### 5. 「数列が作れれば整列できる」も誤り
さらに
> 無限長の数列を作ることが出来れば、それを使って無限集合に整列順序 R を与えることは容易
も一般には偽です。
例えばZFでは
* 可算列を持たない無限集合
* 整列不能集合
が存在し得ます。
また
[
\mathbb R
]
自身についても
ZFでは
> 実数は整列可能である
は証明できません。
これは選択公理と同値です。
つまり
[
\omega\to A
]
という数列が存在することと
[
A
]
を整列できることは全く別問題です。
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### 結論
この投稿への一番短い反論は、
> 「実数をコーシー列の同値類として構成する」とは、『各実数についてコーシー列を一本ずつ選ぶ』ことではなく
『有理数列全体の集合 (\mathbb Q^\omega) からコーシー列の部分集合を切り出し、その商集合を作る』ことである。
です。
したがって
> 『実数をコーシー列の同値類として定義するだけならZFで十分』
という元の主張は、少なくとも構成そのものについては標準的な集合論の教科書通りであり
投稿者の「コーシー列を使うなら選択が必要だ」という強い反論は通用しません。
ただし、
> コーシー実数とデデキント実数の一致
や
> 解析学で使う様々な完備性定理の同値性
になると、そこで可算選択公理（ACω）やさらに強い選択原理が絡んでくる・・
というのがより正確な説明です。