>>538 続き
>>Gを群とし、A,BをGの巡回部分群とする。 G=ABを満たし、A,Bが共にGの正規部分群とならない例を挙げよ。
>但し 例：G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）とする
であってそう（多分最小の例）
>(google検索)
>群Gの巡回部分群は 正規部分群か？
>AI による概要
>群 G の巡回部分群は、常に正規部分群であるとは限りません。
>正規部分群にならない例最も典型的な反例は二面体群（正三角形の対称移動全体のなす群など）で見られます。
>・G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）とする。
>・a を「120度回転」の操作とすると、これによって生成される部分群 H = < a > は正規部分群です。
>・しかし、b を「裏返しの反転」の操作とすると、b によって生成される部分群 K = < b > は巡回部分群（位数2）ですが、G の正規部分群にはなりません。実際に、回転操作 G を使って gbg^-1 を計算すると、K 以外の元に移ってしまい、g K g^-1　≠ K となるためです。

さて、ここを少し掘り下げる
例：G を頂点数3の正三角形の対称性を表す二面体群（位数6）
これを 置換のコーシー記法を使うと
(1,2,3) 恒等置換
(1,2,3)

(1,2,3)巡回置換1
(2,3,1)

(1,2,3)巡回置換2
(3,1,2)

(1,2,3) 互換(1.2)
(2,1,3)

(1,2,3) 上記互換に対する巡回置換
(1,3,2)

(1,2,3) 上記に対する巡回置換
(3,2,1)

つまり、下記のように 二面体群D3は 対称群 S3になる
いま、素数p≧3 をとって 二面体群D2pを考える
明らかに 位数2pで、部分群の位数はラグランジュ定理より
pと2のみ。どちらも素数なので 巡回群。
D2p⊃Cp (Cpは巡回群)で
巡回群 Cpは、正規部分群だが 位数2の部分群は 正規部分群ではない
その最小例がp=3
PS
「G=ABを満たし」の部分が、群論的には 若干あいまいかも

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E4%BD%93%E7%BE%A4
二面体群
位数の小さな二面体群
正多角形を不変とする合同変換を考えるならば、n は 3 以上でないと意味をなさないが、上記の行列による表現は n = 1, 2 でも意味を持ち、それらも二面体群に含める方が便利なことが多い。D1 は位数2の巡回群であり、D2 はクラインの四元群である。この2つはアーベル群であり、逆に n ≥ 3 では Dn は非可換群である。また、後述のように n ≥ 3 では Dn は対称群 Sn の部分群であるが、n = 1, 2 ではそうでない。

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group
Symmetric group
Low degree groups
(google検索)
S 3
S 3は最初の非可換対称群です。この群は、正三角形の反射と回転の対称性群である位数 6 の二面体群と同型です。これは、これらの対称性が三角形の 3 つの頂点を入れ替えるためです。長さ 2 のサイクルは反射に対応し、長さ 3 のサイクルは回転に対応します。