305 １３２人目の素数さん (ﾜｯﾁｮｲ 8bd4-khsn [2001:240:247a:474e:*]) 2026/09/28(月) 18:17:06.03 ID:CXEvUH0s0
実数rと実数でない数αを用いて
r^α+α^r
の形で表される実数は存在するか。
存在するならばそのような(r,α)の組を1組求めよ。
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存在するし、どんな実数に対しても
(r, α) を構成できる

例えば r が正の整数、式の値が 0 のとき
r^α+α^r=0
の解は
ランベルトのW関数（乗積対数関数）
y=W(x) ⇔ x=y・e^y
に複素数の主値以外を含めた多価関数
y=W_n(z)
を用い、k=ln((1/r)^(1/r)) として
α=(1/k)W_n(k・e^((-1+(2m+1)/r)πi))
となり、m, n を動かせば α は無数に存在する

右辺が0以外でも、数値計算で
任意の実数 r に対してα を導出できる