>>520
>Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。

ヘタレなので検索した
下記であってるかも（全文が正しい保証なし 各自考えよ）
但し 例：G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）とする
であってそう（多分最小の例） Hirosi Ooguriは余禄

(google検索)
群Gの巡回部分群は 正規部分群か？
AI による概要
群 G の巡回部分群は、常に正規部分群であるとは限りません。
一般に、G の元 a によって生成される巡回部分群 H = < a > が正規部分群であるための必要十分条件は、任意の元 g ∈ G に対して g a g^-1 ∈ < a > が成り立つことです

正規部分群にならない例最も典型的な反例は二面体群（正三角形の対称移動全体のなす群など）で見られます。
・G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）とする。
・a を「120度回転」の操作とすると、これによって生成される部分群 H = < a > は正規部分群です。
・しかし、b を「裏返しの反転」の操作とすると、b によって生成される部分群 K = < b > は巡回部分群（位数2）ですが、G の正規部分群にはなりません。実際に、回転操作 G を使って gbg^-1 を計算すると、K 以外の元に移ってしまい、g K g^-1　≠ K となるためです。

常に正規部分群になる特別なケース部分群が正規部分群となる保証があるのは、以下のような特定の条件が揃った場合です。
１．群 G が可換群（アーベル群）の場合群のすべての元が可換な場合、任意の部分群は必ず正規部分群になります。したがって、巡回部分群もすべて正規部分群です。
２．「部分群の指数」が2の場合部分群 H の指数が [G : H] = 2 の場合、H は常に G の正規部分群になります。
３．部分群が群 G の唯一の巡回部分群である場合特定の位数を持ち、その群においてその位数を持つ部分群が H しかない場合、共役操作によっても自分自身に移るため正規部分群となります
(引用終り)

余禄
https://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics/chapternine
Caltech
Hirosi Ooguri
Home / 日本語版 / 数学の言葉で世界を見たら / 第９話
①　正２０面体群が分解できない理由
以下略