(>>891の続き)
Case1)：nが偶数のとき。このときnに対して或る正の整数 m(n) が存在して n＝2m(n) である
よって、k≧2 に注意すれば、 p_{2m(n)}≧k q_{2m(n)}≧2 から
q_{2m(n)}/p_{2m(n)}≧2/p_{2m(n)} であるから、
γ−2/p_{2m(n)}≧γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＞0
故に、kに対して或る2以上の整数 n(k) が存在して、
q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧n(k) 2≦q_{2m(n)}≦n(k) なる
γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} は
0＜|γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}|＝γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n))^2＜|γ−1/(p_{2m(n)})|
を満たす。γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧n(k) 2≦q_{2m(n)}≦n(k)
は 0＜γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)} を満たすから、γ＜3/5 から q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜3/5 であって、
q_{2m(n)}≧2 であるから、p_{2m(n)}＞(5/3)・q_{2m(n)}≧10/3 から p_{2m(n)}≧4 である
よって、γの第(2m(n))次近似分数 q_{2m(n)}/p_{2m(n)} p_{2m(n)}≧4 2≦q_{2m(n)}≦n(k) は
0＜|γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}|＝γ−q_{2m(n)}/p_{2m(n)}＜1/(p_{2m(n))^2＜|γ−1/(p_{2m(n)})|
を満たす。故に、N＝max(4,n(k)) とおけば、有理数の稠密性により
q/p p≧N 2≦q≦n(k) なる無限個の既約有理数 q/p は
0＜|γ−q/p|＝γ−q/p＜1/p^2＜|γ−1/p| を満たす