スレタイ箱入り無数目を語る部屋31(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part5ｗ)

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/
前スレ スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part4ｗ)

(参考)時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

>>173
>ここは中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが
またNPD発作か？

>一方、無限集合の整列順序を扱うのが、”9）選択公理（または同値な命題）”
妄想。
整列可能定理は任意の集合が整列集合であることを主張するが、順序数はZF公理系で（つまり選択公理無しで）整列集合であることが示される。（「無限のスーパーレッスン」はここを誤解している。）
また可算集合も同じ。何度教えても理解できないサル。

>選択公理と同値な命題は、いろいろある。整列可能定理とか
>無限デカルト積を作るとか、
>>92で教えられても理解できないサル。
教えられなくても理解するのが利口者。
教えられて理解するのが普通のバカ。
サルは教えられても理解できない。

>この常識を 頭に入れよう！ （＾＾
と、何度教えても理解できず嘘デタラメをまき散らす非常識な畜生に言われてもね

>>172
無駄コピペで分かってるフリはみっともないからやめような

ですね
憐れです

N×Qとそれを使ったQ^Nの定義をそれぞれ示した上で存在証明に必要な公理を一つ一つ丁寧に解説したのに、それでも理解できないサルは山へ帰るべき
数学板で分かってるフリして発言するのはみっともないし害悪しか無いから厳に慎むべき
まあサルの場合は病気（NPD障害）の治療から始めた方が良いだろう

>>174
(引用開始)
分出公理はある集合の部分集合として切り出す必要がある。その制限の無い内包公理はラッセルのパラドックスの原因となるから。
その意味で X×Y:={(x,y)|x∈X∧y∈Y} は実は不十分な表記で、何の部分集合かの指定が必要。それが P(P(X∪Y))。つまり十分な表記は X×Y:={(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y}。
(x,y):={{x},{x,y}},{x},{x,y} の存在は対の公理、X∪Y の存在は和集合の公理、P(X∪Y),P(P(X∪Y)) の存在はべき集合の公理、{(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y} の存在は分出公理がそれぞれ必要。これですべて網羅してるから選択公理は不要。
(引用終り)

詰んだな
１）有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
２）下記より 19世紀後半まで 選択公理は 暗黙に使用されていた
　選択公理が不要な場合：有限帰納法の原理など
　選択公理が必要な場合：一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません
３）下記 ヒルベルト有限主義を百回音読しよう
　基本的に ”一階述語論理における証明は有限でなければならない”という原理は、厳然と維持されている

(参考)>>98-100 より抜粋再録
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice 選択公理
(google訳)
19世紀後半まで、選択公理は正式には述べられていなかったものの、暗黙のうちにしばしば用いられていた。例えば、集合Xが空でない集合のみを含むことが確定した後、数学者は関数Fを定義するために「すべてのs∈Xについて、F ( s )をsの要素の一つとする」と述べることがあった。一般に、選択公理を用いずにFの存在を証明することは不可能であるが、このことはツェルメロまで気づかれずにいたようである。
(google訳)
選択公理が不要な場合
有限個の空でない集合の集合に対する選択関数の存在は、選択公理に依拠することなく、有限帰納法の原理によって証明できます。[7] この証明は、単一の空でない集合 A が与えられた場合、一階述語論理では A の具体的な要素 a を選択できるという事実を利用しています。しかし、一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません。
選択公理が不要なもう一つのケースは、標準的な選択関数を与える明示的な規則が存在する場合です。例えば、集合 X の各要素が自然数の空でない部分集合である場合、そのような明示的な規則の一つは、各 A ∈ X の最小要素を選択することです。各 A ∈ X をその最小要素に写像する標準的な選択関数は、選択公理を用いずに ZF で構成できます。
一般に、X に含まれるすべての集合の和集合が整列可能であれば、選択公理を用いなくても選択関数を構築できる。ただし、各 A∈X が整列可能であればは 十分ではないことに注意が必要である。なぜなら、いずれにせよ、各 A に対して標準的な整列順序を選択するために選択公理が必要になる場合があるからである。

つづく

つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitism
Finitism
(google訳)
有限主義
歴史
もう一つの立場は、デイヴィッド・ヒルベルトによって支持された。すなわち、有限な数学的対象は具体的な対象であり、無限な数学的対象は理想的な対象であり、理想的な数学的対象を受け入れることは有限な数学的対象に関して問題を引き起こさない、という立場である。より厳密に言えば、ヒルベルトは、理想的な無限対象を用いて得られる有限な数学的対象に関する定理は、それらを用いなくても得られることを示すことができると信じていた。したがって、無限な数学的対象を認めることは、有限な対象に関して問題を引き起こさない。このことから、ヒルベルトは有限的な手段を用いて集合論の無矛盾性と完全性の両方を証明するという計画に着手した。これは、理想的な数学的対象を追加することは有限的な部分に関して保守的であることを意味するからである。ヒルベルトの見解は、数学の形式主義哲学とも関連付けられている。有限的な手段によって集合論、あるいは算術の無矛盾性と完全性を証明するというヒルベルトの目標は、クルト・ゲーデルの不完全性定理のために不可能な課題であることが判明した。しかし、ハーヴェイ・フリードマンの壮大な予想は、ほとんどの数学的成果は有限的な手段を用いて証明可能であることを示唆している。

ヒルベルトは、彼が有限主義的と考え、初等的と呼んだものについて厳密な説明を与えなかった。しかし、ポール・ベルネイズとの共同研究に基づき、テイト（1981）などの一部の専門家は、原始再帰算術はヒルベルトが有限主義的数学と考えたものの上限とみなすことができると主張している。 [ 1 ]
(引用終り)
以上

>>179
>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
自己紹介ですか？

（誰が詰んでいるのやら）

>>179
>選択公理が不要な場合：有限帰納法の原理など
>選択公理が必要な場合：一階述語論理における証明は有限でなければならないため、一階述語論理のみでは無限個の選択を行うことはできません
>基本的に ”一階述語論理における証明は有限でなければならない”という原理は、厳然と維持されている
何をどう誤解したらQ^Nの存在証明が無限長と思うの？　頭おかしいの？

おサルは「Q^Nの構成には無限回の選択が必要！」と妄想してるのかな？
NPDこじらせ過ぎでは？　早く治療した方が良いよ

（選択関数についてデタラメな理解をしているようです）

>詰んだな

現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP　が

Π(i∈I)Q(i)と
Π(i∈I)Qは
違う

それぞれ異なる集合であるQ(i)に対して
その元を選ぶ関数は必ず構成できるとはいえない

しかし同じQなら一つq∈Qを選べば
どのiについてもそのqを選べばよいので
空集合でないことがただちに示せる

詰んだな　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP

無限直積の各集合が異なる場合と全部同じ場合では全然違う

論理が分かっていれば即座に分かる
トンチンカンな誤りを吠え続けるのは・・・論理が分かってない証拠

空でないQの無限個の直積は
選択公理を前提しない場合
空であることもあり得る、というのは
正方行列＝正則行列、と同レベルのポカ

誤　現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
正　現代数学の落伍者 雑談 ◆yH25M02vWFhP

「Qの無限個の直積は
選択公理を前提しない場合
空であることもあり得る」
には反例 (0,0,・・・) が存在する。
たったこれだけのことが理解できないサルに数学は無理。

おサルは従属選択公理のステートメントを「数列の存在を示すには従属選択公理が必要」と勝手読みしてるのだろう。
勝手読み癖を治さないとオチコボレを卒業できないぞおサル。

サルですが話題を変えるための長文コピーを鋭意検索しておるところです
しばらくお待ちください

話題変更wktk

彼の人は
一階述語論理の論理式は可算個しかないから
数学の対象はすべて可算といいたいのかも？

ファン・デル・サル

集合 2^N は存在し、かつその元はほとんど論理式で記述できない
なぜなら 2^N は非可算、論理式の全体は可算だから

おサルは一階述語論理という用語を使ってるが、どこまで理解してるか怪しい
論理式すらまともに読めないしな

>>179
分出公理はある集合の部分集合として切り出す必要がある。その制限の無い内包公理はラッセルのパラドックスの原因となるから。
その意味で X×Y:={(x,y)|x∈X∧y∈Y} は実は不十分な表記で、何の部分集合かの指定が必要。それが P(P(X∪Y))。つまり十分な表記は X×Y:={(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y}。
(x,y):={{x},{x,y}},{x},{x,y} の存在は対の公理、X∪Y の存在は和集合の公理、P(X∪Y),P(P(X∪Y)) の存在はべき集合の公理、{(x,y)∈P(P(X∪Y))|x∈X∧y∈Y} の存在は分出公理がそれぞれ必要。これですべて網羅してるから選択公理は不要。

から、何をどう勘違いしたら
>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
なる感想が出るのやら　数学を初歩の初歩から分かってないから変な妄想してるんだろうね

ふっふ、ほっほ
オチコボレさんの数学素人
中高一貫生も来るから ハッキリと書いておく
下記の Axiom of choice 百回音読して勉強してね （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Axiom of choice
(含むgoogle訳)
選択公理を援用することなく作成できます。特に、要素を選択する集合の数が有限である場合（この場合、帰納法を適用できます）、または要素の選択方法に関する標準的な規則（各集合のちょうど1つの要素に対して成り立つ何らかの特徴的な性質）が利用可能な場合です。
「最小の数を選択する」は選択関数です。自然数から無限個の集合が収集されたとしても、各集合から最小の要素を選択して集合を作成することで選択関数を形成することは常に可能です。ここでは選択公理は必要ありません。一方、実数のすべての空でない部分集合の集合については、それぞれの部分集合から1つの要素を選択するための既知の標準的な規則は存在しない。この場合、目的の選択関数を構築するには、選択公理を適用する必要がある。
現在ではほとんどの数学者によって何の留保もなく使用されており、[ 3 ]標準的な公理的集合論である選択公理付きツェルメロ・フレンケル集合論（ZFC）にも含まれている。その理由の一つは、チコノフの定理など、一般的に受け入れられている多くの数学的結果の証明には選択公理が必要であることである。現代の集合論者は、決定性公理など、選択公理と両立しない公理も研究している。
Statement
A choice function (also called selector or selection) is a function
f, defined on a collection
X of nonempty sets, such that for every set
A in X, f(A) is an element of
A. With this concept, the axiom can be stated:
Axiom—For any set
X of nonempty sets, there exists a choice function
f that is defined on
X and maps each set of
X to an element of that set.

Formally, this may be expressed as follows:
∀X[∅∈X∨∃f[dom f=X∧∀A∈X[f(A)∈A]]].
Each choice function on a family
X of nonempty sets is an element of the Cartesian product of the sets in X, and vice versa.
したがって、選択公理の同等の形式は次のようになる：
空でない集合の任意の集合の直積は空でない
This form implies a more general form where the Cartesian product is of a general indexed family of sets (which may contain duplicates), since one can always select the same element from duplicate factors.

>何をどう勘違いしたら
>>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
>なる感想が出るのやら

あぁ、なるほど
「数列を作るには無限回の選択が必要」
という見当外れな妄想が原因ですね。

0,0,・・・は数列ですよ？　無限回の選択なんて全く不要です。
Q^N とは 有理数列全体の集合ですよ？ ZF公理系（つまり選択公理無し）において Q^N が存在することを>>174と>>92で完全に示してますよ？

つまり正解（>>174と>>92）を教えられても理解できずに見当外れな妄想から抜け出せないのが原因ですね。
数学は諦めた方が良いでしょう。基礎学力が壊滅してますから。

２６℃
晴れのちくもり

>>199
コピペは無意味ですよ？「数列を作るには無限回の選択が必要」が妄想と認識できない限り「実数の構成に選択公理が必要」も妄想と認識できない、それだけのことですから。
しかし「0,0,・・・ は数列」も理解できないんですかね？　理解できたなら妄想であることは認識できるはずなんだが。よっぽど頭が悪いんでしょうね。とてもじゃないが数学は無理かと。

２６℃
晴れのちくもり

「0,0,・・・ は数列」は高校生でも分かるでしょう。それが分からないんじゃ大学数学は無理ですね。諦めた方がよろしいかと。

２６℃
晴れのちくもり

ID:inVeCxPO
荒らし行為は慎みましょう

２６℃
晴れのちくもり

ID:inVeCxPO
君は「実数の構成に選択公理が必要」をどう思う？　コメントしないということは是認？

不必要

いやー、ここ最近は大変だった。
まったりやっていこうw

不必要

おサルさんさあ、君が御大と呼ぶ人も「実数の構成に選択公理が必要」は間違いだとさ
御大には
>有限と無限の区別がついていない 数学素人がいる
って言わないの？　なんで？　ねえなんで？

>>212
"実数の構成"の数学的定義が、問題になる

下記 "実数の構成"の数学的定義が、>>167の
原隆　九州大
『実数の構成に関するノート』全体を意味するならば
その中に、選択公理を使う場面はある
（つまり 実数の性質の完備性の証明など）
デデキントカットの部分に限れば不要

(参考)
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原　隆　（九州大学数理学研究院）
Lastupdated: Juy10,2007
概要
これは僕の微積の講義ノートの付録として，また「数学II」の補助ノートとして，実数論の初歩を書いたものです．具体的には「有理数の切断」としての実数の構成を2章で，また「コーシー列の同値類」としての実数の構成を3章で論じた後，両者が基本的に同値なものである事を4章で述べました．そのあと，更に舞台を拡げて，実数の公理を満たす体は本質的に一つに決まることを簡単に5章で説明してあります．

>>209,211
不必要な人が何か言ってますね

>>213
だから完備性の証明に選択公理なんて要らないって言ってんの
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
君、英語も読めんの？

>>213
>下記 "実数の構成"の数学的定義が、>>167の
>原隆　九州大
>『実数の構成に関するノート』全体を意味するならば
>その中に、選択公理を使う場面はある
要するに君は検索でヒットしたから必要って言ってるだけ。中身をぜんぜん理解せずに。

従属選択公理を仮定すればある種の数列の存在を言える。
そのことと実数の構成における選択公理の必要性はまったく別問題。
中身を1ミリも理解せずに検索でヒットしたから必要に違いないと妄想してるだけ。そんなサルに数学は無理。

>>214-217
ふっふ、ほっほ

下記”Axiom of countable choice”（可算選択公理）と ”Axiom of dependent choice”（従属選択公理）を 百回音読しよう！ （＾＾
１）”Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...”
　とありますがなｗ
２）”ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.”
　とありますがなｗ

”Axiom of countable choice”（可算選択公理）さえ仮定しない ZFのみでは
デデキントカットで なにか実数R らしき集合が出来ても
それと、コーシー列との関係がつかない
そうすると 困るでしょｗ （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_countable_choice
Axiom of countable choice

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Axiom_of_countable_choice.svg/500px-Axiom_of_countable_choice.svg.png
Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...

Applications
ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.
When formulated for accumulation points of arbitrary metric spaces, the statement becomes equivalent to ACω.
The ability to perform analysis using countable choice has led to the inclusion of ACω as an axiom in some forms of constructive mathematics, despite its assertion that a choice function exists without constructing it.[1]

>>218 追加
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_dependent_choice
Axiom of dependent choice
Formal statement
A homogeneous relation
R on X is called a total relation if for every
a∈X, there exists some
b∈X such that
aRb is true.
The axiom of dependent choice can be stated as follows: For every nonempty set
X and every total relation
R on X, there exists a sequence
(xn)n∈N in X such that xnRxn+1 for all n∈N.
In fact, x0 may be taken to be any desired element of X.
(To see this, apply the axiom as stated above to the set of finite sequences that start with x0 and in which subsequent terms are in relation R, together with the total relation on this set of the second sequence being obtained from the first by appending a single term.)

If the set X above is restricted to be the set of all real numbers, then the resulting axiom is denoted by DCR.
Use
Even without such an axiom, for any n, one can use ordinary mathematical induction to form the first
n terms of such a sequence. The axiom of dependent choice says that we can form a whole (countably infinite) sequence this way.

The axiom DC is the fragment of AC that is required to show the existence of a sequence constructed by transfinite recursion of countable length, if it is necessary to make a choice at each step and if some of those choices cannot be made independently of previous choices.

Relation with other axioms
The axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice and is strictly stronger.[4][5]
It is possible to generalize the axiom to produce transfinite sequences. If these are allowed to be arbitrarily long, then it becomes equivalent to the full axiom of choice.

＞百回音読しよう！

一回も読めてない素人が何言っても無駄

>>218
(引用開始)
”Axiom of countable choice”（可算選択公理）さえ仮定しない ZFのみでは
デデキントカットで なにか実数R らしき集合が出来ても
それと、コーシー列との関係がつかない
そうすると 困るでしょｗ （＾＾
(引用終り)

１）解析を考えると、すぐ R→C（複素数）へ拡張したくなる
　このとき、デデキントカットより コーシー列の方が使いやすい！
２）つまり、 コーシー列ならば
　実数 Rから そのまま 複素数Cのコーシー列の議論に移るのが容易（ワイエルシュトラス）

下記 ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
を、百回音読しよう！ （＾＾

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2844
高校数学の美しい物語
コーシー列 2023/08/31
この記事では，コーシー列の意味と性質について解説します。

目次
実数のコーシー列
コーシー列の応用
有理数のコーシー列
展望〜距離空間への一般化

実数のコーシー列について，次の定理が重要です。

定理1
実数列
{an}がコーシー列であるならば，数列
{an} は収束する。
逆に収束する実数列はコーシー列である。

逆から証明します。
収束するならコーシー列であることの証明
略
一方「コーシー列なら収束する」の証明は少し難しいです。まず
{an} の収束値がないと議論できないので，それを構成します。そのために ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 を使います。
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理
有界な実数列
{an} は収束する部分列を持つ。
この定理を用いるために，まず
{an} の有界性を証明します。
コーシー列ならば収束すること
略
ステップ2：収束値の構成
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理 より
略
よって {an} は α に収束する。

コーシー列の応用
略
つまり，
1.実数のコーシー列の収束値は実数
2.有理数のコーシー列の収束値は有理数とは限らない
です。1を実数の完備性といいます。

展望〜距離空間への一般化
複素数の絶対値に対してコーシー列を考えることができます。複素数のコーシー列も複素数に収束します。
実数や複素数の絶対値は 距離空間 に一般化できるのでした。コーシー列も距離空間に一般化できます。
コーシー列(一般の距離空間)
略
これまで見てきたように実数の集合は完備距離空間になります。一方，有理数の集合は完備ではありません。

有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます。

実は有理数を完備化する方法は1通りではありません！ 興味がある人は
p 進数 で調べてみましょう。

また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

>>218
>”Axiom of countable choice”（可算選択公理）さえ仮定しない ZFのみでは
>デデキントカットで なにか実数R らしき集合が出来ても
>それと、コーシー列との関係がつかない
つまり 0,0,・・・ はコーシー列でないと言いたいの？
君、初歩の初歩から分かってないね　数学無理だから諦めれば？

現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP が誤解していること

１．有理コーシー列の同値類としての実数の定義に選択公理が必要
→×　必要ない

２．実数の連続性の証明に選択公理が必要だから、実数の定義に選択公理が必要
→×　実数の定義のみから実数の連続性が証明できるわけではないから

（定義できないと言っていたのに今では完備性の証明ができないに主張をねじ曲げましたね）

コーシー列の同値類で実数を作る場合
同値関係はどっか上に書いた大小関係から得るものでいいのかな？
つまり
(xn),(yn)∈CS={(xn)∈Q^N|0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: |xi-xj|<ε}
について
(xn)<(yn) ::⇔ ∃p,q∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: xi<p<q<yi
とするとき
(xn)〜(yn) ::⇔ ¬((xn)<(yn)∨(yn)<(xn))
で
R=CS/〜
と

このときRのコーシー列は
CS(R)={(ξn)∈R^N|0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: |ξi-ξj|<ε}
のように定義したいので
α=[xn],β=[yn],γ=[zn]∈R
に対して
|α-β|<γ
すなわち
α<β+γかつβ<α+γ
とはどういうことかを定義しなくてはいけないか
コーシー列の和は
(xn)+(yn)::=(xn+yn)
でよいから
(xn)<(yn) ::⇔ ∃p,q∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: xi<p<q<yi
そのまま使えば良いかな

こう定義した時
Rの完備性は
∀(ξn)∈CS(R),∃η∈R,0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i∈N: |ξi-η|<ε
ということになるか

>>221
>１）解析を考えると、すぐ R→C（複素数）へ拡張したくなる
>　このとき、デデキントカットより コーシー列の方が使いやすい！
>２）つまり、 コーシー列ならば
>　実数 Rから そのまま 複素数Cのコーシー列の議論に移るのが容易（ワイエルシュトラス）
実数体をRと書く。
実数の公理から x^2+1 は実根を持たない。すなわち x^2+1 はR上既約だから C:=R[x]/(x^2+1) はRの2次拡大体で {1,√(-1)} はCをR上の線形空間と見たときの基底。よってCは複素数体。
コーシー列も選択公理も不要。

>百回音読しよう！
何回音読しても勝手読みしたら無駄。むしろ変な妄想を持たないだけ全く読まない方がマシ。

彼の人はおそらく
α∈R=CS/〜
を
α=[xn]
と表せる代表元
(xn)∈CS
を選ぶのに選択公理が必要と言うような気もするが
ここにはいらない
なぜなら選択関数を使って（作って）いるわけでは無いので
どの代表元でも同じ結論が言えるということを示せば良いだけ

>>227
>∀(ξn)∈CS(R),∃η∈R,0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i∈N: |ξi-η|<ε
これはいわゆる対角線論法で示せるかな
η=((ξn)n)
でよさそう

切断で定義するRが完備は確かもっと簡単だったはず
(X,Y)をQの切断でYに最小がない奴だとして
R={(X,Y)|X,Y≠φ,X∪Y=Q,∀x∈X,∀y∈Y,∃z∈Y: x<z<y}
そのコーシー列は
CS(R)={(ξn)∈R^N|0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: |ξi-ξj|<ε}
において
|α-β|<γ
すなわち
α<β+γかつβ<α+γ
の定義を切断の和と大小で定義して
∀(ξn)=((Xn,Yn))∈CS(R),∃η∈R,0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i∈N: |ξi-η|<ε
を満たす
η=(X,Y)
を
X=∩{∪{Xn|m<n}|m∈N},Y=Q＼X
のように定義するのかな
Yに最小が無いのを示せないかも？その場合Yに最小が有っても無くてもいいことにして最小がある場合それをXに移した切断と同値にして考えるか

>>218
>１）”Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...”
>　とありますがなｗ
>２）”ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.”
>　とありますがなｗ
「実数の構成に選択公理が必要」なんて書いてありませんがなｗ

>下記”Axiom of countable choice”（可算選択公理）と ”Axiom of dependent choice”（従属選択公理）を 百回音読しよう！ （＾＾
何回音読しても勝手読みしたら無意味。むしろ勝手読みにより変な妄想抱くくらいなら一回も読まない方がマシ。

一回も読まなければさすがに分かった気にならないだろう。
勝手読みで分かった気になって変な妄想が正しいと信じ込むのは害悪でしかない。

２０℃
晴れ時々くもり

>>222-234
ID:3ZBTbAUT は、御大か
巡回とお天気日誌ありがとうございます

さて、前スレより再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/831-833
>>830
なるほど・・・
君の論にも一理ある
が >>829にも一理あるぞ

つまり 下記 google検索で
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

まあ、おサルさんと痛み分けか・・（＾＾

(google検索)
Construction of real numbers using rational Cauchy sequences and Axiom of countable choice in ZF axiomatic set theory
AI概要
Constructing real numbers as equivalence classes of rational Cauchy sequences formalizes the idea that any real number is the limit of approximations. In ZF, the Axiom of Countable Choice (ACω) is required to prove that these equivalence classes form a mathematically complete field.
1. The Setup: Rational Cauchy Sequences
We begin within ZF (Zermelo-Fraenkel set theory without Choice). We assume the rational numbers, Q, have already been constructed.
・A Cauchy sequence of rationals is defined as a function f: N → Q such that for every rational ε > 0, there exists an integer N such that for all m, n > N:
｜f(m) - f(n)｜ < ε
・Let C be the collection of all such Cauchy sequences. This forms a set via the Axiom of Replacement and the Power Set Axiom.

2. The Equivalence Relation
Intuitively, two sequences represent the same real number if and only if the distance between their terms tends to 0 as n → ∞.
・We define a relation 〜 on C by f 〜 g if and only if lim_n → ∞ ｜f(n) - g(n)｜ = 0).
・This relation 〜 is an equivalence relation.
・The set of real numbers R is defined as the set of equivalence classes:R = C / 〜

3. Arithmetic Operations
The algebraic field operations (addition and multiplication) are defined pointwise on the sequences:
・(𝑓+𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)+𝑔(𝑛)
・(𝑓⋅𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)⋅𝑔(𝑛)
We must verify that these operations are well-defined (i.e., if f_1 〜 f_2 and g_1 〜 g_2, then f_1 + g_1 〜 f_2 + g_2). This is entirely proven within standard ZF and requires no choice axioms.

つづく

つづき

4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.

5. Alternative Without Choice: Dedekind Cuts
If we strictly want to avoid the Axiom of Countable Choice altogether in ZF, mathematicians typically use the Dedekind cut construction instead of Cauchy sequences. Dedekind reals construct the continuum directly by partitioning Q into two non-empty sets (a lower set and an upper set), bypassing the need to patch together sequences and invoke choice functions.

If you are interested, I can help you by:
・Comparing the Cauchy vs. Dedekind constructions in ZF
・Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
・Explaining how these real number models differ without choice
Let me know how you'd like to proceed!

追加検索
Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
結果
The relationship between the Axiom of Countable Choice (AC_ω) and the Axiom of Dependent Choice (DC) is hierarchical. Both are weak forms of the full Axiom of Choice (AC) used to restore standard analysis in ZF, but DC is strictly stronger than AC_ω.
略
4. Impact on Real Numbers and Analysis
While AC_ω is enough to construct the real numbers via Cauchy sequences and prove that R is Cauchy complete, it is not enough for other fundamental properties of calculus.
・What AC_ω can do: It proves that every countable union of countable sets is countable, and that the regular Cauchy completion of Q equals the Dedekind completion.

つづく

つづき
（関連ページ）
https://www.reddit.com/r/math/comments/1kcnu7l/are_cauchy_sequences_the_most_useful_ways_to/
質問 r/math
1年前
PhantomSasuke
Are Cauchy sequences the most useful ways to define Real numbers?
Proof assistants like lean define real numbers as equivalence classes of Cauchy sequences which allows it to formalise the various results in analysis and so on.
I was curious if alternate definitions (such as Dedekind cuts) of the real numbers could be used to streamline/reduce the complexity of formal proofs.
（回答(抜粋)）
Melchoir
1 年前
In the context of Lean, Kevin Buzzard started a thread asking a related question in 2019 here, then wrote some thoughts on the topic in 2020 here.
The current documentation for the standard library addresses the choice in Mathlib.Data.Real.Basic:
This choice is motivated by how easy it is to prove that ℝ is a commutative ring, by simply lifting everything to ℚ.
There is some further discussion of different constructions in Mathlib.Topology.UniformSpace.CompareReals, hinting that Dedekind hasn't been done:

Thesaurius
1 年前
I personally really like the construction using Cauchy sequences, because to me it is the most clear one. But the Cauchy Reals have less constructive power than Dedekind Reals, in the sense that without assuming further axioms, the second implies the first, but not the other way round. There are a dozen or so ways to construct the Reals, and they form a hierarchy of strength, Dedekind Reals being on the top (together with a few other constructions).
The comparisons are done in a paper where there is also a strict definition of strength, but I unfortunately can't find it anymore. Also: In the classical setting of ZFC, all the constructions are equivalent, so as long as you only do classical math, it doesn't really matter which one you use.
(引用終り)
以上

>>235
>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

サルの悪い癖
正解を提示されているのに無視して独善持論を繰り返す

重度NPD患者だから絶対に間違いを認めない
病院行け

>>235-237
前スレからの引用再録
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

これは、google AI概要で まあまあだろう（>>235-237の英文を読むか 自分でAI壁打ちをしな。英語でね。日本語はダメ）
上記をもとに >>235-237についてみると

>>222
>つまり 0,0,・・・ はコーシー列でないと言いたいの？

意図が分らん
我々は、ZF公理系(選択公理C無し)で有理数Qが構成されたあとの
実数Rの構成を論じている。つまり、有理数Qを使って → 無理数を構成すること
コーシー列 0,0,・・・ は、無理数を構成しない

>>224
>（定義できないと言っていたのに今では完備性の証明ができないに主張をねじ曲げましたね）

誤解だよ >>235に引用したが 前スレ830の2026/06/04で
すでに 下記 を示している
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

>>225
>コーシー列の同値類で実数を作る場合

コーシー列の同値類で実数を作る場合に
>>236に前スレから引用してあるが googleのAIは下記
”4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.”

>>238
>実数の公理から

実数の公理を裏口から密輸している
ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ

（嘘しか書かないのだな）

>>238
>>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
>https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
>を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

意味分らん
そのリンク先は
(引用開始)
>選択公理抜きの ZF だけの 有理コーシー列による実数構成を きちんと最後までやってもらえ
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
(引用終り)
だね

で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
例えば
Tarski's axiomatization of the reals
とか
それ 笑えるんだけど？（＾＾

>>241
>コーシー列 0,0,・・・ は、無理数を構成しない
3,3.1,3.14,3.141,・・・が属す同値類は無理数を構成しないと？　頭大丈夫？

>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

>”4. The Role of Countable Choice
ソースは？

>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
これは酷い
ZF公理系で構成された集合が実数の公理を満たすことを示すことが構成のゴールって理解できないの？
君、根本から分かってないね　とてもじゃないが数学は無理だから諦めたら？

>>231
ξn=(Xn,Yn)
(ξn)がコーシー列とは
0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: ξi<ξj+ε∧ξj<ξi+ε
ということだが
ε>0
なので
0<ε∈Q
でよくて
ξi=(XiYi)<ξj+ε=(Xj+ε,Yj+ε)
とは
Xi⊂Xj+ε
ξj=(XjYj)<ξi+ε=(Xi+ε,Yi+ε)
とは
Xj⊂Xi+ε
てこと
つまりコーシー列であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
が成立するということ
そして
η=(X,Y)
が
η=limξn
であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: Xi⊂X+ε∧X⊂Xi+ε
ということ
ここで
X=∩Xj
とすると
n<i,j
について
X⊂Xj⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε
より
Xi⊂∩Xj+ε=X+ε
もOKだから
このηが
η=limξn
ということすなわち
R={(X,Y)|X,Y≠φ,X∪Y=Q,∀x∈X,∀y∈Y,∃z∈Y: x<z<y}
は完備

>>243
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾
あぁ、君、根本から分かってないね
それは実数の公理な
ZF公理系で構成された集合が実数の公理を満たすことを示さないと構成できたことにならんって理解できないの？　初歩の初歩の初歩からちんぷんかんぷんなんだね

テンプレ入りです
>・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
>　完備であることの証明はできない

サルは初歩の初歩の初歩からちんぷんかんぷんで迷言連発しとるな
ここまで頭悪いと自分が馬鹿であることすら認識できないんだろう
畜生は手に負えんな

>>230
コーシー列による実数の構成でもこのηがlimξnであることの証明は>>225-227,229の流れで何とかなりそう

ホームラン級のバカ発言
>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
と
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾
もテンプレ入りで

サルの習性・・・文書から単語を抜き取って勝手に妄想膨らませる。
例えば「太陽は日光を放射し、それが物体に当たると暗い影を作る」という文章から「日光」と「暗い」を抜き取って「日光は暗いんだ！」と主張する。
文書を読む能力が決定的に壊滅している。検索＆コピペで分かってるフリしてきた長年の習慣の弊害だろう。

>>245
>X=∩Xj
>とすると
コリャあかんな
やっぱ
X=∩{∪{Xj|n<j}|n∈N}
でないと
でこれで
X⊂∪{Xj|n<j}⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε⊂∪{Xj|n<j}+ε
より
Xi⊂∩{∪{Xj|n<j}|n∈N}+ε=X+ε
もOK

だから「コピペをやめて初歩の初歩から地道に勉強しろ」とアドバイスしてるのにサルは決して言うことを聞かない
重度NPD患者だからアドバイスを敵対行為と受け取ってしまう
病気を治さない限りどうにもならんぞサル

Q.NPD患者は他者からの善意のアドバイスを敵対行為と受け取ってしまいますか？
A.
はい、自己愛性パーソナリティ障害（NPD）の患者は、善意のアドバイスであっても「自分への批判」や「攻撃」として受け取ってしまうことが非常に多いです。これは彼らの抱える「自分は完璧で特別でなければならない」という強い防衛機制によるものです。
具体的な理由は以下の通りです。
・アドバイス＝能力の否定と解釈： 誰かから改善点などを指摘されると、「自分は劣っていると言われた」「自分を支配しようとしている」と歪んで認識してしまいます。
・プライドの防衛： 理想の自分を保つために、指摘や助言を「敵の敵対行為」として捉え、激しい怒りを示したり、逆に無視（シンプソン）したりして自分を守ろうとします。
そのため、彼らにアドバイスをする際は、真っ向から改善点を伝えるのではなく、工夫が必要です。
もしよろしければ、以下のような状況について教えていただけますか？
・その方との関係性（例：職場、家族、友人など）
・どのようなシチュエーションでアドバイスが必要になったか
・過去にアドバイスをした際、相手がどのような反応を示したか
具体的な状況を共有していただければ、相手を無用に刺激せず、安全でスムーズにコミュニケーションをとるための具体的な対処法をアドバイスできます。

>>252
説明ちょっと分かりにくかったかも
X=∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}
としたとき
n<∀i,j: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
なので
X=∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}⊂∪{Xj|n<j}
このn<jであるXjはすべて
Xj⊂Xi+ε
なので
∪{Xj|n<j}⊂Xi+ε
よって
X⊂Xi+ε
はOK
次に
Xiはn<jであるすべてのXjについて
Xi⊂Xj+ε
なので
∀m∈N
で
m,n<∀j: Xi⊂Xj+ε
つまり
Xi⊂∪{Xj|m,n<j}+ε⊂∪{Xj|m<j}+ε
だから
Xi⊂∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}+ε=X+ε
もOK
よって
η=(X,Q-X)
は
η=limξn

おサルの持論「有理コーシー列を作るには無限回の選択が必要」は見当外れな妄想。
実際
0,0,・・・
3,3.1,3.14,・・・,[π×10^n]/10^n,・・・　（[x]はxを超えない最大の整数）
は有理コーシー列。無限回の選択は不要。
そしてZF公理系における有理数列全体の集合 Q^N の存在を>>174と>>92で完全に示している。
よって不服なら>>174と>>92に具体的に反論するしかない。一方的に独善妄想を吐いても反論になっていない。

教えられなくても理解するのが利口者。
教えられて理解するのが普通のバカ。
サルは教えられても理解できない。

重度NPD患者だから「俺の持論が間違っているはずがない」と思い込み理解を妨げているのだろう。だからまず病気を治せと言ってるのに人のアドバイスを聞かないサル。

サル病

>よって不服なら>>174と>>92に具体的に反論するしかない。一方的に独善妄想を吐いても反論になっていない。
サルは箱入り無数目でも一方的に独善妄想を吐くばかりで記事の証明への具体的反論は皆無。
数学どうこう以前に議論の仕方を知らない。

整数の準同形ぽい写像で直接実数作ることができるらしいよ
作り方見たらm/n∈Qをすっとばすのに準同形ぽい写像使ってるだけだから
全く異なるって感じでも無かったけど

Qのコーシー列も
X=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
で
(X,Q-X)
が切断だから
本質的には変わらない定義と言える

>>244-259
ここは 中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが

１）抽象化された現代数学では、数学的対象の存在と その数学的対象の性質とを分離して考えることが多い
　例えば 単位的環がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0
　”単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) とは[注釈 1]、乗法単位元を持つ環のことである”
　もし 単位元が存在すれば 環の中では一意である
（ chiebukuro.yahoo ”Rを環とすると、零元と単位元は一意的に定めることを示してください” 2023/4/15 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13278590893）

２）似た例は いろいろあるだろうが 例えば O–T L2 extension theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Ohsawa%E2%80%93Takegoshi_L2_extension_theorem
　とかね（ある条件を満たすn次元複素関数が より高次の空間に 拡張が存在する）
　存在がいえると、その関数の性質はどうか？ と考えるのが 人の常

３）さて、>>173に示したように ZFC公理系で (Cの選択公理以外で)
　3）分出公理図式：部分集合、4）対の公理：xと y を元とする集合、5）和集合の公理 があり
　そして 6）置換公理図式：定義可能な関数において集合の像も集合内にある （例えて簡便にいえば 他の3〜4）などの組み合わせ可だと）

４）集合に整列順序を与える公理が必要で それが 9）選択公理で 英語ではChoice のCで表して ZFCとなる
　実は、こいつは 多様な働きをする (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 )
　整列可能定理、ツォルン補題、比較可能定理（任意の集合の濃度は比較可能である）
　直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）
　ベクトル空間における基底の存在（全てのベクトル空間は基底を持つ）
　チコノフの定理（コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクト）など

５）コーシー列と直接関係するのが
　整列可能定理と 直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）の二つ
　整列可能定理で、有理数Qから 可算ωの整列が生成できる。それに収束という色を付ければ コーシー列
　直積定理で Q^Nを作れば (q0,q1,q2,・・・) の存在が言える これに収束という色を付ければ コーシー列ができる

このように、選択公理Cを認めれば 無限列や 無限直積の存在がいえて （両者の存在が同値であることを再度強調しておく）
コーシー列の存在も容易に言えるだろう（少なくとも 選択公理Cを使わない場合よりも容易にね）
可算ωに限れば、選択公理C→可算選択公理ACω で間に合う

そして、後の展開も楽だ
つまり、有理数Qからコーシー列とかで 実数の集合Rを作ったとして
直後に Rのコーシー列が必要になる 完備をいうために
そのときになって 選択公理Cを使うならば、最初から認めておけば良い その方が話の展開が楽だってこと

勿論、基礎論として 何がどこまで厳密に必要なのか は、学術的には重要である
それは、基礎論屋さんがやれば良いし それはもう終わっている話だろう■ （＾＾

我々のよく知る実数の集合RのI=(0,1]の元にはよく知られた2進展開表記があります
有限小数つまり分母が2べきの分数には2通りの表記があるので
長い方にしておきましょうか
すると2進表記に必ず1が無限個使われることになるので
J={(xm)∈2^N|∀n∈N,n<∃m∈N:xm=1}→I:(xm)→Σxm/2^m+1
が全単射になります
全単射ですのでこの逆写像が存在し
fn:(0,1]→J→Fn={(xm)∈2^N|n<∀m:xm=0}→I∩Q:Σxm/2^m+1→Σ{xm/2^m|m<n}
とすると
(0,1]→CS(Q):x→(fn(x))
が定義できこれが実数にコーシー列を対応させる写像に拡張できますね
ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか

（嘘しか書かない）

>>262
>けれどコーシー列や切断から作られるRは
>どちらも実数の公理を満たすので同じもの

ご苦労様です

”どちらも実数の公理を満たすので同じもの”は、ZFCでは いろいろ文献があるようで
問題は、C抜きのZFそのまんまで どこまで言えるか？ですね
（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）

>>264
>ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか
具体的にはこうかな？
Z/2^n={m/2^n|m∈Z}
と書くことにしたらこれはZと全単射だから
切断(X,Y)に対して
X∩Z/2^n→Z:x→(2^n)x
の像が上に有界だから最大値があるので
それを与えるxをxnとすれば
(xn)はコーシー列であってここから
X=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
が復元できそう

つまり
具体的にQの上で切断とコーシー列との相互の対応を構成できて
それらが定義する"実数"は同じものと示せるわけか

（嘘しか書かない）

>>263
>集合に整列順序を与える公理が必要で それが 9）選択公理で 英語ではChoice のCで表して ZFCとなる
はい、大間違いです。
選択公理は整列順序を与える公理ではありません。実際、選択公理に依ることなく可算集合も順序数も整列集合です。

>コーシー列と直接関係するのが整列可能定理と 直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）の二つ
はい、大間違いです。

>整列可能定理で、有理数Qから 可算ωの整列が生成できる。それに収束という色を付ければ コーシー列
トンチンカンです。
整列可能定理に依ることなく有理コーシー列 0,0,・・・ の存在が言えます。

>直積定理で Q^Nを作れば (q0,q1,q2,・・・) の存在が言える これに収束という色を付ければ コーシー列ができる
はい、大間違いです。
直積定理に依ることなく Q^N の存在も有理コーシー列 0,0,・・・ の存在も言えます。

>このように、選択公理Cを認めれば 無限列や 無限直積の存在がいえて
はい、大間違いです。
実際認めなくても言えますから。

>（両者の存在が同値であることを再度強調しておく）
はい、大間違いです。
有理数列とはNからQへの写像、その全体が Q^N です。

>コーシー列の存在も容易に言えるだろう（少なくとも 選択公理Cを使わない場合よりも容易にね）
0,0,・・・ はコーシー列でないと？　頭だいじょうぶ？

>可算ωに限れば、選択公理C→可算選択公理ACω で間に合う
そもそも選択公理が不要

>そして、後の展開も楽だ
>つまり、有理数Qからコーシー列とかで 実数の集合Rを作ったとして
>直後に Rのコーシー列が必要になる 完備をいうために
>そのときになって 選択公理Cを使うならば、最初から認めておけば良い その方が話の展開が楽だってこと
0,0,・・・ はコーシー列でないと？　頭だいじょうぶ？

>勿論、基礎論として 何がどこまで厳密に必要なのか は、学術的には重要である
実数の構成に選択公理は不要

>それは、基礎論屋さんがやれば良いし それはもう終わっている話だろう■ （＾＾
不要で終わってる

>>181
なんで区別をつける必要があるんですか!？
区別をつける必要なんてないじゃないですか！
（自問自答）

KFCのCはchickenのCです。

>>266
>”どちらも実数の公理を満たすので同じもの”は、ZFCでは いろいろ文献があるようで
つまりあなたはまったく理解していないと。

>問題は、C抜きのZFそのまんまで どこまで言えるか？ですね
同型の違いを除いて一意であることが言えます。なぜなら実数の公理は二階の言語で記述されており（連続の公理は任意の上に有界な非空部分集合についての主張）範疇性が従うから。
ペアノ算術には超準モデルが存在するがペアノの公理には標準モデルしか存在しないのとまったく同じ理由で実閉体には超準モデルが存在するが実数体には標準モデルしか存在しません。

>（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）
まったくデタラメな妄言です。

>>271
それはおサルさん（現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP）が「数列を作るには無限回の選択が必要」と妄想しており、「証明の有限性に反する」とトンチンカンな言いがかりをしてるだけですねー
もともとが妄想にもとづく誤解から生まれた言いがかりなので無視でおｋ