Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 88

前スレ：Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 87
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1771501702/
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1772321909/
詳しいテンプレは、下記旧スレへのリンク先ご参照
Inter-universal geometry と ABC予想 (応援スレ) 52
://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1613784152/1-13

（2030 ICM 日本開催に向け 力をためようということか）
https://www.mathunion.org/icm/icm-2026
ICM 2026
https://www.icm2026.org/event/ac193975-5d24-4628-8c30-ddb23de19a8b/catalog
Titles & Abstracts

https://ahgt.math.cnrs.fr/news/index.html
News of the AHGT project [Special year]2027-2028
Special year ``Arithmetic Homotopy Geometry'' at RIMS Kyoto, April 2027-March 2028.
Three Seasons: with main conferences, introductory lectures, and workshops

＜2026年は 数学でもAIの時代になるかもです。そういう兆候が2025年から顕著になっていますですｗ （＾＾； ＞
＜IUT最新文書＞
・News – Ivan Fesenko https://ivanfesenko.org/?page_id=80
・望月新一＠数理研 https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論 ＜新展開＞ 2025年5月、中国の若手数学者の周忠鵬はフェルマーの最終定理の一般化がIUT理論から得られると発表した
・日仏遠アーベル共同研究 Arithmetic & Homotopic Galois Theory IRN https://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
＜Grokipedia＞
Inter-universal Teichmüller theory https://grokipedia.com/page/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
遠アーベル幾何学 https://grokipedia.com/page/Anabelian_geometry
アーベル圏 abelian category Grokipedia https://grokipedia.com/page/Abelian_category

https://zen.ac.jp/lp/icp
IUT Challenger Prizeの紹介 2023年7月
審査の対象とする論文については、MathSciNetに載っていて、かつ、過去10年間に数論幾何の論文が10本以上掲載されている数学の専門誌に査読の上でアクセプトまたは掲載されたもの

://ahgt.math.cnrs.fr/activities/
Anabelian Geometry and Representations of Fundamental Groups. Oberwolfach workshop MFO-RIMS Sep. 29-Oct. 4, 2024
Org.: A. Cadoret, F. Pop, J. Stix, A.. Topaz （J. Stix IUT支持側へ）

://collas.perso.math.cnrs.fr/documents/Collas-Anabelian%20Arithmetic%20Geometry-IUT.pdf
“ANABELIAN ARITHMETIC GEOMETRY - A NEW GEOMETRY OF FORMS AND NUMBERS: Inter-universal Teichmüller theory or “beyond Grothendieck’s vision” Benjamin Collas Version 11/15/2023”

このスレの番号は前スレ43を継いでNo.44からの連番としています
（なお、このスレは本体IUTスレの43からの分裂スレですが、分裂したNo43スレの中では このスレ立ては最初だったのです！）
(余談)
Langlands program Geometric conjectures https://en.wikipedia.org/wiki/Langlands_program
つづく

(>>808の続き)
γは無理数と仮定していることに注意すれば、
γは一意に正則無限連分数展開されるから、
γの偶数次の近似分数は無限個存在することに着目して、
任意に n≧k なる整数nを取って、q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧k q_{2n}≧2 なる
既約有理数 q_{2n}/p_{2n} をγの第(2n)次近似分数とする
k≧2 であるから、 p_{2n}≧k q_{2n}≧2 から
q_{2n}/p_{2n}≧2/p_{2n} であって、
γ−2/p_{2n}≧γ−q_{2n}/p_{2n}＞0 である
故に、kに対して或る2以上の整数 n(k) が存在して、
q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧n(k) 2≦q_{2n}≦n(k) なる
γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} は
0＜|γ−q_{2n}/p_{2n}|＝γ−q_{2n}/p_{2n}＜1/(p_{2n)^2＜|γ−1/(p_{2n})|
を満たす。γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧n(k) 2≦q_{2n}≦n(k)
は 0＜γ−q_{2n}/p_{2n} を満たすから、γ＜3/5 から q_{2n}/p_{2n}＜3/5 であって、
q_{2n}≧2 であるから、p_{2n}＞(5/3)・q_{2n}≧10/3 から p_{2n}≧4 である
よって、γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧4 2≦q_{2n}≦n(k) は
0＜|γ−q_{2n}/p_{2n}|＝γ−q_{2n}/p_{2n}＜1/(p_{2n)^2＜|γ−1/(p_{2n})|
を満たす。γの第(2n)次近似分数 q_{2n}/p_{2n} p_{2n}≧4 2≦q_{2n}≦n(k)
の分母 p_{2n} と分子 q_{2n} は n(k)/p_{2n}≧q_{2n}/p_{2n}≧2/p_{2n} を満たすから、
γ＞q_{2n}/p_{2n}−1/(p_{2n})^2＞1/(p_{2n})^2 である
γの (q_{2n}/p_{2n})-近傍 U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) を考えれば
q_{2n}/p_{2n}−1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ)、
1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) である

(>>809の続き)
n≧k なる整数nは任意に取っていたから、
偶数 2n に対して或る N(2n)＞2n＞k なる整数 N(2n) が存在して、
L≧N(2n) なる整数Lを任意に取って、γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L}
について q_{2n}/p_{2n} と同様な議論を繰り返せば、
N(2n) に対して或る2以上の整数 L(N(2n)) が存在して、
γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} の分母 p_{2L} と分子 q_{2L} は
各々 p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) を満たし、
γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) は
0＜|γ−q_{2L}/p_{2L}|＝γ−q_{2L}/p_{2L}＜1/(p_{2L)^2＜|γ−1/(p_{2L})|
を満たし、γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) について、
γの第(2n)次分数 q_{2n}/p_{2n} n(k)/p_{2n}≧q_{2n}/p_{2n}≧2/p_{2n} と同様な議論を繰り返せば、
γ＞q_{2L}/p_{2L}−1/(p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2 であって、
γの (q_{2L}/p_{2L})-近傍 U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) を考えれば
q_{2L}/p_{2L}−1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ)、
1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) であるから、
U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ)⊃U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) から
p_{2L}＞p_{2n}、q_{2L}＞q_{2n}、q_{2L}/p_{2L}＞q_{2n}/p_{2n} なることに注意すれば、
γ＞q_{2L}/p_{2L}＞q_{2n}/p_{2n}＞1/(p_{2n})^2＞1/(p_{2L})^2 である。
よって、任意の L≧N(2n) なる整数Lに対して、
γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) は
γ＞q_{2L}/p_{2L}−(q_{2n}−1)/(p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2
を満たすことに注意すれば、γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 を得る
しかし、0＜γ−q_{2L}/p_{2L}＜1/(p_{2L)^2 であるから、
γ＜q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L)^2 である
γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 と γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 とが
両立することは相反し矛盾する。この矛盾は、γを有理数と仮定したことから生じたから、
背理法が適用出来て、背理法を適用すればγは有理数である

>>807
{0}に含まれるAn,bをあげることができないんですね？
それが分かっていて自分の間違いを認められないようです
fの定義に距離は関係ありません
単に点集合の対応で定義するだけです
>A_{1,0} におけるfを分数の形で f(x)＝x/3 とか f(x)＝x/2
>で定義したら問題文に反する
そのfはZ上の写像になりませんよ

>>810の最後は
>この矛盾は、γを「無」理数と仮定したことから生じたから、
>背理法が適用出来て、背理法を適用すればγは有理数である
に訂正

>>811
距離空間でfを考えること出来ないことは分かった

それにしても、γの偶数次の近似分数 q_{2n}/p_{2n} を考えれば矛盾が導けるが、
奇数次の近似分数 q_{2n-1}/p_{2n-1} を考えると、何故か矛盾は導けない

>>813
いいえ
(Z,O)はあなたが考えているものとは違いますが距離空間ではあります
「あなたの」距離空間でfの連続性を考えることが出来ないだけです

>>815
p進位相は代数というか数論で使う距離だろう
この距離は、幾何専攻や解析専攻の人も解く
院試の共通問題の位相では出ないよ

>>816
距離で考えたいのはあなたであって
あなたの考える方法では出来ないと指摘したまでですが？
この問題はごく普通の位相空間の問題です

>>817
普通の位相の問題であることは分かりましたよ

あ、γの奇数次の近似分数 q_{2n-1}/p_{2n-1} を考えても矛盾は導けるようになっている

>>809
>γは一意に正則無限連分数展開されるから、

おっちゃんか スレ主です
お元気そうで何よりです。

”無理数は一意に正則無限連分数展開される”か
勉強熱心だね （＾＾；
検索したら、下記ヒット。平田典子は 有名ですね

”2 連分数の一般論”がある
”4 Riemann zeta 関数の値の連分数展開”
P8
”4.3 ζ(5)に対する試み
ζ(5) は無理数そして超越数であろうと予想されているが，Ap´eryらの証明を拡張する試みは40年間を超えて続けられ，全て失敗している．”
ζ(5) ね 勉強になる （＾＾

(参考)
https://libir.josai.ac.jp/il/user_contents/02/G0000284repository/pdf/JOS-sugakukyoiku-03-000.pdf
2021 年城西大学数学科数学教育紀要 第３巻城西大学数学教室
2021年3月2日に第3回数学教育セミナー「TEXによる教材作成」が開催されました．セミナーで発表された内容や数学教育に関わる工夫，関連する成果,などを中心に投稿された論文を，査察を経て第3巻としてまとめました．
https://libir.josai.ac.jp/il/user_contents/02/G0000284repository/pdf/JOS-sugakukyoiku-03-001.pdf
城西大学数学科数学教育紀要第3巻
Visualapproximationofcontinuedfractions
杉本和希・西林大樹(日本大学大学院理工学研究科）川島誠・鈴木潔光・利根川聡・鷲尾夕紀子・平田典子（日本大学）

1 はじめに
本稿では，有理数を用いて無理数を近似する最良の方法と言われる連分数展開について，GeoGebraによる援用を活用し，無理数のディオファントス近似及び関連する数論的性質を考究する．リーマンゼータ関数の5以上の正奇数での値，例えばζ(5)の無理数性や超越性（いずれも未解決，[18]参照）に関する観察を目的としたGeoGebra及びMathematicaによる動的教材についても報告する．なお連分数の言葉で表される，実数の超越性判定条件に関する研究は，近年著しい進展を見せた[1][2][4][7][15]．これらの判定条件に照らすことのできるICT教材構築が今後の目標である．
略
5 近似分数のMathematicaによる視覚化
ζ(s) においてs≥3を満たす正奇数における値は，全て無理数そして超越数であろうと予想されている．現在証明済の事実はζ(3) /∈Qのみである（[18]参照）．未解決予想であるζ(5) /∈ Qも含めて，連分数展開の近似分数及び実際値との比較をMathematicaで視覚化する実験について以下に報告する．
略

>>809の一番下の
>γの (q_{2n}/p_{2n})-近傍 U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) を考えれば
>q_{2n}/p_{2n}−1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ)、
>1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) である
は
>γの (q_{2n}/p_{2n})-近傍 U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) を考えれば
>γ−(q_{2n}/p_{2n})∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ)、
>γ−(q_{2n}/p_{2n}−1/(p_{2n})^2)∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ)、
>γ−1/(p_{2n})^2∈U_{q_{2n}/p_{2n}}(γ) である
に訂正

>>810の途中の
>γの (q_{2L}/p_{2L})-近傍 U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) を考えれば
>q_{2L}/p_{2L}−1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ)、
>1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) であるから、
は
>γの (q_{2L}/p_{2L})-近傍 U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) を考えれば
>γ−(q_{2L}/p_{2L}−1/(p_{2L})^2)∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ)、
>γ−1/(p_{2L})^2∈U_{q_{2L}/p_{2L}}(γ) であるから、
に訂正

>>793-800
ID:07lcDnL2さん （ニコ） (^^)君ありがとう スレ主です

(再録>>779)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/inexam/M2023.pdf
千葉大院 R40804 240分
問A3
(3) Rの開区間(-∞,s) (s∈R)をUsとおき,U={0,R}∪{Us|s∈R}とすると(R,U)は位相空間となる。
f(x)=⌊x⌋=x以下の最大の整数
g(x)=⌈x⌉=x以上の最小の整数
とおくとき, f,gは位相空間(R,U)からそれ自身への写像として連続か。理由をつけて答えよ

<ヘタレで AIさん下記>
(google検索)
実数Rの開区間(-∞,s) (s∈R)をUsとおき,U={∅,R}∪{Us|s∈R}とすると(R,U)は位相空間となる。
床関数 f(x)=⌊x⌋=x以下の最大の整数
天井関数 g(x)=⌈x⌉=x以上の最小の整数
とおくとき, 関数fとgは位相空間(R,U)からそれ自身への写像として連続か。理由をつけて答えよ
AI による概要
位相空間(R,U) において、床関数 f は連続であり、天井関数 g は連続ではありません
以下にその理由を段階を追って説明します
1. 連続性の定義を確認する
写像 h:(R,U)→(R,U) が連続であるためには、任意の開集合 V∈U に対して
その逆像 h^-1(V) が U の元（開集合）である必要があります
今回の位相 U の開集合は Φ,R および Us＝ (-∞,s) (s∈R) です
したがって、任意の s に対して h^-1(Us)∈U が成り立つかを調べれば十分です
2. 床関数 f(x)=⌊x⌋ の連続性を判定する
任意の s∈R に対し、逆像 f^-1(Us)={x∈R |⌊x⌋<s } を考えます
・⌊x⌋<s という条件は、⌊x⌋ が整数であることを考慮すると、「⌊x⌋ が s 未満の最大の整数以下である」ことと同値です
・nを n<s を満たす最大の整数とすると、⌊x⌋<s ←→ ⌊x⌋ <= n です
・床関数の定義より、⌊x⌋<= n ←→ x <= n+1 が成り立ちます
・したがって、f^-1(Us)=(-∞,n+1)=Un+1 となります
Un+1は Uの定義に含まれる開集合であるため、f は連続です
3. 天井関数 g(x)=⌈x⌉ の連続性を判定する
特定の sについて逆像 g^-1(Us)={x∈R |⌈x⌉<s } を考えます
例として s=1 の場合を計算します
・g^-1(U1)={x∈R |⌈x⌉ < 1 } です
・⌈x⌉ は整数なので、⌈x⌉ < 1 ←→ ⌈x⌉ <= 0 となります
・天井関数の定義より、⌈x⌉ <= 0 ←→ ⌈x⌉ <= 0 です
・よって、g^-1(U1)=(-∞,0] となります
集合 (-∞,0] は、形式 (-∞,s) で表される開集合（端点を含まない）ではなく
Φ でも R でもありません。したがって、(-∞,0] not∈U です
開集合の逆像が開集合にならない例が存在するため、g は連続ではありません

Answer
床関数 f(x)=⌊x⌋ は連続であり、天井関数 g(x)=⌈x⌉ は連続ではありません
理由は、任意の開集合 (-∞,s) に対して
床関数の逆像 f^-1(Us) は常に開区間 (-∞,n+1) の形になり U に属しますが
天井関数の逆像 g^-1(Us) は右側に閉じた区間 (-∞,0] の形になる場合があり、これは U に属さないためです
以上
つづく

つづき

(参考)
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/ToshizumiFukui.html
福井敏純 名誉教授 埼玉大 数学科
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/
講義ノートなど
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/Fukui/lectures/Set_Topsp.pdf
集合と位相空間入門（2008年）の講義ノート
集合と位相空間入門 福井敏純
(引用終り)
以上

>>822
(引用開始)
<ヘタレで AIさん下記>
(google検索)
実数Rの開区間(-∞,s) (s∈R)をUsとおき,U={∅,R}∪{Us|s∈R}とすると(R,U)は位相空間となる。
床関数 f(x)=⌊x⌋=x以下の最大の整数
天井関数 g(x)=⌈x⌉=x以上の最小の整数
とおくとき, 関数fとgは位相空間(R,U)からそれ自身への写像として連続か。理由をつけて答えよ
AI による概要
位相空間(R,U) において、床関数 f は連続であり、天井関数 g は連続ではありません
以下にその理由を段階を追って説明します
略
(引用終り)

”AI による概要”は、ざっと見ると 合っているようですね
いまどきのAIは、エライ！

余談ながら 床関数 天井関数 は、念のために付記した
あと、リターンキーを 5回以上繰り返した（回答が安定しないため。安定した解答を転記）
式の記号が テキストコピーに載らないので 手打ちした （＾＾

でも、恐るべしです　（＾＾；

>>822
細かいところまでは見ていませんが、私と方針は一緒ですね。
確かにいまどきのAIは偉いかもしれません。

γの話は難しいですね。
ちなみに私は、２次元リー代数の分類あたりで止まっていますね。

>>820
>ζ(s) においてs≥3を満たす正奇数における値は，全て無理数そして超越数であろうと予想されている
ζ(s) において s≧2 を満たす正偶数における値は，
すべてπを用いて表される超越数であって、
任意の正整数kに対して ζ(2k)＞ζ(2k＋1)＞ζ(2(k＋1)) であるから、
その ζ(s) において s≧3 を満たす正奇数における値の
少なくとも無理性に関する予想は正しいのだろう
まあ、sが3以上の奇数のときの ζ(s) をフーリエ解析や複素解析
による手法で具体的な数で表すということは出来てはいないけどな

>>810の下の方の
>よって、任意の L≧N(2n) なる整数Lに対して、
>γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) は
>γ＞q_{2L}/p_{2L}−(q_{2n}−1)/(p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2
>を満たすことに注意すれば、γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 を得る
は
>よって、任意の L≧N(2n) なる整数Lに対して、
>γの第(2L)次近似分数 q_{2L}/p_{2L} p_{2L}≧4、2≦q_{2L}≦L(N(2n)) は
>γ＞q_{2L}/p_{2L}＞q_{2L}/p_{2L}−(q_{2n}−1)/(p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2、
>γ＞q_{2L}/p_{2L}＞(q_{2L}/p_{2L})^2＞1/(p_{2L})^2
>を両方共に満たすことに注意すれば、γ＞q_{2L}/p_{2L}＋1/(p_{2L})^2 を得る
に訂正

>>825
>細かいところまでは見ていませんが、私と方針は一緒ですね。
>確かにいまどきのAIは偉いかもしれません。

（ニコ） (^^)君 ありがとう
スレ主です
いま見ると、細かいところでアラが目立つ気がする

ところで、”藤井聡太王将が逆転防衛で5連覇”だってよ
やれやれのやれだ

増田八段との5番勝負も 最終局
最終は振り駒だからね やれやれのやれだ

(参考)
https://www.asahi.com/articles/ASV3V251JV3VUCVL00QM.html
藤井聡太王将が逆転防衛で5連覇　永瀬拓矢九段に1勝3敗から3連勝
2026年3月26日 佐藤圭司 朝日新聞

　藤井王将と永瀬九段は練習パートナーの間柄で、両者のタイトル戦での対決は7度目。過去6度は藤井王将が制していた。永瀬九段は今回、藤井王将を初めてカド番に追い込んだが、あと1勝が遠かった。藤井王将相手にタイトル戦の番勝負での初制覇は、今回は成らなかった。

　藤井棋王に増田康宏八段（28）が挑戦している第51期棋王戦五番勝負（共同通信社主催）でも、藤井棋王は増田八段に1勝2敗とカド番に追い込まれたが、第4局で勝ち、両者2勝2敗のタイに。第5局は3月29日、鳥取市で。

王将戦は私も少し気にしていましたけどね。

リー代数の方は準同型あたりが終われば、A～D型の話にいけるかもしれないですね。
何がA型なのかとか、全然まだ知らないですが…。

>>830
>リー代数の方は準同型あたりが終われば、A〜D型の話にいけるかもしれないですね。
>何がA型なのかとか、全然まだ知らないですが…。

（ニコ） (^^)君か
リー代数 がんばってね 面白いよ
超弦(Superstring theory)かじると出てくる
それが Kac–Moody algebrasで Lie algebrasの一種
当時、物理が必要とする数学を 数学者が先に用意していた例と言われた
（量子力学や相対性理論同様だと かじったが 私には門前の小僧のお経だった）
なお、有名なミラー対称性は超弦関連です
（崎田 文二さん、名古屋大物理の坂田先生の修士だそうです）

https://en.wikipedia.org/wiki/Superstring_theory
Superstring theory
History
In 1971, J. L. Gervais and B. Sakita worked on the two-dimensional case in which they use the concept of "supergauge," a mathematical transformation between bosons and fermions.[3]
(Bunji Sakita (崎田 文二, Sakita Bunji; 1930 – August 31, 2002) was a Japanese-American theoretical physicist who made important contributions in quantum field theory, superstring theory and discovered supersymmetry in 1971. He was a distinguished professor of physics at the City College of New York.[1] He then worked with Sakata's group in Nagoya University, obtaining his master's degree in 1956 https://en.wikipedia.org/wiki/Bunji_Sakita)

Kac–Moody algebras
Since strings can have an infinite number of modes, the symmetry used to describe string theory is based on infinite dimensional Lie algebras. Some Kac–Moody algebras that have been considered as symmetries for M-theory have been E10 and E11 and their supersymmetric extensions.

https://en.wikipedia.org/wiki/Kac%E2%80%93Moody_algebra
History of Kac–Moody algebras
The initial construction by Élie Cartan and Wilhelm Killing of finite dimensional simple Lie algebras from the Cartan integers was type dependent. In 1966 Jean-Pierre Serre showed that relations of Claude Chevalley and Harish-Chandra,[3] with simplifications by Nathan Jacobson,[4] give a defining presentation for the Lie algebra.[5] One could thus describe a simple Lie algebra in terms of generators and relations using data from the matrix of Cartan integers, which is naturally positive definite.

"Almost simultaneously in 1967, Victor Kac in the USSR and Robert Moody in Canada developed what was to become Kac–Moody algebra. Kac and Moody noticed that if Wilhelm Killing's conditions were relaxed, it was still possible to associate to the Cartan matrix a Lie algebra which, necessarily, would be infinite dimensional." – A. J. Coleman[6]

In his 1967 thesis, Robert Moody considered Lie algebras whose Cartan matrix is no longer positive definite.[7][8]

リー代数は結構調べましたが、カッツ・ムーディ代数には出会いませんでしたね。
とりあえずは、分類定理に関係するタイプのやつを見ていきますね。

小僧構文

＞〇〇面白いよ
＞□□かじると出てくる
＞それが ◎◎で 〇〇 の一種
＞当時、◇◇が必要とする数学を
＞数学者が先に用意していた例と言われた
＞（▽▽や△△同様だと かじったが
＞私には門前の小僧のお経だった）
＞なお、有名な☆☆は□□関連です

わかりもせんお経を面白いと言い張る小僧
承認欲求だけ肥大した哀れな人

>>832
＞リー代数は結構調べましたが、
＞カッツ・ムーディ代数には出会いませんでしたね。

カッツ・ムーディ代数は無限次元だから
有限次元のリー代数では現れない

ＡＢＣＤＥＦＧといえばコクセター群ですか

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%82%AF%E3%82%BB%E3%82%BF%E3%83%BC%E7%BE%A4

すべての（有限）コクセター群がワイル群になるわけではないが
ワイル群はコクセター群である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%BE%A4

>>835
いまA型を調べ始めましたが、とりあえずトレースが0だという情報くらいしか分かっていません。
あとはA～D以外に、G_2,F_4,E_6,E_7,E_8の5つの例外に分けられるらしいです。

幾何的な要素が絡んでいて面白そうと思いましたが、ルート系？というおそらくベクトルのような話が謎のままです。

ちなみにカルタンは、親子で数学者みたいですね。すごい家系です。

>>836
（ニコ） (^^)君
ご苦労さまです

余談ですが、ヤング図というのがありまして（下記）
前20世紀に 弦理論の研究をしている物理学者が 図書館に（まだインターネットの普及前）調べに行って
ヤング図とかリー代数を見つけて、「これ 使える。数学者が用意してくれていたんだ！」と思ったそうな
細かい話は忘れたが 実話です
2026年の今 リー代数は”物理数学III”（u-tokyo 物理の科目）です （＾＾

(google検索)
ヤング図とリー代数 A,B,C,D,Eとの関係について説明して
AI による概要
ヤング図形（Young diagram）とリー代数（特にA, B, C, D型、およびE型などの例外型）の関係は、リー代数の有限次元既約表現を分類し、その表現空間の構造を視覚的に理解するための非常に強力なツールです。
以下に、その関係性の基本、および各タイプごとの特徴を解説します。
1. ヤング図形とリー代数の表現論の基本関係
・ヤング図形と既約表現の対応: 有限次元既約表現は、highest weight（最高ウェイト）によって一意に決まります。この最高ウェイトをヤング図形（箱の並び）の各行の長さとして対応させることができます。
・基本表現の組み合わせ: 表現は基本表現（基本ウェイト）のテンソル積から構成されますが、ヤング図形はテンソル積の分解（ヤング図形の対称化・反対称化）を視覚的に示します。
2. リー代数の型とヤング図形の対応
略
3. まとめ：関係の要点
1)表現の同定: ヤング図形（分割） ＝ 有限次元既約表現。
2)テンソル積の計算: ヤング図形のルール（Littlewood-Richardson則） ＝ 表現の直和分解。
3)A型: 図形が自由に使える（箱の数と表現の対称性が直接対応）。
4)B, C, D型: 図形の行数や形状に制限がかかり、等価な表現や消える表現が出てくる。
5)例外型 (E): 複雑だが、根底にヤング図形の対称性の理論がある。

このように、ヤング図形はリー代数における表現のテンソル積や物理的な対称性（スピンやクォークのフレーバー対称性など）を考える上で不可欠な道具です。

http://cat.phys.s.u-tokyo.ac.jp/lecture/MP3_14/mp3_note.pdf
物理数学III講義ノート
上田研究室
2015/01/27 — 後に示す構造定数の対称性から、リー代数 A,B,C とキリング形式の間に. 次の関係式が成立することが分かる。 (A,[B,C]) = (B,[C, A]) = (C,[A, B]) = ...
193 ページ

http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~hideo.kodama/monographs/LieGroup_v20210406.pdf
Lie群とLie代数 目 次
京都大学
2021/04/06 — ... Lie 群・Lie 代数関係の表と図. 302. 6. Page 7. 目次へ. 1 基本事項. 1.1 位相群. 1.1.1 基本性質. 【定理 1.1 (Schreier の定理)】 G を連結位相群，Ue ...
317 ページ

殺虫剤がわりに 点トポ（ゼネトポ）院試に戻るつもりだが
そのまえに 貼っておきますね（これが1995年だから30年前）

(参考)
https://www.iwanami.co.jp/book/b615149.html
「理工系の基礎数学」シリーズ 岩波 新装版 2022年
群と表現 吉川圭二 著

https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0299210.pdf
試し読み 1995年12月
理工系数学の学び方 吉川圭二他

数学のみならず，すべての学問を学ぶ際に重要なのは，その分野に対する「興
味」である．数学が苦手だという学生諸君が多いのは，学問としての数学の難
しさもあろうが，むしろ自分自身の興味の対象が数学とどのように関連するか
が見出せないからと思われる．また，「目的」が気になる学生諸君も多い．そ
のような人たちに対しては，理工学における発見と数学の間には，単に役立つ
という以上のものがあることを強調しておきたい．このことを諸君は将来，身
をもって知るであろう．「結局は経験から独立した思考の産物である数学が，
どうしてこんなに見事に事物に適合するのであろうか」とは，物理学者アイン
シュタインが自分の研究生活をふりかえって記した言葉である．
　一方、数学はおもしろいのだがよく分からないという声もしばしば耳にする
まず大切なことは，どこまで「理解」し，どこが分からないかを自覚すること
である．すべてが分かっている人などはいないのであるから，安心して勉強を
してほしい．理解する速さは人により，また課題により大きく異なる．大学教
育において求められているのは，理解の速さではなく，理解の深さにある．決
められた時間内に問題を解くことも重要であるが，一生かかっても自分で何か
を見出すという姿勢をじょじょに身につけていけばよい
理工系数学を勉強する際のキーワードとして，「興味｣，「目的｣，「理解」を
強調した．

　自然科学や工学の多くの分野に数学がいろいろな形で使われるようになった
ことは，近代科学の発展の大きな特色である．この傾向は，社会科学や人文科
学を含めて次世紀にもさらに続いていくであろう．そこでは，かつてのような
純粋数学と応用数学といった区分や，応用数学という名のもとに考えられてい
た狭い特殊な体系は，もはや意味をもたなくなっている．

　そのため，これまで以上に広い範囲の数学が必要となってきているのである．

略
具体的な内容は，最初に有限群から始まって後半に連続群の議論に及ぶ．最
初の5章までで議論する有限群とは，ある図形を有限角度の回転や鏡映などの
操作によってそれ白身に重ねる手続き間の関係を理解するものであり，視覚的
に理解しやすい事柄である．しかし，この有限群における考えかたが後の連続
群の理解の基礎になる．

目次
6 連続群とリー代数

8 単純群リー代数とその表現

コピペで自己顕示欲を満たそうとする自己愛性パーソナリティ障害患者が入り浸るスレはここですか？

ルート系の話なのに、ヤング図形ガーとわけもわからず先走るド素人がいるのは、確かにここです

ついでにいうと、ヤング図とヤング盤の区別もついてないっぽいド素人がいるのも、確かにここです

リー代数に関する用語がまだ殆ど分かっていないので、頻出の用語をしばらく潰していく作業が続くと思います。
何か重要そうな話でもあれば、教えて下さいw

殺虫剤がわりに 点トポ（ゼネトポ）院試を撒きます
下記で 一応テキストを貼ったが、原文pdfままの方が読みやすいよね
（誤字脱字などあれば、ご指摘ください）

（ニコ） (^^)君は、もう解いたんだろうが
しばし お付き合いを （卓越東北大は 全年度分やろう）
なお、以前の問題で解答が不十分なところは 適宜戻ることにしよう

例によって、カンニングしないと 点トポの基礎知識（定義）とかが 記憶できていないので 手も足も出ない
が まあ、ここは試験場ではない
例によって、初日はAIなし 普通の検索程度でやります

余談
O1={(a,∞)}a∈R} ∪ {R,Φ}とか >>822の
千葉大院 R40804 ”Rの開区間(-∞,s) (s∈R)をUsとおき,U={0,R}∪{Us|s∈R}とすると(R,U)は位相空間”と類似だな

　>>711より
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大 過去問
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2023_R5_kyotsu.pdf
2023(令和5)年度
数学共通問題

問２
Rの部分集合族O1を
O1={(a,∞)}a∈R} ∪ {R,Φ} （Φは空集合）
と定める。O1がR上の位相(開集合系）となることば認めてよい．以下の問いに答えよ．
(1)位相空間(R,O1)はハウスドルフか.連結か,それぞれ答えよ 根拠も述べること
(2)O2をR上の通常のユークリッド距離位相とし、Oを(R,O1)と(R,O2)の直積位
　相とする．ただし､R^2=R×Rの第1成分のRの位相が01,第2成分のRの位
　幅がO2として直積位相を考える. A={(x,y)∈R^2 | x-y > 1},
　B={(x,y)∈R^2 | x^2+y~2 <=1 } とおく
　Aは (R^2,O)の開集合であるか、
　また,Bは(R^2,O）の閉集合であるか，それぞれ答えよ、根拠も述べること．
(3)Bは(R^2,O)のコンパクト集合であるか答えよ、根拠も述べること

>>839-841
ご苦労様です
せっかく来たなら >>843の東北大 解いていきなよｗｗｗ　（＾＾

ハウスドルフでなくて連結
(a,∞)×(c,d)が開基だから
開集合で閉では無くコンパクト

>>845
私も完全に一致した。

位相空間論を点トポとかゼネトポとか省略しただけで
分かった気になるド素人がいるスレッドは、確かにここです

>>845-846
ご苦労様です
はやい （＾＾
こっちは、いま問題文を解読中なのに・・

＞基礎知識（定義）とかが 記憶できていない

定義の理解どころか記憶すらしてない万年高校生の素人が
「AI使えばどんな難問もたちどころにとけるぜ」
とイキるスレッドは確かにここです

将棋で言えば駒の動かし方も知らない素人が
知ったかぶりしてドヤるスレッドは確かにここです

駒の動かし方も知らない素人でもソフト指しで勝てる

だとして、そんな勝利、嬉しい？

>>849-851
ごたくはいいから >>843 東北大 2023(令和5)年度 問２ 解いてみろよ
大口は 解いてから 言え！ｗ

ところで、武士の世が 明治維新で終わってしまった
その一つの要因が 武器の技術革新にある

つまり、武士の存在意義は 剣術や武術にあった
技を磨いて 刀を振り回す武士の優位性

だが、鉄砲や拳銃時代には
剣術や武術の修行は役に立たない

よって 明治政府は徴兵令をもって
農民を駆り出して 鉄砲を持たせて 歩兵にした

武士の身分制度は崩壊した
数学も同じじゃね と言っているんだよ

従来は、大学４年間の数学科修行が それなりに生きたが
数学AIが出てきたら 東北大院試程度は AIが解く

そういう時代が
もうそこまで来ているってことだね

その時代において 数学科４年間の修行の意義は なんだ？
そういう時代でも 数学科４年間の修行がいきる人はいるだろうさ おまえは別として （＾＾

AI使っても問題が解けず他人に解かせるものの
何をいってるかチンプンカンプンなので
自分が理解できるまでダメ出しし続ける哀れな素人

院試どころか大学入試が無意味になる
大卒の価値はゼロになる
そういう時代がくる

そんな時代で数学の意義はあるんだろうか？

（＾＾←AIの登場で存在価値が完全になくなった高卒

>>853-854
>AI使っても問題が解けず他人に解かせるものの

ある程度は時代の流れだからね 仕方ないよね
以前に、テレ東で やっていた下記の 知られざるガリバー〜エクセレントカンパニー
建設用クレーンメーカーのタダノ

その番組で、見ていて感心したのが
クレーンの設計で 有限要素法解析のCADで 設計のおっちゃんが 画面見て ”チョイチョイ”
「ここが 応力がちょっと高いから」と赤く表示されている部分を ちょっと手直しすると
赤い表示が消えて 修正されたんだ そういう時代

つまり、昔は応力計算は 偏微分方程式を解いたものだが
いまは、有限要素法を組み込んだCAD画面から 設計のおっちゃんが ちょこっと画面で手直しをして 応力の再計算やれる
有限要素法も、昔は 人が手でメッシュを切ったんだが いまは自動で適切なメッシュを作って 計算してくれる

いろんな分野が 多くそうなりつつある。ここは昔は 人が手でやっていたという部分が コンピュータとかAIがやる時代になった
それが ついに 数学にまで及んできたわけです

でも、エンジニアは そういうのを道具として使えば良いんだよ。もっと、高度な仕事をすれば良いんだよ （＾＾
では、数学は？ きみは、もっと 高度な数学ができるのか？ｗｗｗ

(参考)
https://txbiz.tv-tokyo.co.jp/gulliver/vod/post_269080
東京スカイツリー・国立競技場・東京駅など建設現場で大活躍、建設用クレーン国内シェアトップ　タダノ
23分
2023.03.04 18:00
知られざるガリバー〜エクセレントカンパニーファイル〜

今回のガリバーは、建設用クレーンメーカーのタダノ。これまでさまざまなクレーン車を生産してきました。車輪の数が多く、最大で700トンもの資材を吊り上げられるオールテレーンクレーン。足場の悪い現場でもキャタピラのような足回りで動くクローラクレーン。そして、国内トップシェアを誇るラフテレーンクレーン。コンパクトで高い機動性から狭い現場で重宝されています。実際にリポーターが乗ってみると、そこには利用者から支持される秘密が隠されていました。

製造拠点の中核となる香川県高松市の工場で、クレーン製造の様子を見せていただくことに。工場では操縦席や旋回台、ブームなどの各パーツがそれぞれの場所で同時進行で製造されていました。そのパーツをドッキングさせて出来上がりです。部品点数は1万以上。また、クレーン車が稼働する環境によって、エンジンの冷却水やオイルの種類も異なります。このようにクレーン製造が複雑化する中、部品の取り付け間違いが起こらないように、とある工夫がなされていました。その工夫とは一体？

>>855
>有限要素法を組み込んだCAD画面から
>設計のおっちゃんが ちょこっと画面で手直しをして
>応力の再計算やれる
>有限要素法も、昔は 人が手でメッシュを切ったんだが
>いまは自動で適切なメッシュを作って 計算してくれる
>いろんな分野が 多くそうなりつつある
>ここは昔は 人が手でやっていたという部分が
>コンピュータとかAIがやる時代になった
>それが ついに 数学にまで及んできたわけです
>でも、エンジニアは そういうのを道具として使えば良いんだよ
>もっと、高度な仕事をすれば良いんだよ

ちょこっと画面で手直しが高度な仕事？
それこそコンピュータやAIがやればいいだろ（笑）

きみこそ、なんか仕事できるのか？
なんもできないだろ？

サルはサルらしく腰でも振ってろよ（笑）

ロボットの登場で、熟練の技は必要なくなった
AIの登場で、深い思考も必要なくなる

大学、特に理系は全く意味を失う
AIが知ってればいいのだから
人間が知る必要はなくなる

これが現実
人がAIを使うのは過渡期の現象
AIはいずれ自分で考え出す
そうなったら人は知的な仕事をする必要がなくなる

日本では20年以上前から人口減少や少子化の傾向にあったから、
20年以上前に、日本の大学の数が長期的に減少する傾向にあることは予測出来た

日本に限らず世界的に大学が廃れる予感

>>860

>>有限要素法を組み込んだCAD画面から
>>設計のおっちゃんが ちょこっと画面で手直しをして
>>応力の再計算やれる
> まあ、高等数学を使う高度な理系の能力はいらない
> 工業高校 又は高専で十分

つまり大学の一般教養の数学レベル

>>ロボットの登場で、熟練の技は必要なくなった
>>AIの登場で、深い思考も必要なくなる
> そうはならんだろうね
> つまり、ロボットやAIを 管理監督する人は常に必要だろう
> 人数は減るとしてもね

無理
ロボットの技なんてもう監督できてない
AIも監督できない
進化をなめたまったく非現実的な発言
人間はロボットに負けAIにも負ける
勝負とはそういうもの
自動車や新幹線や飛行機と競争する人間はいない

>>860

>>大学、特に理系は全く意味を失う
>>AIが知ってればいいのだから
>>人間が知る必要はなくなる
>そうかな？
>AIの知識は いま＝その時点の知識でしかない
>未来の知識は 当然しらない。勿論 人も知らないのだが、
>人は自分の知識を更新できるし 普通は 更新するよ
AIも自分の知識を更新してるもうそうしてるので
その時点でも人はもうAIに負けてる（笑）

>ちょっと 話がそれるが
>（くだらん与太話なので全部割愛）
>いつまで経っても、ＡＩには こういうリスクは つきまとう
人間でも同じことは散々あったので
その時点でも人はもうAIに負けてる（笑）

>そもそも、数百年、数千年、数万年・・ 単位で見たときには
>人類生存の課題は 全く違ったものになる
>未来は、過去の延長ではない！
>数百年単位ならば、地球環境を破壊しないよう 人が暮らせる地球が必要だ
>数万年単位ならば、太陽が赤色巨星になるから 地球の軌道を 外に逃がさないといけない
>その先には？ 太陽が燃え尽きるから 太陽系を脱出して 別の恒星系へ移住だね
>そういう大きな課題と解決策は、人が関与しないとダメでしょ？ｗ

太陽が赤色巨星になるのは数万年後？
君は数学だけじゃなく天文学も無知なんだな

まあ、君のようなアサハカな人は
もう数を数えるのも
明日のことを心配するのもやめて
ピダハンのように今を生きたほうがいい
人生の幸福とは時間の長さじゃない

そもそも、ロボットやAIが労働する時代に
企業や大学の生き残りに奮闘するとか馬鹿

利口なら、企業や大学のない世界を考えな

できない君は失格
でもそれが正常

無駄なこと考えるのやめて、ピダハンになりな

結論
数学が滅んでも自分が滅びなければOK

>>861-864
>ロボットの技なんてもう監督できてない
>AIも監督できない

意味分らん
”技”を見るのでは無く
”結果”を見ればいい

>AIも自分の知識を更新してるもうそうしてるので
>その時点でも人はもうAIに負けてる（笑）

それ あなた個人の感想でしょ by ひろゆき
おれは >>822 のgoogle ＡＩによる 千葉大R4年問題の解答には不満だ
君には 赤ペン先生はムリみたいだが・・ｗ

>人間でも同じことは散々あったので
>その時点でも人はもうAIに負けてる（笑）

産業革命とか 兵器が剣から飛び道具（銃）に変ったときの武士とか
それに適応できる人、適応できない人が出る
君は、適応できない人なんだろうねｗ

>太陽が赤色巨星になるのは数万年後？

太陽が赤色巨星になるまで待つのはダメだよ
そのまえに、海が干上がるから
早めに手を打たないとね
数万年後には、太陽の数理モデルを作って
地球も入れた数理モデル作って
考え出さないとね
まあ、この話 幼稚園児にはむつかしいだろうが

>利口なら、企業や大学のない世界を考えな

出ました
さすが アナーキストサイコパスだね>>34
アナーキスト＝政府いらない 論

>数学が滅んでも自分が滅びなければOK

人類が滅びなければ
数学も滅びないだろうさ （＾＾

かなりスローペースで、リー群の勉強が進んでいる。
エンゲルの定理というものがあるみたいだが、リー代数のべき零という概念が関係しているらしい。
群のべき零みたいな話だと困ると思ったが、線形代数のべき零行列みたいな話っぽいので少し安心。

リー代数の勉強ですね。

>>866
（ニコ） (^^)君か
ご苦労さまです

>エンゲルの定理というものがあるみたいだが、リー代数のべき零という概念が関係しているらしい。

さすがだね もう私のレベルを超えたかな
”エンゲルの定理”？ 知らんな （＾＾；

>群のべき零みたいな話だと困ると思ったが、線形代数のべき零行列みたいな話っぽいので少し安心。

直感的には、全部繋がっているのでは？
つまり、ニワトリ＆タマゴ で 何が最初か知らないが
例えば 群のべき零→線形代数のべき零→リー群 みたいなこと


https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%B6%E7%BE%A4
冪零群
冪零群（べきれいぐん、英: nilpotent group）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解（英語版）でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフ（英語版）の業績に帰せられる[1]。
冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。
冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。
例
既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である[2][4]。
小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル p-群である四元数群 Q8 を挙げることができる。その中心は位数 2 の {1, −1} であり、昇中心列 {1}, {1, −1}, Q8 が得られるから、これは冪零度 2 の例ということになる。
実は任意の有限 p-群が冪零である。位数 pn の p-群に対し、最大の冪零度は n - 1 である。冪零度最大の 2-群は、四元数群、二面体群あるいは半二面体群（英語版）の一般化と考えられる。

用語の説明
（既にみたように冪零度 n の）随伴作用素 adg 全体の成す群は n-次エンゲル群（英語版）[注釈 2]と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（1-次エンゲル群）になっている。

注釈
2^ この呼び名に関して、冪零リー環の表現に関するエンゲルの定理を想起せよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
エンゲルの定理

私の持っている本では、べき零群はシローの定理の後に出ていて、結構難しい話だと思います。
p群がべき零という事実は有名かもしれませんが…。

>>868
>例えば 群のべき零→線形代数のべき零→リー群 みたいなこと

リー群が最初かも
フェイト・トンプソンの定理で 冪零群が出てきたことを思い出したよ
鈴木通夫先生の先駆的な論文 ”リー型単純群の族を発見した”とありますね
そういえば、鈴木通夫先生の”群論”岩波を読んだけど・・ｗ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%97%E3%82%BD%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
フェイト・トンプソンの定理（奇数位数定理とも呼ばれる）は、奇数位数の有限群はすべて可解群であることを述べている。この定理は1960年代初頭にウォルター・フェイトとジョン・グリッグス・トンプソンによって証明された
歴史
20世紀初頭、ウィリアム・バーンサイドは、すべての非可換有限単純群は偶数位数を持つと予想した[3]。リチャード・ブラウアー（英語版）は、ブラウアー・ファウラーの定理が、与えられた対合の中心化群を持つ有限単純群は有限個しか存在しないことを示していることから、単純群の対合の中心化群を有限単純群の分類の基礎として用いることを提案した[4]。奇数位数の群には対合がないので、ブラウアーのプログラムを実行するには、まず非巡回有限単純群が奇数位数を持たないことを示す必要がある。これは、奇数位数群が可解であることを示すことと等価であり、フェイトとトンプソンが証明した通りである

バーンサイド予想への取り組みは、CA群（英語版）を研究していた鈴木通夫によって開始された。CA群とは、すべての非自明元の中心化群がアーベル群となる群である。彼は先駆的な論文で、奇数位数のCA群はすべて可解であることを示した[5]。（彼は後に、すべての単純CA群、そしてより一般に、任意の対合の中心化群が正規2-シロー部分群を持つようなすべての単純群を分類し、その過程で、見落とされていたリー型単純群の族を発見した。これらは現在では鈴木群（英語版）と呼ばれている）

フェイト、トンプソン、マーシャル・ホールは、鈴木の研究をCN群（英語版）の族へと拡張した。CN群とは、すべての非自明元の中心化群が冪零となる群である。彼らは、奇数位数のCN群はすべて可解であることを示した。彼らの証明は鈴木の証明と類似している[6]

証明の概略
ステップ1. 群 G の構造の局所解析
各極大部分群 M には、M に含まれる正規化群を持つ特定の冪零ホール部分群 Mσ が存在し、その位数は特定の素数で割り切れる。
I型の部分群は「フロベニウス型」であり、これはフロベニウス群の若干の一般化で、実際、証明の後半でフロベニウス群であることが示される。これらは
MF⋊U という構造を持つ。ここで
MF は最大の正規冪零ホール部分群であり、Uは同じべき指数を持つ部分群
U0 を持ち
MF⋊U0} は核 MFを持つフロベニウス群である。II、III、IV、V型はすべて3ステップ群であり、MF⋊U⋊W1 という構造を持つ

ステップ2. G の指標の理論同様の議論（ただし、可換ホール部分群を冪零ホール部分群に置き換える）はCN定理の証明にも当てはまる

奇数性の使用
・奇数位数の群が階数 3 の基本アーベル部分群を持たない場合、その導来群は冪零である。(これは偶数位数の対称群 S4 では成立しない)

>>868
０を超えるのは簡単　勉強すれば超えられる
逆に言うと、０を維持してるというと聞こえはいいが
要は、全く勉強せずただチラ見して言葉を記憶してるだけ
チラ見と読解の違いは字面の記憶と論理の理解の違い

>>870
＞・・・を思い出したよ
公式の記憶で乗り切れるのは高校卒業まで
定石の記憶で乗り切れるのは素人将棋まで

>>869
>私の持っている本では、べき零群はシローの定理の後に出ていて、結構難しい話だと思います。

（ニコ） (^^)君か
スレ主です
五味 健作先生（東大）が、書いていたが
有限単純群の分類で使われる定理は、ほとんどシローの定理が主であって
あとは 手作りの組合せ論だという
（いま検索したがヒットしなかったので 別のpdfでお茶濁す）
なので、”シローの定理の後”は デフォルトでしょう （＾＾；

数学は、難しいと思えば 難しい
”難しい”と思わないことが大事だろう
”難しい”と思わず、先に進む
先に進んで そして 戻る（岡-大沢の数学極意）
”数学はやればやるほど簡単になるはずであり、組み合わせの数は無限であっても、
行き詰るはずはないのである”

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/31/3/31_3_217/_article/-char/ja/
J-STAGEトップ/数学/31 巻 (1979) 3 号/書誌
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/31/3/31_3_217/_pdf/-char/ja
有限単純群の分類論の近況 五味 健作 数学 (1979)

（>>30）
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~joe/math/symp/index.html
大沢健夫先生集中講義 神本 丈のホームページ2019 九州大学
タイトル: 解析接続の問題に現れる解析と幾何
講義録 https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~joe/math/symp/ohsawa.pdf
数学はやればやるほど簡単になるはずであり、組み合わせの数は無限であっても、
行き詰るはずはないのである。 岡潔　『一葉舟』(角川ソフィア文庫　 2016)

素人の受け売り
＞★先生（●大）が、書いていたが
＞■■で使われる定理は、ほとんど◆◆の定理が主であって
＞あとは 手作りの＊＊論だという

●大の★先生とかいう御仁の言葉はその通りだろうが
素人がオウムのようにその言葉を繰り返しても
その意味するところは全く分かってない
分かるとバカバカしくなって口にしなくなる
再び口にするのはそんなバカバカしいことをいわないと
素人は誰もそのことに気付かないと悟ったときである

素人曰く
＞数学は、
＞難しいと思えば 難しい
＞”難しい”と思わないことが大事だろう
＞”難しい”と思わず、先に進む
＞先に進んで そして 戻る

難しいことを避け続けるのは
坂を上らずに山の頂上に行こうとするのと同じ
そういう怠慢なことをやってるかぎり
行き詰るのは当然なのである

>>872
>＞・・・を思い出したよ
>公式の記憶で乗り切れるのは高校卒業まで
>定石の記憶で乗り切れるのは素人将棋まで

ふっふ、ほっほ
囲碁では、定石 （囲碁は石）
将棋では、定跡 （将棋は石をつかわない）

人生で（仕事でも） あることを知っているか 知らないかで
大きな差がつくことは多い
せめてキーワードだけでも知っていれば
検索できるが
重要キーワードさえ知らないなら
検索のしようもないし、そもそも重要ポイントの見落としになる

トランプが良い例だ
イスラムがどういう宗教か？ 無知ｗ
ジハード：教義に「異教徒との戦い」「防衛戦」が入っている
イスラムとイランに無知な トランプよ
一般の民主主義国とは 全く違うことを知らない トランプさん あわれｗ（＾＾
（日本とか原油が入らず迷惑千万ですが）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%89
ジハード
しかし、『クルアーン』においてはこの言葉が「異教徒との戦い」「防衛戦」を指すことにも使われており、このことから異教徒討伐や非ムスリムとの戦争をあらわす「聖戦」（「外へのジハード」）をも指すようになった
ウンマ（イスラーム共同体）の歴史とジハード
イスラームとならび「世界宗教」と称される仏教・キリスト教と比較した際の、イスラーム教の極だった特徴としては、政教一体の宗教共同体の存在があげられる[8]。この宗教は、単なる個人的・内面的な信仰体系というにとどまらず、むしろひとつの確固たる共同体そのもの、ないし共同体的生活の全体なのであり、また、それを支える固有の法律、政府、社会制度を内的に規定しているのである[8]。そして、預言者としてムスリムを指導したムハンマドは、ユダヤ教やキリスト教の預言者や宗教指導者にもまして、「神の道」にもとづく理想の国ウンマを建設しようという情熱と意欲に満ちあふれていた

数学に限らず学問とは
難しげなことが実は易しい
と示すためのものであって
やっぱり難しいというなら
学問の意味がない

そして実は易しいといえることが尽きれば
その学問は衰退する
鉱物を掘りつくした鉱山が閉じるのと同じ

>>874
分類定理は2004年に完了のアナウンスがされたとありますね。

同じ単語使ってる別ジャンルの話がゴチャ混ぜwww

そうなんです。
リー代数の勉強をしていると、群論で見たことがある用語が結構出てきますね。
内容が予測できる有難さはありますが。

べき零の話はやはり群論に似ていましたかね。
例の方に気を取られていました。

>>880
>リー代数の勉強をしていると、群論で見たことがある用語が結構出てきますね。

そう
その通りだろう
下記の 千葉大 北詰 正顕先生
”有限単純群の分類定理
G を有限単純群とすれば，G は下記のいずれかと同型である。
・素数位数の巡回群(Cyclic group of prime order),
・５次以上の交代群(Alternating Group of degree >= 5),
・Ｌｉｅ型の単純群(Simple group of Lie type),
・26個の散在型単純群(Sporadic Simple Groups).”

これを見れば、
・Ｌｉｅ型の単純群(Simple group of Lie type)
と
・26個の散在型単純群(Sporadic Simple Groups).
が この定理の重要部分であって

素数位数の巡回群や ５次以上の交代群が、有限単純群になることは半自明だし
そして、多分 Ｌｉｅ型の群論が先に発展した（その行列表現も）

鈴木通夫先生の”群論”岩波 によれば、位数が小さいところで
例外が起きる。それが、ほぼ”26個の散在型単純群”だという

なので、リー代数の勉強と有限群論は ほとんど重なっている

(参考)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~kitazume/index.html
北詰 正顕 (Masaaki Kitazume)
現　職： 千葉大学 大学院理学研究科 基盤理学専攻 数学・情報数理学コース 教授
専　門：有限群論とその周辺 (Finite Groups and related Topics)
https://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~kitazume/simple.html
有限単純群(Finite Simple Groups)
有限単純群の分類定理
G を有限単純群とすれば，G は下記のいずれかと同型である。
・素数位数の巡回群(Cyclic group of prime order),
・５次以上の交代群(Alternating Group of degree >= 5),
・Ｌｉｅ型の単純群(Simple group of Lie type),
・26個の散在型単純群(Sporadic Simple Groups).

>>882
有限単純群の分類のwikiを見たら>>836の特殊なものは、古典的・例外的シュヴァレー群と命名されているのかもしれませんね。

sage

次スレ立てた
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1774707956/
Inter-universal geometryとABC予想(シン応援スレ) 89

>>883
>有限単純群の分類のwikiを見たら>>836の特殊なものは、古典的・例外的シュヴァレー群と命名されているのかもしれませんね。

ええ そうですね
なお、命名については 下記の英文も参照しておくのが
良いと思います

https://en.wikipedia.org/wiki/Classification_of_finite_simple_groups
Classification of finite simple groups

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_finite_simple_groups#Groups_of_Lie_type
List of finite simple groups

あぁ、英語ですか。
苦手なんですが、キリング・カルタンの分類の話に行き着いたのは洋書のおかげなので、どうしようもなくなったら英語にも頼っていきますね。

>>876
>人生で（仕事でも）
>あることを知っているか 知らないかで
>大きな差がつくことは多い
>せめてキーワードだけでも知っていれば検索できるが
>重要キーワードさえ知らないなら検索のしようもないし、
>そもそも重要ポイントの見落としになる

キーワードだけ知って検索しても
書いてあることの意味が理解できなければ
重要ポイントを見落としてることになる

代数方程式の解がべき根で表せるかどうか知るのに
その解からなる分解体の自己同型群（ガロア群）が可解群かどうかで判断できるが
なぜガロア群が可解群だと解がべき根であらわせるか理解しなければ
可解な方程式（たとえば円分方程式）の解を具体的にべき根であらわすことはできない

例えばφ(x)=(x^11-1)/(x-1)は10次の方程式で、
さらにその自己相反性を利用して５次の方程式が作れる
実はこれは可解であるから、円の11等分は5乗根を使って表せる
しかし、理屈を理解してないと、具体的に計算できない

AIにやらせる？　そうしてもいいが
それは理解したことにならない
電卓をつかえは四則演算は計算できるが
それは四則演算の計算を理解したことにならない

理解しなくていい？
だったらここで何を書いても意味がない

１は自分が数学板のドナルド・トランプだという自覚がない（笑）

＞次スレ立てた
＞https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1774707956/

別名
「大学１年の微分積分と線形代数から分からん俺様を現代数学の最先端まで連れていくスレ」

>>888-890
>キーワードだけ知って検索しても
>書いてあることの意味が理解できなければ
>重要ポイントを見落としてることになる

前世紀 1980年代のｗ大数学科
「大学の数学は厳密であれ！ 厳密いのち！」と、初日から冷水を頭から浴びせられて”詰んだ男”

思うに>>24の 下記ワンコラさん 前半の”しくじり先生”と同様だったのだろう
僕がたどり着いた数学の勉強の仕方…わんこら式数学の勉強法はこうやって生まれた
2020/05/30
＜文字起こし＞
0:11
この解析入門1
0:14
これで僕は人生が無茶苦茶になりました
0:18
これで
0:19
何回も何回も挫折して
0:22
家に引きこもって
0:24
そして留年しまくって

つづく

つづき

一方、>>25 seoさん 「様々な数学的分野は互いに互いを前提とする必要があるので、縦割りに順番に習得するものではなく、混じり合い行ったり来たりしながら学ぶものです」

さらに >>27 謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
彼は、数学書の読み方で ”1日1頁365日で365頁”では、ダメという
”1日で進めるところまで進んで、チンプンカンプンになったら最初に戻って読む。それを繰り返せ”を勧める
私の数学勉強法もこれに近い。ステップ＆バック法。分らなくても進んで、その後にまた戻る

つづく

つづき

君は、私が ステップ＆バック法で 分らなくても進む行為を批判している
多分、君が数学オチコボレになった原因は それだと気付いていないんだね
”数学は厳密いのち”、”一歩一歩”だと
上記の「ワンコラさん 前半の”しくじり先生”」と同じ道を辿ったんだ
（ｗ大は私学だから、卒業基準が甘く ”おなさけ卒業”だっただけ）
(引用終り)

厳密恐怖症のサルが吠えまくってて草

>>887
>あぁ、英語ですか。
>苦手なんですが、キリング・カルタンの分類の話に行き着いたのは洋書のおかげなので、どうしようもなくなったら英語にも頼っていきますね。

ネット上の英語文献は、しばしば右クリックの翻訳コマンドで 機械翻訳が使える
wikipediaは、それで
機械翻訳が使える
仏語や独語の頁も同じ
日語に戻るときは、再読み込みのコマンドか 右上の縦”・・・”メニューで 下の方の”翻訳”をクリックして戻れる
いまのは googleブラウザだが 他のブラウザでも同様だろう

さて、機械翻訳で 仏→日とかで うまく訳せないところが多いときには
機械翻訳のメニューで 仏→英 とかのスイッチがあって 英訳で意味が取れるときが多い

また pdfなどは、googleブラウザ上では機械翻訳できないが
pdfからテキストをコピーできれば google翻訳の頁に貼付けて 英→日の翻訳可能
いろいろな機械翻訳の技があるよ

>>894
>厳密恐怖症のサルが吠えまくってて草

おれは 中学時代から 厳密思考をむねとしている
君とは 真逆さ。大学学部数学科で ”厳密”の冷や水を思いっきり浴びせられて詰んだ君
あわれだね

だが、現代数学は もう 単純な”厳密”を超えた
典型例が >>882の有限単純群の分類定理
いくつかの部分で、コンピュータの計算で 単純群を構成している

いまや、群論のソフトがある
mathematica にも 部分的には取り入れられていると聞く

コンピュータの計算部分と 人の厳密思考と
両立できると思うし、それを考えるのが良いだろう

望月IUTもそれらしいね
Leanで検証するらしいよ

>>877
ハッシュ関数の逆写像が網羅されちゃうと仮想通貨のマイニングが文字通り終了する。

数学も
或る種のハッシュ関数だと思える。
コルモゴロフチャイティン情報量な

>>891
>「大学の数学は厳密であれ！ 厳密いのち！」
>と、初日から冷水を頭から浴びせられて”詰んだ男”

１のことですね

>>892
>数学書の読み方で ”1日1頁365日で365頁”では、ダメ
>”1日で進めるところまで進んで、
>チンプンカンプンになったら最初に戻って読む。
>それを繰り返せ”
>私の数学勉強法もこれに近い。
>ステップ＆バック法。
>分らなくても進んで、その後にまた戻る

１の数学勉強法はステップ＆バック法と似て非なるチラ読み法
文章だけ流し読みする
定理の証明は分からないので
どうせあってるだろうと読み飛ばし
定理と数式だけ丸暗記する
その際細かい条件は覚えられないので全部捨てる（笑）

>>893
>君は、私が ステップ＆バック法で 分らなくても進む行為を批判している
>多分、君が数学オチコボレになった原因は それだと気付いていないんだね
>”数学は厳密いのち”、”一歩一歩”だと

批判しているのは、数式だけ覚え、それを適用する条件を捨てるチラ読み法
１が、正方行列は皆逆行列を持つ、と思い込んだのは
クラメールの公式だけ覚え、分母が０でないという条件を捨てたから
工学部の人が、数学は使うだけと開き直るのは構わんが
いくらなんでもそこまで粗雑だと、ミソがクソになる

>>896
>>厳密恐怖症のサルが吠えまくってて草
>おれは 中学時代から 厳密思考をむねとしている

でも大学１年の数学ではチンプンカンプン
一般人の厳密思考は所詮その程度
あわれだね

>君とは 真逆さ。

カチンとくるとすく「真逆」という脊髄反射
ヒトになれないおサルはこれだから困る
あわれだね

>現代数学は もう 単純な”厳密”を超えた
>典型例が有限単純群の分類定理
>いくつかの部分で、コンピュータの計算で 単純群を構成している

なぜ、コンピュータに計算させると厳密でなくなるのか？
現代数学はヒトの理解を超えた、というならわかるが
おサルの１は自分がいいたいことすら正確に文章で書けない
あわれだね

>いまや、群論のソフトがある
>mathematica にも 部分的には取り入れられている
>コンピュータの計算部分と 人の厳密思考と
>両立できると思うし、それを考えるのが良いだろう

正則行列の条件すら理解できないどころか
文章すらまともにかけない１には
数式処理もAIも使えない
あわれだね

>IUTもLeanで検証するらしいよ

そもそも形式化できないんじゃないかな
望月新一はZFCから誤解してるっぽいから
形式化のところでいきなり頓挫する
彼は自惚れが強いから他人に誤りを指摘されてる
怒り狂うだけで決して認めないだろう
それじゃ数学者失格　ただの●違い

やれ電卓だ数式処理だAIだと
計算やら思考やらを外部化すると
どんどん考えなくなる

理解しなくても使えればいいという人は
経営者からこういわれるのがおち

「君、何もしなくていいよ。そのかわり、君雇わないから」

ま、世田君は、広島で本家の牡蠣養殖を手伝ったら？

帰れる田舎があってよかったね

>>895
他の板で揉めてて返信が遅くなりましたが、有難うございます。
今は[X,Y]=XY−YXというブラケット積で、上三角行列が可解になるとかいう話まで進みました。

>>900
言いたいことは、それだけ？ じゃ 逝って良し

位相空間論 院試に戻るよ
　>>843より
http://www.math.tohoku.ac.jp/admission/old-exam.html
東北大 過去問
http://www.math.tohoku.ac.jp/exam/questions/2023_R5_kyotsu.pdf
2023(令和5)年度 数学共通問題
問２
Rの部分集合族O1を
O1={(a,∞)}a∈R} ∪ {R,Φ} （Φは空集合）
と定める。O1がR上の位相(開集合系）となることば認めてよい．以下の問いに答えよ．
(1)位相空間(R,O1)はハウスドルフか.連結か,それぞれ答えよ 根拠も述べること
(2)O2をR上の通常のユークリッド距離位相とし、Oを(R,O1)と(R,O2)の直積位
　相とする．ただし､R^2=R×Rの第1成分のRの位相が01,第2成分のRの位
　幅がO2として直積位相を考える. A={(x,y)∈R^2 | x-y > 1},
　B={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2 <=1 } とおく
　Aは (R^2,O)の開集合であるか、
　また,Bは(R^2,O）の閉集合であるか，それぞれ答えよ、根拠も述べること．
(3)Bは(R^2,O)のコンパクト集合であるか答えよ、根拠も述べること

これは、>>845-846 で ID:MgDJuFurさんが解いた のだが
”ハウスドルフでなくて連結
(a,∞)×(c,d)が開基だから
開集合で閉では無くコンパクト”

ようやく(1)が分った
(R,O1)はハウスドルフである
つまり、Rの異なる2点 x,y ∈R x≠y を取る
一般性を失わず x<y とする
あるb (<x) が存在して x∈Ob ={(b,∞)}b∈R} とできる
このとき 常に y∈Ob ={(b,∞)}b∈R} である
これは、b <x であれば 常に成り立つ
ゆえに 異なる2点 x,yは 位相O1では分離できず ハウスドルフではない

次に、(R,O1)は連結である
(R,O1)が連結でないとして 矛盾を導く
位相空間(R,O1)を VとWの二つに分けることができる
即ち R=V∪Wであり V,Wは空でないとできる
もし、VとW連結でないとすると 開集合がとれて
V⊂Ov, W⊂Ow, | Ov,Ow⊂O1 とできて
Ov∩Ow＝φとできる
ところが このとき異なる2点 v∈Ov , w∈Ow が 存在して
前記より この2点は分離することができない（ハウスドルフではない）
即ち Ov∩Ow＝φとできない
これは矛盾。よって、(R,O1)は連結

(参考)
https://manabitimes.jp/math/4023
高校数学の美しい物語 2025/12/26
位相空間論の基礎〜連結空間・弧状連結空間の意味
目次
例〜実数の連結・弧状連結性
連結空間の性質
弧状連結空間の性質
弧状連結であれば連結
連結であるが弧状連結ではない例
連結性を用いた非同相の証明

連結性
連結であることの証明は少々長いです。
基本的に連結であることを示す方法は2ステップに分かれます。
1.連結ではないと仮定して，条件を満たす開集合 X1,X2 を取る。
2.頑張って矛盾を導く。

https://mathlog.info/articles/3143
位相空間の連結性と連結集合 2022年4月17日 投稿者 電気魚
位相空間の連結性と連結集合
位相空間の連結性
連結集合
連結集合の特徴づけ
問題の解答
問題1
問題2
参考文献
[1]
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 1986

>>901
>今は[X,Y]=XY−YXというブラケット積で、上三角行列が可解になるとかいう話まで進みました。

（ニコ） (^^)君か スレ主です
"ブラ-ケット記法"か、なつかしいな
下記 物理学者のディラック（ノーベル賞受賞）が提唱したという
私も、量子力学から入った
リー代数は卒業しなかった（多分中退です（＾＾）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9-%E3%82%B1%E3%83%83%E3%83%88%E8%A8%98%E6%B3%95
ブラ-ケット記法（ブラ-ケットきほう、英: bra-ket notation）またはディラックの記法[1]（ディラックのきほう、英: Dirac notation）は[注 1]、量子力学における量子状態を記述するための標準的な記法である。

ブラケット（bra-ket）という呼称は、量子状態をブラ（bra） ⟨φ| とケット（ket） |ψ⟩ と呼ばれる2つのベクトルで表すこと、またブラとケットの内積 ⟨φ|ψ⟩ が括弧（bracket）を成すことに由来する。

ブラケット記法は1939年のポール・ディラックの論文(Dirac 1939)で提案された。ディラックの教科書 the principles of quantum mechanics では1947年の第3版からブラケット記法を採用している[2]

(google検索)
量子力学 [X,Y]=XY−YX ブラケット積 wiki
AI による概要
量子力学における [X,Y]=XY-YX は、交換関係（こうかんかんけい、Commutator）と呼ばれる演算子間の関係式です。これは主にハイゼンベルクの行列力学やディラックのブラケット記法において、物理量（演算子）が可換ではない（順序によって結果が変わる）ことを表します。
以下に詳細を解説します。
略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E4%BB%A3%E6%95%B0%E3%81%AE%E8%A1%A8%E7%8F%BE
表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数を行列の集合（ベクトル空間の準同型）として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。

考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。

リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。

ハイゼンベルグの名前が付いた用語はチラチラ見ますね。

>>902 自己赤ペン

V⊂Ov, W⊂Ow, | Ov,Ow⊂O1 とできて
　↓
V⊂Ov, W⊂Ow, | Ov,Ow∈O1 とできて
良い子は気を付けようね （＾＾

>>904
>ハイゼンベルグの名前が付いた用語はチラチラ見ますね。

へー 下記ですか
物理側では、あまり使わないと思う
ハイゼンベルグの行列力学は、シュレーディンガー方程式で扱うのが普通でして・・
いま、検索すると下記ですね
なるほど

(google検索)
リー代数 ハイゼンベルグ
AI による概要
ハイゼンベルグ代数（Heisenberg algebra）は、位置と運動量の交換関係
略
を基盤とする、量子力学の不確定性原理を表現する代表的な無限次元（または3次元）のリー代数。中心元を持つ非可換な構造で、
略

https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/kwatanab/lie-algebra2015.pdf
2015 年度 数学特別講義 X,代数学特論 V(リー代数入門)
埼玉大学 渡邉　究 Date: January 19, 2016.
PDF
2.2. 線形リー代数. 3 次元 Heisenberg 代数のように，正方行列と行列交換子を. 用いてリー代数を構成することを考えよう．
55 ページ

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/2303-09.pdf
Lie代数のGradingと基本群 (変換群論とその進展)
大阪大学理学研究科数学専攻修士二年 下地泰斗＊
Taito Shimoji
PDF
2024/08/30 — この Lie 代数はハイゼンベルグ Lie 代数と呼ばれている. 1.1 Lie 代数の Grading g を K-Lie 代数とする. g の Grading とは, 整数全体で添え字つけ ...
7 ページ
本稿は2024年度RIMS共同研究「変換群論とその進展」にて行われた講演「Lic代数のGradingと
基本群」の講究録である．
Mを非特異複素代数多様体とする.その基本群r=汀,(M, *)は有限生成群であることが一般に知られ
ており，以下は「Serreの問題」と呼ばれている．
問題任意の有限生成群は非特異複素代数多様体の基本群として実現できるか？
本稿では,筆者の研究対象である(幕零)Lie代数のGradingを調べることにより，この問題の反例を得られることを説明し､次の表示で定義される有限生成群
略

その埼玉大の先生の動画を見て、勉強しています。

>>902 戻る
(引用開始)
(2)O2をR上の通常のユークリッド距離位相とし、Oを(R,O1)と(R,O2)の直積位
　相とする．ただし､R^2=R×Rの第1成分のRの位相が01,第2成分のRの位
　幅がO2として直積位相を考える. A={(x,y)∈R^2 | x-y > 1},
　B={(x,y)∈R^2 | x^2+y^2 <=1 } とおく
　Aは (R^2,O)の開集合であるか、
　また,Bは(R^2,O）の閉集合であるか，それぞれ答えよ、根拠も述べること．
(引用終り)

直感的には、
Aは (R^2,O）の開集合か Yes
Bは (R^2,O）の閉集合か No
直積位相とは、直積の一番普通の位相ですね

さて、どうやって示すか
Bは x側の位相がまずいのだが。例によって 補集合が開でないとするのか
Aは なにか常用の手筋がありそうですね・・ 射影？
まあ もう少し考えよう