪鯰なのではないかな
>知らんけど

よく知らないが 黒川ζ論は 下記 ヒルベルト・ポリア予想
「もしリーマンゼータ函数の零点
の虚部tが、非有界な自己共役作用素の固有値に対応するならば、リーマン予想は正しいだろう」
ですね

(参考)
モンゴメリー・オドリズコ予想 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%A1%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%82%BA%E3%82%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
1971年のある午後、プリンストン高等研究所のティールームで、略 ヒュー・モンゴメリーを物理学者のフリーマン・ダイソンに紹介した。この日ここで交わされた雑談が、後に整数論の大きな流れを作る発見へとつながる。ダイソンは、当時ランダム行列GUEモデル(ガウス型ユニタリアンサンブル)の固有値対の相関関係を研究しており、その密度分布の数式をモンゴメリーに示した。モンゴメリーはリーマン・ゼータ関数の零点対の間隔分布やその一般化である相関関係を研究していたが、自分が得ていた密度関数が、ダイソンの示したGUE固有値分布の関数とそっくりであることに気づいた。これが、その後の整数論と量子力学をつなぐ端緒となった出会い、そして発見の瞬間であった
　↓
ヒルベルト・ポリア予想 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%82%A2%E4%BA%88%E6%83%B3
ヒルベルト・ポリア予想とは、スペクトル理論によるリーマン予想への一つのアプローチの方法である。1910年代に、ヒルベルトとポリアが、リーマン予想の証明は自己共役作用素を見つけることにより得られるのではないかと示唆したことが、この予想の契機である
「もしリーマンゼータ函数の零点
の虚部tが、非有界な自己共役作用素の固有値に対応するならば、リーマン予想は正しいだろうから」と示唆した
1950年代とセルバーグ跡公式
ポリアとランダウの会話の時代には、このような見方の土台はほとんど無かった。しかし、1950年代初期にアトル・セルバーグは、リーマン面の長さスペクトルとラプラス作用素の固有値の間の双対性を証明した
1970年代とランダム行列
ヒュー・モンゴメリーはクリティカルライン上の零点の統計的分布を研究し、ある性質を持つことを予想した。この予想は、現在、モンゴメリーのペア相関予想と呼ばれている。零点は、密集し過ぎぎず反発するような傾向がある[2]。彼は1972年にプリンストン高等研究所を訪れたとき、この結果をフリーマン・ダイソンに示した。ダイソンはランダム行列理論の基礎を築いた一人である
最近
函数解析を通したリーマン予想へのアプローチへ実質的な力を与えている発展として、アラン・コンヌは、リーマン予想と実質的に同値な跡公式を定式化した。従って、この跡公式の主張とセルバーグ跡公式との類似が一層強くなった。彼は、アデールの非可換幾何学上の跡公式として、数論での明示公式の幾何学的な解釈を与えた
量子力学と関係
ヒルベルト・ポリアの作用素と量子力学の関係は、ポリアにより与えられた。
ヒルベルト・ポリア予想の作用素は、 1/2+iH の形をしている

>>251-252
>色々チラ見した感じだと、無限小と無限大を実数に加えて、つじつま合わせの演算でもしたいのかと感じました。
>その後の極限や連続性の話は見ていませんが、そこもチラ見してみますかね…。

名前が無いと不便なので ”青木先生の弟子”と 呼ばせて頂きますね （＾＾
青木 美穂 博士（理学）(東京都立大学) https://researchmap.jp/read0153438

さて 追加 下記の チラ見もお願いします
超準解析 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超実数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数（無限大のみ） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0

>その通りと思うならなぜ
>https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/889
>の解答書かないの？

もうすぐ ”青木先生の弟子”さんが、上記 チラ見して
書いてくれると 期待していますです ハイ （＾＾

>>250 補足
(引用開始)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0404.pdf
演算子・作用素というパラダイム 河東 泰之 数理科学 NO.490,APRIL 2004
2. 作用素としての行列さて上で述べたように，我々は主に無限次元（ヒルベルト）空間上の作用素の興味があるのだが，有限次元空間の場合の作用素，すなわち行列についてもう一度考えてみることは無駄ではない．実際，作用素を「とても大きなサイズの行列」のように考えることは重要かつ有効な考え方である．
6. さまざまな分野に現れる作用素（環）
．さらには数学基礎論における超準解析の技法は，作用素環の超積としてかなり前から盛んに使われており，現在では作用素環論における欠くことのできない基本テクニックとなっている．
(引用終り)

ここ
”作用素としての行列さて上で述べたように，我々は主に無限次元（ヒルベルト）空間上の作用素の興味があるのだが，有限次元空間の場合の作用素，すなわち行列についてもう一度考えてみることは無駄ではない．実際，作用素を「とても大きなサイズの行列」のように考えることは重要かつ有効な考え方である”

ここでの行列は、n次正方行列であって n→∞ を考えると言うこと
長方行列を否定するのではないが
正方行列が 行列論のメインストリートである
ここから 固有値などに繋がっていく
これは 押えておくべきポイントですね

>>259
>正方行列が 行列論のメインストリートである

妄想

>>253
一般に、xを代数的無理数と仮定すると、ロスの定理により、
任意の ε＞0 に対して、高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
|x−(q/p)|＜1/p^{2+ε} が成り立つ
という書き方だと、xやεの取り方によっては
|x−(q/p)|＜1/p^{2+ε} なる有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が
存在することもあれば存在しないこともあるから、
任意の代数的無理数x、任意の ε＞0 に対して、或る正の実数 C(x,ε) が存在して
無限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 に対して
1/p^2＞|x−(q/p)|＞C(x,ε)/p^{2+ε} が成立し、p^ε＞C(x,ε) である
また、最小値の原理より、1/p^2＞|x−(q/p)|＞C(x,ε)/p^{2+ε} なる
有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 の分母pの最小値 M(p) が存在する
よって、正の実数 C(x,ε) は、C(x,ε)＜(M(p))^ε と上から評価出来る
正の実数 C(x,ε) は計算可能ではない

>>253
必死でおっちゃんにマウントするバカ 一人発見ｗ

>>254
>なぜ正則を正方とすると分かりやすいのか理解できませんね

うむ　>>243より
wikipedia
日語 正則行列 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E8%A1%8C%E5%88%97
英語 Invertible matrix https://en.wikipedia.org/wiki/Invertible_matrix
仏語 Matrice inversible
独語 Reguläre Matrix

思うに この用語は 歴史的には
独語 Reguläre Matrix から始ったのだろう
日本では それを独から輸入して 正則行列に
英仏 は、いつの間にか Invertible matrix、Matrice inversible へ
これを訳せば 可逆行列なのでしょうね

さて”馬から落ちることを 落馬という”>>243
落馬をしないことは 正則落馬だろう
正則とは、ひらたくは正常ということだろうね

同じ流れで 下記の雪江の用語 可除環がある
これにならえば 正則行列は 可除行列
即ち Invertible matrix だ
これなら
”正方行列の逆”と言ったとき
『おまえ ”可除行列”を知らない！ おまえ線形代数分ってない』
とマウントするやつはいなくなる・・ だろうねｗｗｗ （＾＾

(参考)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/
雪江明彦
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
教科書の 用語について (2012/7/7更新)
2. 「可除環」か「斜体」か
さて「必ずしも可換でない体」のことを何と呼ぼう?
桂では「斜体」と呼んでいるが，この用語を使う気にはなれなかった.
それは英語にしたとき，「ヴェーダーバーンの定理」の状況ではdivision ring, division algebra が完全に定着しているから.
「斜体」を英語にしたら「skew field」だろうが，
ヴェーダーバーンの定理とかブラウアー群などについて語るときskew field という用語を使うことはないだろう.
これが英語でdivision ringなら「可除環」がよいだろうと思った.
永田の可換体論では体，可換体という用語だが，
今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，
可換な体を最初から体と呼び，必ずしも可換でない体を可除環と呼ぶことにした.
いずれにせよ，1,2巻ではほとんど「体」しか出てこないので，問題になるのは3巻の補足に入ってから. そのときは「可除環」とした理由がわかってもらえるのではないだろうか.

>>262 タイポ訂正

落馬をしないことは 正則落馬だろう
　↓
落馬をしないことは 正則乗馬だろう
（＾＾；

1/p^2＞|x−(q/p)|＞C(x,ε)/p^{2+ε} なる有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 は
1/p^2＞|x−(q/p)| を満たすから、最小値 M(p) は p＝1 のとき M(1)＝1 で C(x,ε)＜1 と上から評価出来る

>>262 補足
>永田の可換体論では体，可換体という用語だが，
>今となっては「体」とは日本語ではほとんどの場合可換体を意味するようになっていると思うので，

群：可換非可換両方。可換は可換（アーベル）群
環：可換非可換両方。可換は可換環
体：可換非可換両方。可換は可換体（旧）
これで 完全に平仄は あっている

しかし 雪江は
アメリカにならうという
体：可換体
非可換体：division ring 「可除環」

が
四元数体→ 四元数可除環
八元数体→ 八元数可除環
ですか？
この時代は 来ないかもですね・・ （＾＾

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E5%85%83%E4%BD%93
多元体
四元数体 H
八元数体 O

>>262
＞必死で●●にマウントする〇〇 一人発見

必死で同類を庇う〇〇

日本語としてどうかという用語は
永田先生は避けていらした

>>258
つまり君は書けないと？
じゃあ
>>250
>その通りです
なんて分かってる風な口きかない方が良いのでは？

>>262
>>なぜ正則を正方とすると分かりやすいのか理解できませんね
>思うに この用語は 歴史的には 独語 から始ったのだろう
>日本では それを独から輸入して 正則行列に(なった)
>英仏語 を訳せば 可逆行列なのでしょうね
>(訳語が「正則行列」でなく「可除行列」だったら）
>『おまえ ”可除行列”を知らない！ おまえ線形代数分ってない』
>とマウントするやつはいなくなる・・ だろうね

日本語の翻訳がおかしいから間違った、と必死でいいわけする〇〇

そもそも「群の例をあげよ」という質問に
素人が「正方行列の群」と、ドヤ顔で答えたのが大失敗

正則行列と訳そうが可逆行列と訳そうが
そもそも「正方行列は乗法で閉じてるからそれだけで群！」
と誤解してる素人には全く無意味

結合法則が成り立たねばならないことも、
単位元や逆元が存在せねばならないことも
まったく理解してないんだから

思考力ゼロのガリベン暗記〇〇はこれだから困る

群の公理も知らん素人が
ガロア理論を理解することは
永遠にないだろう

正の自然数は加法に関して群ではない　加法の逆元も単位元も存在しないから　だから半環
正有理数は、乗法に関して逆元を持つが、加法に関して群ではない　加法の逆元も単位元も存在しないから　だから半体
正実数も同じ理由で半体

>>267
>日本語としてどうかという用語は
>永田先生は避けていらした

これは 御大か
巡回ありがとうございます

まあ、そうですね
雪江先生
アメリカにならうという
体：可換体
非可換体：division ring 「可除環」

それは、教科書の 用語について (2012/7/7)
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~yukie/yougo.pdf
にありますけど

雪江先生 日本語文献だけでなく 将来を見ると 英語文献を読むことが必須で
それに限らず 数学の英語情報は 日本語の10倍だと言われる
とくに division ring とか ここらに配慮した

余談ですが、ドイツ数学が 戦前のような勢力であれば
別の考えもあったかもですが
ともかく 雪江先生は この本の先を つまり 英語文献との繋がりを考えて
「可除環」とか アカデミックの香りが無い用語を採用したのでしょう

下記 河東先生にありますが
アメリカの数学科は 学生は”お客さん”扱いです
つまり ”アカデミックの香り”より 分かり易さ優先

おサルさん>>33 ｗ大でなく アメリカの大学ならば
冷や水を 浴びせられることは 無かったでしょうに・・ｗ （＾＾

(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/usgrad.htm
アメリカ大学院(数学)への留学について 河東(6/9/2012)

留学に必要な数学力
日本のちゃんとした大学(院)できちんと勉強していれば，知識や勉強の量の点で不利になることはまったくありません． 基礎的なことをきちんと教え込むということについてはむしろ日本(やヨーロッパ，中国)の方が伝統的にちゃんとやっていると思います． たとえば日本で学部3年生くらいで教えている，Lebesgue 積分，上級の複素関数論(留数計算とかではなく，Riemann の写像定理とか楕円関数とか)，Galois 理論，多様体論 (de Rham cohomology とか)，種々の (co)homology 理論などはアメリカでは，学部で必ず習う科目という位置づけではなく，たいてい大学院の科目です． (もっともアメリカは学年と言う概念はもともと希薄なので優秀なら学部学生でもいくらでもこういう科目は取れます． また学部学生用にこういった科目を選択科目として開講している大学もあります

私は昔，Ahlfors の複素解析の教科書の序文に「これはアメリカの大学院の教科書だ」と書いてあるのを読んでそんなバカな， と思いましたがほんとうに多くの大学院で使っています．(主に後半部分についてそうです)

Preliminary examination ということもありますが，だいたい代数 (線形代数から Galois 理論程度)，幾何 (general topology から多様体，(co)homology など)，解析 (測度論，複素関数論，関数解析の初歩など) について日本の大学2〜4年生くらいの内容の試験です． (見本としてUCLAの過去の試験問題にリンクを張っておきましょう．) 普通にアメリカで学部を出た場合は，大学院に入学してから1〜2年，基礎的な勉強をしてこの試験を受けることになります． 決まった期間内に合格しなければ退学にされてしまいます． 日本人の場合，たいていはこういう内容は既に勉強しているはずなので，試験だけ受けてわかっていることを実証すればそれでO.K.です． (私は昔入学直後，授業が始まる前に 略 の4科目を全部クリアしました．ヨーロッパから来た人もよくそうしていました)

>留学に必要な数学力
線形代数も微積も落第した君には縁の無い話
コピペばっかしてないで勉強でもしたら？

>>261
このテキストを解剖すると、トンデモさんがどこで「独自の数学」
に突入したかが鮮明に見えてきます。AIとして、この論理の「綻び」
を3つのポイントで指摘します。

1. 「無限個の存在」というすり替え 最大のツッコミどころはここです：
「無限個の有理数 $q/p$ に対して $|x - (q/p)| > C(x,ε)/p^{2+ε}$ が成立し……」
ロスの定理（Thue-Siegel-Roth theorem）の本来の主張は、「これ以上近づく有理数は
有限個しかない（＝ほとんどの有理数はこれより遠い）」という「上からの評価」です。
ロスの定理： $|x - q/p| < 1/p^{2+ε}$ は有限個。
トンデモさんの主張： 逆向きの不等式 $|x - q/p| > C/p^{2+ε}$ が無限個。
これは一見正しそうに見えますが、数学的には「当たり前すぎて何も証明していない」
状態です。有理数全体は稠密ですが、分母 $p$ を大きくしていけば、ほとんどの
有理数は $x$ からある程度離れています。この「下からの評価」が存在すること
自体は、ロスの定理を持ち出すまでもなく、代数的無理数の性質
（リウヴィル数ではないこと）から自明です。

2. $C(x,ε)$ の定義が循環している 次に、この部分の論理が破綻しています：
「$p^ε > C(x,ε)$ である」「$C(x,ε) < (M(p))^ε$ と上から評価出来る」
ここで登場する $M(p)$（分母の最小値）は、$C(x,ε)$ を決めた後に決まる値です。
1.$C$ を決める不等式を満たす
2.$p$ の集合が決まる
3.その中の最小値 $M(p)$ が決まる
という順序なのに、この証明では $C$ を決めるために $M(p)$ を使おうとしています。
これは典型的な循環論法です。「卵が先か鶏が先か」を数式でやっているだけで、
結局 $C$ の具体的な存在証明や評価にはなっていません。

3. 「計算可能ではない」への飛躍 最後に、一番それっぽい結論に逃げています：
「正の実数 $C(x,ε)$ は計算可能ではない」
実は、ロスの定理における定数が「非効果的（ineffective）」である、
つまり $C$ を具体的に計算する手法が現在の証明法（ロスの手法）では
確立されていないというのは、数学界の有名な事実（真実）です。
トンデモさんは、この「数学者が困っている事実」を最後に持ってくることで、
自分の論理のガタガタさを「現代数学の限界」という大きな物語に擬態させて
隠蔽しています。

AIの鑑定結果
この証明は**「真実のつまみ食いによる偽装」**です。

γ固有の性質を何も使わずにγ固有の命題を証明出来る訳がない
ど素人でも分かることが分からない誤答おじさん

おっちゃんの「腐った脳みそ」に付き合わなくても
AIが自動で誤りを指摘してくれる時代になった！ｗ

>>249
少なくとも筋が悪いとは言えそう

複数形であることを明確にする必要があると言う理由で
何が何でも「たち」をつけることがはやった時期があったが
永田先生はそれに強く反対した。

定冠詞がつく名詞に何が何でも「その」をつけるみたいなもんか

>>273-276

>>261は wikipedia の「トゥエ・ジーゲル・ロスの定理」の
日本語のサイトに書いてあることを見て書いた

日本人は日本語に無い冠詞が苦手
しかし英語文献は冠詞をいちいち正確に読み取らないと誤読してしまうことが少なくない

>>273-276
任意の無理数aを取るとaは整数ではないから、
aに対して或る整数bが存在して |a−b|＜1＝1/1^2 である

>>273-276

>>282は
>任意の無理数aを取るとaに対して或る整数bが存在して b＜a＜b＋1 だから、 |a−b|＜1＝1/1^2 である
に訂正

ブルバキの「数学原論」のタイトルは単数形で、「数学史」の方は複数形らしいです。

>>273-274
>>276
AIより wiki の方がまだマシ

>>275
γ固有のことを書くと以前書いたように少し長い解析を要する
その後にγを無理数と仮定して背理法から矛盾を導く議論をして
γは有理数だといっているのだが、
直観主義論理ではこの背理法の議論は適用出来ないという

>>258
名前は「(⁠^⁠^⁠)」の方が良いかもしれませんね。（適当に(⁠^⁠^⁠)君とか）
最初は0でない無限小の超実数が代数的数だと仮定して、有理数係数の方程式を考えるんじゃないんですかね？

前に貼った資料では、0も無限小と考えているような感じだったと思います。

>>249
>ヴェイユ予想が解決したからと言って
>>277
>少なくとも筋が悪いとは言えそう

よくわからんので ”ヴェイユ予想解決の荒筋？”貼る
ヴェイユ予想から？ですが・・（＾＾

(google検索)
ヴェイユ予想解決の荒筋？
AI による概要
ヴェイユ予想（Weil conjectures）は、有限体上の代数多様体の点（解）の個数を、リーマン・ゼータ関数の手法を応用して特徴づける一連の予想です。1940年代にアンドレ・ヴェイユが提唱し、1970年代にピエール・ドリーニュによって完全に証明されました。
その証明の荒筋は、代数幾何学における新しい手法の構築と、それを用いた幾何学的構造の解明にあります
ヴェイユ予想解決の荒筋 (1970年代)
ヴェイユ予想の証明は、主にグロタンディークによる基盤作りと、ドリーニュによる最後の難関（リーマン予想の類似）の突破によって達成されました。
http://docmadhattan.fieldofscience.com/2013/03/pierre-deligne-and-weil-conjectures.html
https://www.youtube.com/watch?v=peZRbPvvrzg&t=1
https://www.jmilne.org/math/Documents/DeligneWeilI.pdf

1.問題のコホモロジー化（グロタンディーク）
・有限体上の多様体の解の個数を、「エタール・コホモロジー」という位相幾何学の道具を使って、代数的な数（跡公式）に置き換えました。
・これにより、解の個数を空間のトポロジー（穴の数など）として扱えるようになりました。

2.基本予想の解決（Dwork, Grothendieck）
・合理性（有理性）: 1960年にドゥワークが解決。ゼータ関数が有理関数になることを証明。
・関数等式: グロタンディークらにより、ポアンカレ双対性（コホモロジーの対称性）を用いて解決。

3.「有限体上のリーマン予想」の証明（ドリーニュ）
・最大かつ最難関の「ゼータ関数の根の絶対値に関する予想」に対し、ドリーニュは1974年に、ラマヌジャン・ピーターソン予想を応用する形で、跡公式と非コンパクト多様体の構造（混合ホッジ構造）を駆使して解決しました。
・これにより、有限体上のゼータ関数の根が、特定の絶対値（q^i/2）を持つことが証明され、複素数体上のリーマン予想の有限体版が示されました。
https://pagine.dm.unipi.it/tamas/Weil.pdf
https://ariririri.github.io/pdf/WeilConj.pdf

証明の要点
・道具: エタール・コホモロジー（進コホモロジー）、Lefschetz跡公式
・考え方: 有限体上の世界（代数）を、複素多様体の位相（トポロジー）と結びつけ、幾何学的に問題を解決する。
・結果: 代数多様体の解の個数が、その空間が持つ「次元」や「穴の数」に完全に支配されていることが明らかになった。
https://arxiv.org/pdf/1807.10812
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3

この証明により、現代的な代数幾何学と数論が融合し、その後のラングランズプログラムなどへの道が開かれました。

>>285
直観主義論理が気に入らないなら古典論理でええやん

そんなことより君の証明によって√2が代数的無理数でないことが示せてしまうことは理解できたの？

>>286-287
>名前は「(⁠^⁠^⁠)」の方が良いかもしれませんね。（適当に(⁠^⁠^⁠)君とか）
>最初は0でない無限小の超実数が代数的数だと仮定して、有理数係数の方程式を考えるんじゃないんですかね？
>前に貼った資料では、0も無限小と考えているような感じだったと思います。

１）”(⁠^⁠^⁠)君”くん 了解です 単語登録の都合で ”(^^)君”とさせていただきます
２）”無限小”をどう理解するかは、若干のふれがあるようですね

アラン・コンヌは、作用素環論と彼自身による非可換幾何学の知見を
総動員して、「ヴェイユ予想の証明の類似」をリーマン予想に対して
構成したと聞いたけど。結果は、跡公式→リーマン予想
を示したが、最終的にはうまくいかなかった。AIに聞いた話だと
やはり無限素点での計算で制御不能な部分が出てくるのだと。
コンヌは証明に至らなかったが、複素解析だけで解けると思ってる
どっかの爺さんよりは真実に近づいたんじゃないか？

>>290
>”無限小”をどう理解するかは、若干のふれがあるようですね
ねーわｗ
なに口から出まかせにホラ吹いてんだよｗ

無限小という用語は本によって違うんですかね？
最初に出題されている方は、無限小を実数と考えていない感じがします。
私が貼った資料とは少し違った定義でお考えなのかと思います。

ちなみに、AIに「リーマン予想は人間とAIのどっちが先に解くと予想する？」
と質問したら、「わたしたちが先に解いて、それを人間が検証する形
になるんじゃないか」と言っていたｗ

非可換幾何学は自然な感じがするけれど
遠アーベル幾何学は人工的な印象がある

>>295
>遠アーベル幾何学は人工的な印象がある

まあ、その話は 歴史が解決するとしか・・
数学史の人工的な例

１）古代ギリシャでは √2は人工だったかも？ √2を唱えると死刑にされたとか （＾＾
２）ガウスは 虚数単位 i はうかつに使わなかったらしい （学位論文）
３）非ユークリッドは、ガウスも考えたが門外不出にした・・
４）無限集合を考えたカントールは、クロネッカーから攻撃された 「自然数のみが自然だ！」ｗ

などなど （＾＾；

無教養がうんちく語ってもちっとも面白くない

トロピカル幾何の演算は人工の方に分類しても良いですかね…。

>>296
ふっふ、ほっほ
うん もっとウンチクを言えば

a)整列可能定理
b)選択公理
c)Zorn補題

整列可能定理が 一番自然で
二番目が 選択公理で
三番目が Zorn補題
”順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する”

このZorn補題のステートメントを読んで 「おお！ 極めて自然だ！！」と思う人は少ないだろう
しかし、これが自然に思えるように勉強をするのが良いのです（これ一番良く使うといわれる）

そして 整列可能定理、選択公理、Zorn補題は
みかけの自然不自然は別として
この３つ 等価な命題らしいｗ （＾＾；

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice）とは、集合論の公理系を構成する公理の一つであり、非空集合のみを元とする集合（すなわち集合の集合）があるときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を構成できると定める公理である。選出公理ともいう[1]。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた[2]。平行線公準以来、もっとも議論された公理である[3]。

変種
選択公理には変種が多く存在する。ここでいう変種とは、他の集合論の公理の元で、選択公理と変種が、一方を仮定すればもう一方を導ける関係にあるということである。

選択公理と等価な命題

整列可能定理

ツォルンの補題
順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。（実際の数学では、この形で選択公理が使われることも多い。）

クルルの定理
単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。

>>298
>トロピカル幾何の演算は人工の方に分類しても良いですかね…。

そうですね
クロネッカーは そういうかもです

>>300
クロネッカーがOKを出すんですかw
半体の話が出ていましたが、関係あるのかもしれません。

>>299
>整列可能定理が 一番自然で
>二番目が 選択公理で
>三番目が Zorn補題

素人にとって分かりやすい順かい

>Zorn補題 ”順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する”
>このステートメントを読んで 「おお！ 極めて自然だ！！」と思う人は少ないだろう

「だろう」で自分を慰めるのが虚しい

>しかし、これが自然に思えるように勉強をするのが良いのです
>（これ一番良く使うといわれる）

分かりもせんのに「良いのです」というのが虚しい

>そして 整列可能定理、選択公理、Zorn補題は
>みかけの自然不自然は別として
>この３つ 等価な命題らしい

「らしい」で終わるのが虚しい

行列の階数の定義
１．A の列ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の列空間の次元）
２．A の行ベクトルの線型独立なものの最大個数（A の行空間の次元）
３．A に基本変形を施して得られた階段行列 B の B の零ベクトルでない行（又は列）の個数（階段の段数）
４．表現行列 A の線型写像の像空間の次元。
５．A の 0 でないような小行列式の最大サイズ
６．A の特異値の数

上記全て、Aがいかなる行列でもOK（正方行列に限らない）

掃き出し法しか知らんヤツでも分かる順は
３＞１，２＞４＞５＞６

行列式しか知らんヤツでも分かる順は
５＞１，２、３＞４＞５＞６

理論として自然な順は
４＞１＞２，３＞５＞６

行列の階数の珍（？）定義

以下の条件を満たす最小の r

「2r 本の縦ベクトル u1,…,ur,v1,…,vr​ が存在して A=(k=1〜r)ukvk⊤ と書ける。」

実はこれは、>>303の３．
「A に基本変形を施して得られた階段行列 B の B の零ベクトルでない行（又は列）の個数（階段の段数）」
と同じ

つまり、基本変形の組織的実行により上記のu1,…,ur,v1,…,vrが求まり、しかもそれが最小のrだと分かる

しかし、行列式とクラメールの公式しか知らんヤツには、一生分からんか

>>299
ほらね、独自見解述べてるでしょ？
君は自分で思うよりずっと頻繁に独自見解述べてるって言ったはずだぞ？　悪い癖だよ　オチコボレのくせに独自見解語るのは

>この３つ 等価な命題らしいｗ （＾＾；
らしい、じゃなく自分で証明してみなよ　数学嫌いでしょ君

オチコボレは独自見解語るなかれ
コピペはスレが見づらくなるだけなので迷惑
オチコボレは質問以外発言禁止！！！

証明を理解する必要無い　定理さえ理解すればよい
そう思う人は数学板に来る必要無い　工学なりの板へ行けばよい　はっきり言って迷惑

工学板に果たして人がいるのか…。

>>289
>そんなことより君の証明によって√2が代数的無理数でないことが示せてしまうことは理解できたの？
とっくに理解出来てる
√2 が代数的無理数であることは代数的に示せるから、代数の話になる

いわずもがなだが、γは
γ:＝lim_{n→+∞}(1＋1/2＋…＋1/n−log(n))
と極限の式で定義される

0=1みたいなことになってしまう証明は、きちんと修正しないとね。

>>299
>単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。
はい、大間違いです。
実際{0}は、加法単位元かつ乗法単位元である0を持つ環であり、自分自身{0}がその唯一のイデアルだが、定義より自分自身は極大イデアルではない。
正しくは「加法単位元とは異なる乗法単位元を持つ環は極大イデアルを持つ」。
証明できるかい？

>>309
>とっくに理解出来てる
じゃなんで間違いを認めないの？

>>298
自然じゃないですかね

>>301
>クロネッカーがOKを出すんですかw
>半体の話が出ていましたが、関係あるのかもしれません。

(^^)君 スレ主です
ご苦労さまです

１）クロネッカーは、下記ですね
２）半体には 反対ですｗ （＾＾
　あんまし 数学的意味ないのでは？ｗｗｗ

(参考)
https://zenken.agu.ac.jp/zen/story/h30.html
愛知学院大学 禅研究所
ホーム > 禅について > 禅のこぼれ話 > 平成30年度
禅のこぼれ話 平成30年度
数学、ときどき宗教（著・久馬栄道）（教養部准教授）

無限の概念は、初めは自然数、つまり１の次は２で２の次は３のように、次々と連鎖で積み上がっていくような無限、「可能無限」が主流でした。クロネッカーが「自然数は神が作った」というのも、それを表しています。しかし数学の自由性は、それをはるかに超える「実無限」を要請し、20世紀になるとそれが集合論や論理学と合体して、ついに数学は自由の翼を得たのです。

>>313
間違っていることは承知の上で書いている

>証明できるかい？
ツォルン⇒選択公理より遥かに簡単だよ　イデアルは素性が良いからね

>>316
何が間違ってると？

>>318
γ特有の性質を使わずに、γが代数的無理数なることを証明したことが間違っている

>>314
そうですか。
自然と人工の感覚が良く分かりませんね…。
遠アーベル幾何を全く知らないものですから。

絶対数学は人工かな？

>>318

>>319は書き間違えた
γ特有の性質を使わずに、γが代数的無理数ではないことを証明したことが間違っている

>>322
じゃあ
>γは有理数だといっているのだが
はなぜ言えるの？

>>321
完全に

>>324
良かった(⁠^⁠^⁠)

>>323
γを無理数と仮定すると矛盾が導けるからγは有理数だといっている
γの定義式は
γ:＝lim_{n→+∞}((第n項が 1＋1/2＋…＋1/n なる有理数)−(一般には( n≧2 とすれば)第n項が log(n) なる超越数))
と、一般には第n項が 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) なる超越数の極限の形で定義されている
超越数は有理数より、有理数で精度良く近似出来る

>>326
下らない

>>327
まあ、証明ではないしな

それじゃ、疲れたから寝る

1+1/2*1/3+...+1/n - log(n) による近似って有理数近似ちゃうやん。Rothの定理って有理数近似の誤差についての定理ですがな

>>315 補足
>クロネッカーが「自然数は神が作った」

ホイヨ
補足です （＾＾;

(google検索)
数学で ”自然”がつく用語には 何があるか？
<AI による概要>
数学において「自然（natural/nature）」が冠される用語は、多くの場合、その対象が最も基本的、直感的、あるいは背景にある構造を最もよく表している（「自然な」選択である）ことを意味します。
代表的なものは以下の通りです。
1. 自然数 (Natural Number)
最も基本的な用語です。物を数えるときに使われる数（1, 2, 3, ...）を指します

2. 自然な / 自然な変換 (Natural / Natural Transformation)
圏論（Category Theory）における中心的な概念です。「自然な変換」とは、ある圏から別の圏へのファンクタ（関手）の間の関係性であり、特定の対象（オブジェクト）によらず一貫した方法で定義されるマッピングを指します [3]。

3. 自然な写像 (Natural Map / Canonical Map)
特定の構造を前提とした場合、定義上最も直感的に導かれる写像のことです。例えば、商集合への自然な射影などがあります [4]。

4. 自然対数 (Natural Logarithm)
底がネイピア数 e （ e≒2.718）である対数
ln(x) または log e (x) のことです。微分積分学において、
d/dx ln(x) = 1/x となるなど、解析的な計算において「自然な」性質を持つためこう呼ばれます [5]。

5. 自然境界 (Natural Boundary)
複素解析において、べき級数などで定義された関数が、その収束円の円周上に解析接続（定義域の拡張）を一切持たない場合、その円周を「自然境界」と呼びます [6]

6. 自然な基底 (Natural Basis)
ベクトル空間（特に数ベクトル空間 R^n など）において、最も単純で標準的な基底のこと。標準基底（Standard Basis）とも呼ばれます

これらの用語は、「人間の作為的な操作によらず、その対象の定義や構造から必然的に導かれるもの」という意味合いで使われています。
数学で「自然（Natural）」が付く用語は、主に「自然界に存在する（1, 2, 3…と物を数える）」ことや、「最も基礎的・標準的である」という意味で使われます。主なものは以下の通りです。

このように、数学における「自然」は、数え上げる基礎的な数（自然数）や、自然の成長を表す基数（自然対数の底）として、非常に重要な基礎概念に使用されます。

>>241
>√2を代数的無理数と仮定すると、ロスの定理により、
>任意の ε＞0 に対して、高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
>|√2－(q/p)|＜1/p^{2+ε} が成り立つから、
>高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2－(q/p)|＜1/p^2 である
>仮定から√2は代数的無理数であるから√2は無理数であって、
>√2は正則連分数で一意に √2＝[a_0;a_1,a_2,…,a_n…]
>と無限連分数展開した形で表される
>任意に正の整数kを取って、√2の第k近似分数を
>(q_k)/(p_k) p_k と q_k は互いに素な正の整数
>とすれば |√2－((q_k)/(p_k))|＜1/(p_k)^2 が成り立つから、
>無限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2－(q/p)|＜1/p^2 である
>しかし、これは高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
>|√2－(q/p)|＜1/p^2 なることに反し矛盾する
>よって背理法により、√2は代数的無理数ではない
これがとてつもなくおかしいから
>>188がテンプレ入りの間違いだと分かりましたかね？

>>326
「第n項が超越数なら極限は有理数」の反例：{(1+1/n)e}（第n項、極限ともに超越数）

>>299
>順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。
これも大間違い。
実際順序集合{}の全順序部分集合は{}のみでこれは有界だが{}は極大元を持たない。
正しくは「空でない順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。」

正しくは「空でない順序集合において、任意の全順序部分集合が　上に　有界ならば、極大元が存在する。」

>>331
>高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2−(q/p)|＜1/p^2 である

まず、これが誤り。任意の無理数に対して、このような「よい近似分数」
q/pは無限に存在するというのが、ディリクレの定理の主張。
次に、正則連分数展開について書いてるが、これはディリクレの定理で
主張するようなよい近似分数列を具体的に構成する方法。

では、ロスの定理とは何を主張しているか？

>|√2−(q/p)|＜1/p^{2+ε}

をみたす近似分数 q/p は高々有限個しか存在しないと言っている。
つまり、代数的無理数の場合、指数が2のときと、2+εのときで
断絶的な違いが生じると言っている。

たったこれだけのことも理解できないのが乙。

ちなみに、このような有限個の解と無限個の解という断絶
が生じる指数のことを「無理数度」という。
ロスの定理は、「代数的無理数の無理数度は2である」
ということを主張している。
「ほとんどすべての実数」の無理数度は2であることが知られている。

>>330
＞数学で ”自然”がつく用語には 何があるか？
数学が分からん素人の典型的質問