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(引用開始)
前スレより 下記
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/689
（Grok AI）
"なぜなら：adj(A) が零行列でないとは限らない
むしろ det(A) = 0 のとき、ほとんどの場合 adj(A) = O になる"
(私)
その主張は、一理あるが
”むしろ det(A) = 0 のとき、ほとんどの場合 adj(A) = O になる”は、ちょっと怪しいけど・・
(引用終り)
注）adj(A)は、n次正方行列Aの余因子行列（n次正方行列）のこと

さて、余因子行列 adj(A)を考えると
adj(A) = O とは、nxn 個 全ての余因子が0 だということなのだが
これは、det(A) = 0 よりも 強い主張だということが 直観で分る
だから 『”むしろ det(A) = 0 のとき、ほとんどの場合 adj(A) = O になる”は、ちょっと怪しい』と思ったのだった

その後、少し考えてみると
前スレ 842 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1770774727/842
に書いた通りで
行列の重要な性質 ”ランク” で 整理できると気付いた
このときは、証明のあら筋はまだ はっきりとは見えていなかったが
ランクの定義 ”A の 0 でないような小行列式の最大サイズ” https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0
を使うスジだということは分った
(引用終り)

さて
ここを掘り下げるよ
いま、簡単に実数Rを成分とする3次の正方行列Aを考えよう
(a11,a12.a13)=v1
(a21,a22.a23)=v2
(a31,a32.a33)=v3

つまり
正方行列Aの成分aij　 i,j=1〜3 で
v1,v2,v3 は 行ベクトルを表すとする
正方行列Aは 9次のユークリッド空間R^9を張る
いま Aがランク2 即ち v2とv3が独立で v1ではなく
v2とv3に従属で この二つの行ベクトルの一次結合になるとする
そうすると (a11,a12.a13)=v1は 本来の3次のユークリッド空間R^3 から 2次のR^2に退化していると考えられる
R^3の体積を考えるとき R^2への退化は 体積0ということだ

例えば
aij に 実の乱数を入れたときには
ランク3の行列に対して ランク2の行列の存在確率は0 だと言える

これを n次（n>=3）の正方行列Aに一般化すれば
ランクが一つ下がった行列の存在確率は0になるということだね

”Grok AI 破れたりぃ〜〜！” ｗｗ （＾＾；