>>478 戻る
(引用開始)
いま、簡単に実数Rを成分とする3次の正方行列Aを考えよう
(a11,a12.a13)=v1
(a21,a22.a23)=v2
(a31,a32.a33)=v3
つまり
正方行列Aの成分aij　 i,j=1〜3 で
v1,v2,v3 は 行ベクトルを表すとする
正方行列Aは 9次のユークリッド空間R^9を張る
いま Aがランク2 即ち v2とv3が独立で v1ではなく
v2とv3に従属で この二つの行ベクトルの一次結合になるとする
そうすると (a11,a12.a13)=v1は 本来の3次のユークリッド空間R^3 から 2次のR^2に退化していると考えられる
R^3の体積を考えるとき R^2への退化は 体積0ということだ
例えば
aij に 実の乱数を入れたときには
ランク3の行列に対して ランク2の行列の存在確率は0 だと言える
これを n次（n>=3）の正方行列Aに一般化すれば
ランクが一つ下がった行列の存在確率は0になるということだね
(引用終り)

補足します
成分は実数Rとする
１）3次 3x3の正方行列Aの張る空間はR^9 で9次元
２）ランク2に下がると ベクトルv1は、v2とv3の二つのベクトルの張る空間内でなければならないから
　本来3次元のところが、2次元に落ちる
　即ち6+2=8次元（上記の通り）
３）さて ランク2に下がると 例えば ベクトルv3に対して
　v1,v2は v3に平行でなければならない
　つまり v1=bv3,v2=cv3 　b,c ∈R
　なので 自由な変数は b,c,a31,a32.a33の5個で R^5 つまり 5次元に落ちる
　全体で9次元から5次元へ4つ落ちる。v1,v2の張る6次元で考えると2次元へ4つ落ちる

これは、一般のn（n>=3）で考えても同様で、n次正方行列の張るn^2次元が
ランクn-1 では 1つ落ちて n^2-1
ランクn-2 では 4つ落ちて n^2-4
となるので
ランクn-1と ランクn-2の比較では 次元が3落ちることになる

さて、いま行列の成分に0〜9の1桁を入れると 場合の数は全体では10^9 で ランク2と1の比較では約1/10^3 千分の1
行列の成分に0〜99の2桁を入れると 場合の数は全体では10^18 で ランク2と1の比較では約1/10^6 百万分の1
類推で分るだろうが 成分に任意実数r∈R で 次元が3落ちるのはとてつもない大差で

”むしろ det(A) = 0 のとき、ほとんどの場合 adj(A) = O になる">>478
は AIの典型的ハルシネーションなりぃ〜！（＾＾