色々書いていらっしゃるようだ

任意の正の整数nに対して a_n、b_n を
a_n＝1＋1/2＋…＋1/n−log(n)、
b_n＝1＋1/2＋…＋1/n−log(n＋1)
と定義する
細かい解析は端折るが、実数列 {a_n} はγに収束する単調減少な超越数の列である
同様に細かい解析は端折るが、実数列 {b_n} はγに収束する単調増加な超越数の列である
有理数より超越数や無理数は、有理数で精度良く近似出来る
これをいい換えれば、単調減少な超越数の列 {a_n} や
単調増加な超越数の列 {b_n} がどちらもγに収束するから、
lim_{n→+∞}(a_n−γ)＝lim_{n→+∞}((1＋1/2＋…＋1/n−γ)−log(n))＝0、
lim_{n→+∞}(b_n−γ)＝lim_{n→+∞}((1＋1/2＋…＋1/n−γ)−log(n＋1))＝0、
及び実数列 {a_n}、{b_n} の各初期値 a_1、b_1 が b_1＝1−log(2)＜γ＜a_1＝1 を満たすことから、
単調減少な超越数の列 {a_n} や単調増加な超越数の列 {b_n} が
収束する実数γは有理数であろうと予測出来る
以前ここに書いたから、γが有理数なることの細かい解析は端折る