>>875
ChatGPTが投稿者の強い主張をたしなめてるけどｗ

この投稿者は、かなり強い主張をしていますが、実は途中で
> 「無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って無限集合に整列順序を与えることは容易」
という部分が成立していません。
ここが論点です。

### 1. ZFで有理数列全体の集合は作れる
ZFには
* 無限公理
* 冪集合公理
* 置換公理
があります。

まず自然数集合 (\omega) が存在します。
有理数集合 (\mathbb Q) もZFで構成できます。
すると
[
\mathbb Q^\omega
]
すなわち
[
f:\omega\to\mathbb Q
]
なる関数全体の集合は、冪集合公理から存在します。
これは「有理数列全体の集合」です。
ここで選択公理は使っていません。
重要なのは、
> 各列を一本ずつ選んで作る
必要がないことです。
ZFは
> 関数全体の集合
を一括して作れます。
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### 2. コーシー列の集合もZFで作れる
コーシー列条件
[
\forall k\in\omega,
\exists N\in\omega,
\forall m,n\ge N
\Bigl(
|a_m-a_n|<\frac1{k+1}
\Bigr)
]
は (\mathbb Q^\omega) 上の論理式です。
分出公理により
[
\mathrm{Cauchy}(\mathbb Q)
]
（有理数コーシー列全体）
は集合になります。
ここにも選択公理は不要です。
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