一応、以前ここに書いたγが有理数なることの証明の最終部分だけ再度書く
その前に長く書いたことは省略する

γが無理数であると仮定する。任意の有理数 1/p pは3以上の整数 に対して
|γ−1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p |
　　　　　　　＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p
　　　　　　　＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p
　　　　　　　＝1＋1/2＋…＋1/(p−1)−log(p)
　　　　　　　＞0、
であるから、或る3以上の正整数kが存在して、任意の p≧k なる整数pに対して
|γ−1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p＞1/k≧1/p である
γを無理数と仮定しているから、ディリクレの定理により、
0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす
ような既約有理数 q/p p≧3 は無限個存在する
既約有理数 q/p p≧3 が 0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たすとする
三角不等式から、0＜|γ−1/p|−|γ−q/p|≦|(q−1)/p|＝|q−1|/p となる
p≧3 から |γ−q/p|＜1/p^2≦1/9 であるから、
γ＞1/4 から qが0以下の整数となることはあり得ない
従って、p＞0 から |q−1|/p＝(q−1)/p であって、
|q−1|/p＞0 に注意すれば (q−1)/p＞0 から q≧2 である
よって、q/p p≧3 q≧2 なる無限個の既約有理数 q/p は
0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす
よって、0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| なる
無限個の既約有理数 q/p の分母pと分子qについて p≧3 q≧2 なることに注意して、
p＝5、q＝2 とすれば、γ＞2/5 から 0＜|γ−2/5|＝γ−2/5 であるから、
既約有理数 2/5 は 　0＜γ−2/5＜1/5^2＜|γ−1/5| を満たす
よって、0＜γ−2/5＜1/5^2 から、三角不等式より、γを上から評価すると
γ＜2/5＋1/5^2＝10/25＋1/25＝11/25
である。しかし、γ＜11/25 が得られたことは γ＞1/2＞11/25 なることに反し、矛盾する
γを無理数と仮定したことから矛盾が導けたから、背理法が使える
故に、背理法を適用すれば、γは有理数である