そもそも長い直線の直積って実多様体の構造すら入らんやろ。
長い直線本体がアレフ2以上の極限数の近傍系が可算基持てないから第一可算公理すらみたさない。もちろん何個直積とってもいずれかの成分がアレフ2以上の極限数ならその近傍は可算基を持てない。