γが無理数であると仮定する。任意の有理数 1/p pは3以上の整数 に対して
|γ−1/p|＝| lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p |
　　　　　　　＝lim_{n→+∞}( 1＋1/2＋…＋1/n−log(n) )−1/p
　　　　　　　＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p
　　　　　　　＝1＋1/2＋…＋1/(p−1)−log(p)
　　　　　　　＞0、
であるから、或る3以上の正整数kが存在して、任意の p≧k なる整数pに対して
|γ−1/p|＞( 1＋1/2＋…＋1/p−log(p) )−1/p＞1/k≧1/p である
γを無理数と仮定しているから、ディリクレの定理により、
0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす
ような既約有理数 q/p p≧k は無限個存在する
既約有理数 q/p p≧k が 0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たすとする
三角不等式から、0＜|γ−1/p|−|γ−q/p|≦|(q−1)/p|＝|q−1|/p となる
p≧k≧3 から |γ−q/p|＜1/p^2≦1/9 であるから、
γ＞1/4 から qが0以下の整数となることはあり得ない
従って、p＞0 から |q−1|/p＝(q−1)/p であって、
|q−1|/p＞0 に注意すれば (q−1)/p＞0 から q≧2 である
よって、q/p p≧3 q≧2 なる無限個の既約有理数 q/p は
0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす
よって、0＜|γ−q/p|＜1/p^2＜|γ−1/p| なる
γは無理数と仮定しているから、γは一意に無限正則連分数の形で表される
無限個の既約有理数 q/p の分母pと分子qについて p≧3 q≧2 であるから、
或る正の整数mが存在して、任意の n≧m なる整数nに対して、
q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧3 q_{2n}≧2 なる既約有理数 q_{2n}/p_{2n} を
γの第(2n)次近似分数とすれば、q_{2n}/p_{2n} は
0＜|γ−q_{2n}/p_{2n}|＝γ−q_{2n}/p_{2n}＜1/(p_{2n})^2＜|γ−1/(p_{2n})|
を満たす。よって、γを上から評価すると
γ＜q_{2n}/p_{2n}＋1/(p_{2n})^2≦577/1000＋1/(1000)^2＝577001/1000000
である。しかし、γ＜577001/1000000 が得られたことは
γ＞5772/10000＞577001/1000000 なることに反し矛盾する
γを無理数と仮定したことから矛盾が導けたから、背理法が使える
故に、背理法を適用すれば、γは有理数である