√2を代数的無理数と仮定すると、ロスの定理により、
任意の ε＞0 に対して、高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
|√2－(q/p)|＜1/p^{2+ε} が成り立つから、
高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2－(q/p)|＜1/p^2 である
仮定から√2は代数的無理数であるから√2は無理数であって、
√2は正則連分数で一意に √2＝[a_0;a_1,a_2,…,a_n…]
と無限連分数展開した形で表される
任意に正の整数kを取って、√2の第k近似分数を
(q_k)/(p_k) p_k と q_k は互いに素な正の整数
とすれば |√2－((q_k)/(p_k))|＜1/(p_k)^2 が成り立つから、
無限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して |√2－(q/p)|＜1/p^2 である
しかし、これは高々有限個の有理数 q/p (p,q)＝1 p≧1 が存在して
|√2－(q/p)|＜1/p^2 なることに反し矛盾する
よって背理法により、√2は代数的無理数ではない