>>855
>なんでRとCって決めつけてるんだい？

線形代数 水道方式よ
つまり、一般的な RとCの nxn正方行列を徹底的に学ぶべし
（固有値を考えると 自然に R→Cの拡張を考えるようになる）
下記 RとCの nxn正方行列の応用で リー群を扱えるようになる

その一般化の特殊例として
QやNへの制限された行列
あるいは有限体Fの成分の行列を考えることができる

一般から特殊へだ
水道方式の応用

この先に 無限次元のヒルベルト空間に対する線形代数の拡張がある
この場合も 普通に成分は RとCさ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/General_linear_group
General linear group
As a Lie group/algebra
Real case
The general linear group
GL(n,R) over the field of real numbers is a real Lie group of dimension n^2.
Complex case
The general linear group over the field of complex numbers,
GL(n,C), is a complex Lie group of complex dimension n^2.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E7%BE%A4
特殊線型群
幾何学的解釈
特殊線型群 SL(n, R) は、体積と向きを保つ Rn における線型変換のなす群として特徴付けられる
リー部分群
F が R (実数体)、または C (複素数体) であるときには、SL(n, F) は GL(n, F)の (n^2 − 1) 次元のリー部分群である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
定義
H がヒルベルト空間であるとは、
H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。
ヒルベルト空間の概念の重要性は、それが最も適切な量子力学の数学的基礎の提供を実現したことで強く認識されるようになった[18]。
量子力学における可観測量の代数は、ハイゼンベルクの行列力学による量子論の定式化に従って、自然に或るヒルベルト空間上で定義される作用素環となる。1930年代のうちにフォン・ノイマンがヒルベルト空間上の作用素の成す環としての作用素環を調べ始め、フォン・ノイマンやその時代の人々が研究した種類の作用素環は、今日ではフォン・ノイマン環と呼ばれている