>>688
>(質問)
>「数列の収束とは何か？」と質問されたらどう答える
>「自然数から数への写像」を使って答えなさい
>
>(回答)
>写像f：N→R に対してf(n)=an, an∈R と書ける
>n→∞ を考えることができる
>収束とは　n→∞ f(n)→f(∞) の ある様態（様子）のことだ
>即ち　収束とは、f(n)→f(∞) が ある一つの値に定まること

院試なら、落第

任意のｎ∈Ｎよりも大きな元∞を考える
fに∞での値ａを追加した写像をf’とする　(f’(∞)=a)

さらにＮ∪{∞}の開集合を以下のように定義する
「任意のｎ∈Ｎについて{ｘ｜ｘ＞＝n}∪{∞}はN∪{∞}の開集合」

さらに∞から各nへの距離を1/nと定義する(０から∞までの距離は∞とする)
nが大きくなるほど∞との距離が小さくなる
この距離によって、n＞=1の場合、上記の開集合は∞の1/n近傍となる

写像f：N→Rがaに収束する、とは
写像f’：N∪{∞}→R が点∞で連続である、ということ
すなわち、以下が成り立つ
任意のε＞０に対し あるδ＞０が存在して
N∪{∞} のδ近傍の点nでのf(n)の値は、f(∞)＝aのε近傍の中に入る