箱入り無数目は当たりっこない、というには
選択公理は成立するわけない、つまり、
任意の空でない集合の（無限）集合族から
その代表元を抜き出すなんてできるわけない、
というしかない

その場合、
任意の集合が整列できるわけないとか
任意の線形空間が基底を持つわけないとか
任意の可換環が極大イデアルを持つわけないとか
そういう結論を受け入れることになる

自然といえば自然
方法が思い付かないんだからね

ただ、集合論における関数は、別に操作を記述するものではない
入力と出力の対からなる集合、これが集合論における関数