分出公理はある集合の部分集合として切り出す必要がある。その制限の無い内包公理はラッセルのパラドックスの原因となるから。
その意味で X×Y:={(x,y)|x∈X∧y∈Y} は実は不十分な表記で、何の部分集合かの指定が必要。それが P(P(X∪Y))。つまり十分な表記は X×Y:={(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y}。
(x,y):={{x},{x,y}},{x},{x,y} の存在は対の公理、X∪Y の存在は和集合の公理、P(X∪Y),P(P(X∪Y)) の存在はべき集合の公理、{(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y} の存在は分出公理がそれぞれ必要。これですべて網羅してるから選択公理は不要。

分かったかい？おサルさん　君、手取り足取り教えないと分からない馬鹿なんだね　諦めて山へ帰れば？