スレタイ箱入り無数目を語る部屋31(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part5ｗ)

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/
前スレ スレタイ箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part4ｗ)

(参考)時枝記事
https://imgur.com/uMqtRwr
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の最初
https://imgur.com/YAdz2Mz
時枝 箱入り無数目（数学セミナー201511月号の記事）の後

数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1620904362/401-406 純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

>>218
>１）”Each set in the countable sequence of sets (Si) = S1, S2, S3, ... contains a non-zero, and possibly infinite (or even uncountably infinite), number of elements. The axiom of countable choice allows us to arbitrarily select a single element from each set, forming a corresponding sequence of elements (xi) = x1, x2, x3, ...”
>　とありますがなｗ
>２）”ACω is particularly useful for the development of mathematical analysis, where many results depend on having a choice function for a countable collection of sets of real numbers. For instance, in order to prove that every accumulation point x of a set S⊆R is the limit of some sequence of elements of S∖{x}, one needs (a weak form of) the axiom of countable choice.”
>　とありますがなｗ
「実数の構成に選択公理が必要」なんて書いてありませんがなｗ

>下記”Axiom of countable choice”（可算選択公理）と ”Axiom of dependent choice”（従属選択公理）を 百回音読しよう！ （＾＾
何回音読しても勝手読みしたら無意味。むしろ勝手読みにより変な妄想抱くくらいなら一回も読まない方がマシ。

一回も読まなければさすがに分かった気にならないだろう。
勝手読みで分かった気になって変な妄想が正しいと信じ込むのは害悪でしかない。

２０℃
晴れ時々くもり

>>222-234
ID:3ZBTbAUT は、御大か
巡回とお天気日誌ありがとうございます

さて、前スレより再録
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/831-833
>>830
なるほど・・・
君の論にも一理ある
が >>829にも一理あるぞ

つまり 下記 google検索で
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

まあ、おサルさんと痛み分けか・・（＾＾

(google検索)
Construction of real numbers using rational Cauchy sequences and Axiom of countable choice in ZF axiomatic set theory
AI概要
Constructing real numbers as equivalence classes of rational Cauchy sequences formalizes the idea that any real number is the limit of approximations. In ZF, the Axiom of Countable Choice (ACω) is required to prove that these equivalence classes form a mathematically complete field.
1. The Setup: Rational Cauchy Sequences
We begin within ZF (Zermelo-Fraenkel set theory without Choice). We assume the rational numbers, Q, have already been constructed.
・A Cauchy sequence of rationals is defined as a function f: N → Q such that for every rational ε > 0, there exists an integer N such that for all m, n > N:
｜f(m) - f(n)｜ < ε
・Let C be the collection of all such Cauchy sequences. This forms a set via the Axiom of Replacement and the Power Set Axiom.

2. The Equivalence Relation
Intuitively, two sequences represent the same real number if and only if the distance between their terms tends to 0 as n → ∞.
・We define a relation 〜 on C by f 〜 g if and only if lim_n → ∞ ｜f(n) - g(n)｜ = 0).
・This relation 〜 is an equivalence relation.
・The set of real numbers R is defined as the set of equivalence classes:R = C / 〜

3. Arithmetic Operations
The algebraic field operations (addition and multiplication) are defined pointwise on the sequences:
・(𝑓+𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)+𝑔(𝑛)
・(𝑓⋅𝑔)(𝑛)=𝑓(𝑛)⋅𝑔(𝑛)
We must verify that these operations are well-defined (i.e., if f_1 〜 f_2 and g_1 〜 g_2, then f_1 + g_1 〜 f_2 + g_2). This is entirely proven within standard ZF and requires no choice axioms.

つづく

つづき

4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.

5. Alternative Without Choice: Dedekind Cuts
If we strictly want to avoid the Axiom of Countable Choice altogether in ZF, mathematicians typically use the Dedekind cut construction instead of Cauchy sequences. Dedekind reals construct the continuum directly by partitioning Q into two non-empty sets (a lower set and an upper set), bypassing the need to patch together sequences and invoke choice functions.

If you are interested, I can help you by:
・Comparing the Cauchy vs. Dedekind constructions in ZF
・Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
・Explaining how these real number models differ without choice
Let me know how you'd like to proceed!

追加検索
Expanding on how (AC_ω) relates to the Axiom of Dependent Choice (DC)
結果
The relationship between the Axiom of Countable Choice (AC_ω) and the Axiom of Dependent Choice (DC) is hierarchical. Both are weak forms of the full Axiom of Choice (AC) used to restore standard analysis in ZF, but DC is strictly stronger than AC_ω.
略
4. Impact on Real Numbers and Analysis
While AC_ω is enough to construct the real numbers via Cauchy sequences and prove that R is Cauchy complete, it is not enough for other fundamental properties of calculus.
・What AC_ω can do: It proves that every countable union of countable sets is countable, and that the regular Cauchy completion of Q equals the Dedekind completion.

つづく

つづき
（関連ページ）
https://www.reddit.com/r/math/comments/1kcnu7l/are_cauchy_sequences_the_most_useful_ways_to/
質問 r/math
1年前
PhantomSasuke
Are Cauchy sequences the most useful ways to define Real numbers?
Proof assistants like lean define real numbers as equivalence classes of Cauchy sequences which allows it to formalise the various results in analysis and so on.
I was curious if alternate definitions (such as Dedekind cuts) of the real numbers could be used to streamline/reduce the complexity of formal proofs.
（回答(抜粋)）
Melchoir
1 年前
In the context of Lean, Kevin Buzzard started a thread asking a related question in 2019 here, then wrote some thoughts on the topic in 2020 here.
The current documentation for the standard library addresses the choice in Mathlib.Data.Real.Basic:
This choice is motivated by how easy it is to prove that ℝ is a commutative ring, by simply lifting everything to ℚ.
There is some further discussion of different constructions in Mathlib.Topology.UniformSpace.CompareReals, hinting that Dedekind hasn't been done:

Thesaurius
1 年前
I personally really like the construction using Cauchy sequences, because to me it is the most clear one. But the Cauchy Reals have less constructive power than Dedekind Reals, in the sense that without assuming further axioms, the second implies the first, but not the other way round. There are a dozen or so ways to construct the Reals, and they form a hierarchy of strength, Dedekind Reals being on the top (together with a few other constructions).
The comparisons are done in a paper where there is also a strict definition of strength, but I unfortunately can't find it anymore. Also: In the classical setting of ZFC, all the constructions are equivalent, so as long as you only do classical math, it doesn't really matter which one you use.
(引用終り)
以上

>>235
>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

サルの悪い癖
正解を提示されているのに無視して独善持論を繰り返す

重度NPD患者だから絶対に間違いを認めない
病院行け

>>235-237
前スレからの引用再録
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

これは、google AI概要で まあまあだろう（>>235-237の英文を読むか 自分でAI壁打ちをしな。英語でね。日本語はダメ）
上記をもとに >>235-237についてみると

>>222
>つまり 0,0,・・・ はコーシー列でないと言いたいの？

意図が分らん
我々は、ZF公理系(選択公理C無し)で有理数Qが構成されたあとの
実数Rの構成を論じている。つまり、有理数Qを使って → 無理数を構成すること
コーシー列 0,0,・・・ は、無理数を構成しない

>>224
>（定義できないと言っていたのに今では完備性の証明ができないに主張をねじ曲げましたね）

誤解だよ >>235に引用したが 前スレ830の2026/06/04で
すでに 下記 を示している
・カントール流のコーシー列による実数構成には、AC_ω つまり Axiom of countable choiceが必要で
　AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
　完備であることの証明はできない
・なお、実数の構成から進んで 実解析などを行うには
　Axiom of Dependent Choice (DC)が必要だと

>>225
>コーシー列の同値類で実数を作る場合

コーシー列の同値類で実数を作る場合に
>>236に前スレから引用してあるが googleのAIは下記
”4. The Role of Countable Choice
The crucial property of R is Cauchy completeness: every Cauchy sequence of real numbers must converge to a real number.
・The Problem: Suppose we have a Cauchy sequence of real numbers (x_k)_k ∈ N. By definition, each real number x_k is an equivalence class of Cauchy sequences of rationals. To prove that the sequence of reals converges to a real limit, we must "choose" a specific rational Cauchy sequence representative (f_k) from each equivalence class x_k.
・The Solution: Because we must select an infinite sequence of representatives—one for each natural number k—this selection process is governed by the Axiom of Countable Choice (ACω). AC_ω states that every countable family of non-empty sets has a choice function.
With AC_ω, we can simultaneously select a representative sequence of rationals for each element in our Cauchy sequence of reals, allowing us to build the diagonal sequence that forms the limit. Thus, Countable Choice ensures that the Cauchy completion of the rationals is itself a Cauchy complete field.”

>>238
>実数の公理から

実数の公理を裏口から密輸している
ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ

（嘘しか書かないのだな）

>>238
>>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
>https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
>を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

意味分らん
そのリンク先は
(引用開始)
>選択公理抜きの ZF だけの 有理コーシー列による実数構成を きちんと最後までやってもらえ
https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
(引用終り)
だね

で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
例えば
Tarski's axiomatization of the reals
とか
それ 笑えるんだけど？（＾＾

>>241
>コーシー列 0,0,・・・ は、無理数を構成しない
3,3.1,3.14,3.141,・・・が属す同値類は無理数を構成しないと？　頭大丈夫？

>AC_ωを使って、Qを完備したものが実数Rであることが証明できる
https://rio2016.5ch.io/test/read.cgi/math/1778894782/875
を読めないバカがまた嘘デタラメを撒き散らしとる

>”4. The Role of Countable Choice
ソースは？

>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
これは酷い
ZF公理系で構成された集合が実数の公理を満たすことを示すことが構成のゴールって理解できないの？
君、根本から分かってないね　とてもじゃないが数学は無理だから諦めたら？

>>231
ξn=(Xn,Yn)
(ξn)がコーシー列とは
0<∀ε∈R,∃n∈N,n<∀i,j∈N: ξi<ξj+ε∧ξj<ξi+ε
ということだが
ε>0
なので
0<ε∈Q
でよくて
ξi=(XiYi)<ξj+ε=(Xj+ε,Yj+ε)
とは
Xi⊂Xj+ε
ξj=(XjYj)<ξi+ε=(Xi+ε,Yi+ε)
とは
Xj⊂Xi+ε
てこと
つまりコーシー列であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
が成立するということ
そして
η=(X,Y)
が
η=limξn
であるとは
0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i∈N: Xi⊂X+ε∧X⊂Xi+ε
ということ
ここで
X=∩Xj
とすると
n<i,j
について
X⊂Xj⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε
より
Xi⊂∩Xj+ε=X+ε
もOKだから
このηが
η=limξn
ということすなわち
R={(X,Y)|X,Y≠φ,X∪Y=Q,∀x∈X,∀y∈Y,∃z∈Y: x<z<y}
は完備

>>243
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾
あぁ、君、根本から分かってないね
それは実数の公理な
ZF公理系で構成された集合が実数の公理を満たすことを示さないと構成できたことにならんって理解できないの？　初歩の初歩の初歩からちんぷんかんぷんなんだね

テンプレ入りです
>・一方、Dedekind Cutsを使うと なんらの選択公理は不要だが
>　完備であることの証明はできない

サルは初歩の初歩の初歩からちんぷんかんぷんで迷言連発しとるな
ここまで頭悪いと自分が馬鹿であることすら認識できないんだろう
畜生は手に負えんな

>>230
コーシー列による実数の構成でもこのηがlimξnであることの証明は>>225-227,229の流れで何とかなりそう

ホームラン級のバカ発言
>実数の公理を裏口から密輸している
>ZFC公理系で 実数の公理なんて使えないぞ
と
>で https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
>を見ると、ZF公理系の話では無いだろ
>例えば
>Tarski's axiomatization of the reals
>とか
>それ 笑えるんだけど？（＾＾
もテンプレ入りで

サルの習性・・・文書から単語を抜き取って勝手に妄想膨らませる。
例えば「太陽は日光を放射し、それが物体に当たると暗い影を作る」という文章から「日光」と「暗い」を抜き取って「日光は暗いんだ！」と主張する。
文書を読む能力が決定的に壊滅している。検索＆コピペで分かってるフリしてきた長年の習慣の弊害だろう。

>>245
>X=∩Xj
>とすると
コリャあかんな
やっぱ
X=∩{∪{Xj|n<j}|n∈N}
でないと
でこれで
X⊂∪{Xj|n<j}⊂Xi+ε
はOK
Xi⊂Xj+ε⊂∪{Xj|n<j}+ε
より
Xi⊂∩{∪{Xj|n<j}|n∈N}+ε=X+ε
もOK

だから「コピペをやめて初歩の初歩から地道に勉強しろ」とアドバイスしてるのにサルは決して言うことを聞かない
重度NPD患者だからアドバイスを敵対行為と受け取ってしまう
病気を治さない限りどうにもならんぞサル

Q.NPD患者は他者からの善意のアドバイスを敵対行為と受け取ってしまいますか？
A.
はい、自己愛性パーソナリティ障害（NPD）の患者は、善意のアドバイスであっても「自分への批判」や「攻撃」として受け取ってしまうことが非常に多いです。これは彼らの抱える「自分は完璧で特別でなければならない」という強い防衛機制によるものです。
具体的な理由は以下の通りです。
・アドバイス＝能力の否定と解釈： 誰かから改善点などを指摘されると、「自分は劣っていると言われた」「自分を支配しようとしている」と歪んで認識してしまいます。
・プライドの防衛： 理想の自分を保つために、指摘や助言を「敵の敵対行為」として捉え、激しい怒りを示したり、逆に無視（シンプソン）したりして自分を守ろうとします。
そのため、彼らにアドバイスをする際は、真っ向から改善点を伝えるのではなく、工夫が必要です。
もしよろしければ、以下のような状況について教えていただけますか？
・その方との関係性（例：職場、家族、友人など）
・どのようなシチュエーションでアドバイスが必要になったか
・過去にアドバイスをした際、相手がどのような反応を示したか
具体的な状況を共有していただければ、相手を無用に刺激せず、安全でスムーズにコミュニケーションをとるための具体的な対処法をアドバイスできます。

>>252
説明ちょっと分かりにくかったかも
X=∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}
としたとき
n<∀i,j: Xi⊂Xj+ε∧Xj⊂Xi+ε
なので
X=∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}⊂∪{Xj|n<j}
このn<jであるXjはすべて
Xj⊂Xi+ε
なので
∪{Xj|n<j}⊂Xi+ε
よって
X⊂Xi+ε
はOK
次に
Xiはn<jであるすべてのXjについて
Xi⊂Xj+ε
なので
∀m∈N
で
m,n<∀j: Xi⊂Xj+ε
つまり
Xi⊂∪{Xj|m,n<j}+ε⊂∪{Xj|m<j}+ε
だから
Xi⊂∩{∪{Xj|m<j}|m∈N}+ε=X+ε
もOK
よって
η=(X,Q-X)
は
η=limξn

おサルの持論「有理コーシー列を作るには無限回の選択が必要」は見当外れな妄想。
実際
0,0,・・・
3,3.1,3.14,・・・,[π×10^n]/10^n,・・・　（[x]はxを超えない最大の整数）
は有理コーシー列。無限回の選択は不要。
そしてZF公理系における有理数列全体の集合 Q^N の存在を>>174と>>92で完全に示している。
よって不服なら>>174と>>92に具体的に反論するしかない。一方的に独善妄想を吐いても反論になっていない。

教えられなくても理解するのが利口者。
教えられて理解するのが普通のバカ。
サルは教えられても理解できない。

重度NPD患者だから「俺の持論が間違っているはずがない」と思い込み理解を妨げているのだろう。だからまず病気を治せと言ってるのに人のアドバイスを聞かないサル。

サル病

>よって不服なら>>174と>>92に具体的に反論するしかない。一方的に独善妄想を吐いても反論になっていない。
サルは箱入り無数目でも一方的に独善妄想を吐くばかりで記事の証明への具体的反論は皆無。
数学どうこう以前に議論の仕方を知らない。

整数の準同形ぽい写像で直接実数作ることができるらしいよ
作り方見たらm/n∈Qをすっとばすのに準同形ぽい写像使ってるだけだから
全く異なるって感じでも無かったけど

Qのコーシー列も
X=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
で
(X,Q-X)
が切断だから
本質的には変わらない定義と言える

>>244-259
ここは 中高一貫生も来るから ハッキリと書いておくが

１）抽象化された現代数学では、数学的対象の存在と その数学的対象の性質とを分離して考えることが多い
　例えば 単位的環がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%9A%84%E7%92%B0
　”単位元を持つ環 (ring with unit/unity/identity) とは[注釈 1]、乗法単位元を持つ環のことである”
　もし 単位元が存在すれば 環の中では一意である
（ chiebukuro.yahoo ”Rを環とすると、零元と単位元は一意的に定めることを示してください” 2023/4/15 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13278590893）

２）似た例は いろいろあるだろうが 例えば O–T L2 extension theorem https://en.wikipedia.org/wiki/Ohsawa%E2%80%93Takegoshi_L2_extension_theorem
　とかね（ある条件を満たすn次元複素関数が より高次の空間に 拡張が存在する）
　存在がいえると、その関数の性質はどうか？ と考えるのが 人の常

３）さて、>>173に示したように ZFC公理系で (Cの選択公理以外で)
　3）分出公理図式：部分集合、4）対の公理：xと y を元とする集合、5）和集合の公理 があり
　そして 6）置換公理図式：定義可能な関数において集合の像も集合内にある （例えて簡便にいえば 他の3〜4）などの組み合わせ可だと）

４）集合に整列順序を与える公理が必要で それが 9）選択公理で 英語ではChoice のCで表して ZFCとなる
　実は、こいつは 多様な働きをする (https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 )
　整列可能定理、ツォルン補題、比較可能定理（任意の集合の濃度は比較可能である）
　直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）
　ベクトル空間における基底の存在（全てのベクトル空間は基底を持つ）
　チコノフの定理（コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクト）など

５）コーシー列と直接関係するのが
　整列可能定理と 直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）の二つ
　整列可能定理で、有理数Qから 可算ωの整列が生成できる。それに収束という色を付ければ コーシー列
　直積定理で Q^Nを作れば (q0,q1,q2,・・・) の存在が言える これに収束という色を付ければ コーシー列ができる

このように、選択公理Cを認めれば 無限列や 無限直積の存在がいえて （両者の存在が同値であることを再度強調しておく）
コーシー列の存在も容易に言えるだろう（少なくとも 選択公理Cを使わない場合よりも容易にね）
可算ωに限れば、選択公理C→可算選択公理ACω で間に合う

そして、後の展開も楽だ
つまり、有理数Qからコーシー列とかで 実数の集合Rを作ったとして
直後に Rのコーシー列が必要になる 完備をいうために
そのときになって 選択公理Cを使うならば、最初から認めておけば良い その方が話の展開が楽だってこと

勿論、基礎論として 何がどこまで厳密に必要なのか は、学術的には重要である
それは、基礎論屋さんがやれば良いし それはもう終わっている話だろう■ （＾＾

我々のよく知る実数の集合RのI=(0,1]の元にはよく知られた2進展開表記があります
有限小数つまり分母が2べきの分数には2通りの表記があるので
長い方にしておきましょうか
すると2進表記に必ず1が無限個使われることになるので
J={(xm)∈2^N|∀n∈N,n<∃m∈N:xm=1}→I:(xm)→Σxm/2^m+1
が全単射になります
全単射ですのでこの逆写像が存在し
fn:(0,1]→J→Fn={(xm)∈2^N|n<∀m:xm=0}→I∩Q:Σxm/2^m+1→Σ{xm/2^m|m<n}
とすると
(0,1]→CS(Q):x→(fn(x))
が定義できこれが実数にコーシー列を対応させる写像に拡張できますね
ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか

（嘘しか書かない）

>>262
>けれどコーシー列や切断から作られるRは
>どちらも実数の公理を満たすので同じもの

ご苦労様です

”どちらも実数の公理を満たすので同じもの”は、ZFCでは いろいろ文献があるようで
問題は、C抜きのZFそのまんまで どこまで言えるか？ですね
（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）

>>264
>ならば切断からコーシー列への写像も選択公理使わずに構成できるか
具体的にはこうかな？
Z/2^n={m/2^n|m∈Z}
と書くことにしたらこれはZと全単射だから
切断(X,Y)に対して
X∩Z/2^n→Z:x→(2^n)x
の像が上に有界だから最大値があるので
それを与えるxをxnとすれば
(xn)はコーシー列であってここから
X=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
が復元できそう

つまり
具体的にQの上で切断とコーシー列との相互の対応を構成できて
それらが定義する"実数"は同じものと示せるわけか

（嘘しか書かない）

>>263
>集合に整列順序を与える公理が必要で それが 9）選択公理で 英語ではChoice のCで表して ZFCとなる
はい、大間違いです。
選択公理は整列順序を与える公理ではありません。実際、選択公理に依ることなく可算集合も順序数も整列集合です。

>コーシー列と直接関係するのが整列可能定理と 直積定理（無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない）の二つ
はい、大間違いです。

>整列可能定理で、有理数Qから 可算ωの整列が生成できる。それに収束という色を付ければ コーシー列
トンチンカンです。
整列可能定理に依ることなく有理コーシー列 0,0,・・・ の存在が言えます。

>直積定理で Q^Nを作れば (q0,q1,q2,・・・) の存在が言える これに収束という色を付ければ コーシー列ができる
はい、大間違いです。
直積定理に依ることなく Q^N の存在も有理コーシー列 0,0,・・・ の存在も言えます。

>このように、選択公理Cを認めれば 無限列や 無限直積の存在がいえて
はい、大間違いです。
実際認めなくても言えますから。

>（両者の存在が同値であることを再度強調しておく）
はい、大間違いです。
有理数列とはNからQへの写像、その全体が Q^N です。

>コーシー列の存在も容易に言えるだろう（少なくとも 選択公理Cを使わない場合よりも容易にね）
0,0,・・・ はコーシー列でないと？　頭だいじょうぶ？

>可算ωに限れば、選択公理C→可算選択公理ACω で間に合う
そもそも選択公理が不要

>そして、後の展開も楽だ
>つまり、有理数Qからコーシー列とかで 実数の集合Rを作ったとして
>直後に Rのコーシー列が必要になる 完備をいうために
>そのときになって 選択公理Cを使うならば、最初から認めておけば良い その方が話の展開が楽だってこと
0,0,・・・ はコーシー列でないと？　頭だいじょうぶ？

>勿論、基礎論として 何がどこまで厳密に必要なのか は、学術的には重要である
実数の構成に選択公理は不要

>それは、基礎論屋さんがやれば良いし それはもう終わっている話だろう■ （＾＾
不要で終わってる

>>181
なんで区別をつける必要があるんですか!？
区別をつける必要なんてないじゃないですか！
（自問自答）

KFCのCはchickenのCです。

>>266
>”どちらも実数の公理を満たすので同じもの”は、ZFCでは いろいろ文献があるようで
つまりあなたはまったく理解していないと。

>問題は、C抜きのZFそのまんまで どこまで言えるか？ですね
同型の違いを除いて一意であることが言えます。なぜなら実数の公理は二階の言語で記述されており（連続の公理は任意の上に有界な非空部分集合についての主張）範疇性が従うから。
ペアノ算術には超準モデルが存在するがペアノの公理には標準モデルしか存在しないのとまったく同じ理由で実閉体には超準モデルが存在するが実数体には標準モデルしか存在しません。

>（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）
まったくデタラメな妄言です。

>>271
それはおサルさん（現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP）が「数列を作るには無限回の選択が必要」と妄想しており、「証明の有限性に反する」とトンチンカンな言いがかりをしてるだけですねー
もともとが妄想にもとづく誤解から生まれた言いがかりなので無視でおｋ

>（ C→ACω（可算選択公理）でも 二つが同じは多分言えるみたい）
おサルの分かってるフリする病は治らないですね
1ミリも分かってないのに口から出まかせにデタラメ吐いてどうしたいのでしょう　赤っ恥かくだけなのに

ですね

>>274
⋯

Chicken抜きのKFなんて、何を食べれば良いのよw

>>266 補足
>けれどコーシー列や切断から作られるRは
>どちらも実数の公理を満たすので同じもの

可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは どうなるか？
google AIさんの答え下記
シッチャカメッチャカですね （＾＾

1）
(google検索)
what role of Axiom of countable choice in Completeness of real numbers
AI による概要
The Axiom of Countable Choice (CC)
・Axiom of Countable Choice (CC): Given any sequence of non-empty sets, you can simultaneously choose exactly one element from each set in the sequence without needing an explicit rule.

How They Interact
In standard classical mathematics (ZFC), the Axiom of Choice is accepted, so these concepts are trivially equivalent. However, in foundational mathematics, their relationship is deeply nuanced:
・Equivalent Definitions:
To formally prove that every Cauchy sequence of rational numbers corresponds to exactly one Dedekind cut (or real number), you frequently must choose representatives from a countable infinity of sets.
The axiom of countable choice enables this step.
・The Constructive Context:
In constructive mathematics, mathematicians who reject the full Axiom of Choice often accept Countable Choice. In this setting, CC is used to establish the Fundamental Theorem of Algebra and the Bolzano-Weierstrass theorem, which rely fundamentally on the completeness of real numbers.

Where You Need CC in Analysis
If you are working with real numbers and sequential properties, Countable Choice ensures that you can move from a "there exists" statement for each step in a sequence to a single function (sequence) of choices.
・Establishing the equivalence of sequential compactness and topological compactness for the real numbers.

つづく

つづき

2）
(google検索)
what happens in construction of the real number set without countable choice axiom
AI による概要
The core definitions—like Dedekind cuts or Cauchy sequences—still stand, but the relationships between these constructions and certain properties of R change dramatically
The fundamental changes without Countable Choice include:
https://www.youtube.com/watch?v=WaxiL4IRIYw&t=70
MetaMaths
143,161回視聴 2021/03/16

The fundamental changes without Countable Choice include:
1. Countable Unions of Countable Sets Can Be UncountableIn standard math (ZFC), the countable union of countable sets is countable. However, without Countable Choice, it is perfectly consistent with ZF that the real numbers are the countable union of countable sets. This fundamentally contradicts classical intuition about R being "larger" than Q.

2. The Divergence of Different Constructions
・Dedekind Reals: Numbers defined by partitioning the rational numbers into two sets where every element in the left set is smaller than every element in the right set.Without Choice, you may have Dedekind reals that do not correspond to any sequence of Cauchy reals.

3. Disconnected Metric Spaces
Without Countable Choice, standard theorems about limits and continuity fail to hold uniformly.
・A real number x might be in the closure of a set, but you cannot prove there is a sequence that converges to x.
・Functions that are intuitively continuous (like polynomial or trigonometric functions) might fail to be sequentially continuous (i.e., preserving limits of sequences).

4. Countable Additivity of MeasureThe standard way we measure the length of sets (Lebesgue measure) on the real line assumes that the countable sum of measure-zero sets is still measure-zero. Without Countable Choice, you can lose this property, leading to a breakdown in measure theory and probability theory on the real line.
In summary, working without Countable Choice strips R of its "nicely ordered" limit properties. While you can still define and work with the set, the underlying topology becomes chaotic, and traditional tools of calculus and analysis become difficult to prove or outright false.

If you are exploring the foundations of mathematics, tell me if you'd like to dive into:
・How Dedekind cuts differ from Cauchy sequences without choice.
・Constructive mathematics and how it restricts the use of infinity.
・Specific paradoxes that arise in Lebesgue measure theory without the axiom.
(引用終り)
以上

テゴマス

（嘘吐きは責任転嫁もする）

>>271
>なんで区別をつける必要があるんですか!？
>区別をつける必要なんてないじゃないですか！
>（自問自答）

多分 デデキントならば こういうだろう
”集合が デデキント無限か、そうでないか？ は、大違いです”

別に、下記の 拡大実数 無限大 +∞ と −∞ の二つを導入する
例えば 算術演算 +∞±a＝+∞
つまり 無限大に 有限aを 足しても引いても やっぱ無限大で変らない
これは、有限実数にはない性質

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B との間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるという。
デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
拡大実数（かくだいじっすう、英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う。

算術演算
実数全体 R における四則演算は、以下の規約により部分的に R まで拡張することができる。
https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f2bb9c91cfa42c782ee553429f35b8fd9cc14e

　∞　 ｾｷﾆﾝﾃﾝｶ
（ ·д·）（>>282）

無添加ﾀﾞｮ。
　∞　
（ ·д·）（>>282）

責任ゎ無添加だょ。
　∞　
（ ·д·）（>>282;）

＼ ﾊﾞﾀﾝｯ!☆ ／
煤aю☆彡（>>282;）

>>279-780
>可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは どうなるか？
>google AIさんの答え下記
>シッチャカメッチャカですね （＾＾

まとめを書いておこう
可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは・・
1）コーシー列とデデキントカットの同値は言えない（別物？）
2）"This fundamentally contradicts classical intuition about R being "larger" than Q. "
3）”A real number x might be in the closure of a set, but you cannot prove there is a sequence that converges to x.”
4）”Functions that are intuitively continuous (like polynomial or trigonometric functions) might fail to be sequentially continuous (i.e., preserving limits of sequences).”
5）”Countable Additivity of MeasureThe standard way we measure the length of sets (Lebesgue measure) on the real line assumes that the countable sum of measure-zero sets is still measure-zero. Without Countable Choice, you can lose this property, leading to a breakdown in measure theory and probability theory on the real line.”
6）”In summary, working without Countable Choice strips R of its "nicely ordered" limit properties. While you can still define and work with the set, the underlying topology becomes chaotic, and traditional tools of calculus and analysis become difficult to prove or outright false.”

”In summary, working without Countable Choice strips R of its "nicely ordered" limit properties. While you can still define and work with the set, the underlying topology becomes chaotic, and traditional tools of calculus and analysis become difficult to prove or outright false.”

（嘘しか書かない）

（選択公理とはどんなものかを全く理解していない）

（憐れ）

>>284-287
応援ありがとう

ｾｷﾆﾝﾃﾝｶ か

おかしいねよ？ 可算選択公理ACω なしで 実数の構成できると言った人がいたけど
たしかに、形式的には デデキントカット、コーシー列も それらしい まねごとは出来たとしても
ガウスやコーシー、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキント、カントール、ヒルベルト
らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね

可算選択公理ACω なしで構成した 実数の責任は？
だれが どうとる？

（憐れ）

（形式的にできると認めざるを得ないとは分かっていてただ理解が追いつかないだけか）

テンプレ入りかな？
>可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは・・
>1）コーシー列とデデキントカットの同値は言えない（別物？）

彼の人がなぜ理解が追いつかないのか
それは自分で考えていないからです
大したことでも無いのに
間違った考えに固執して
突き詰めて考えることを
放棄しているからですね

テンプレ入りです
>おかしいねよ？ 可算選択公理ACω なしで 実数の構成できると言った人がいたけど
>たしかに、形式的には デデキントカット、コーシー列も それらしい まねごとは出来たとしても
>ガウスやコーシー、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキント、カントール、ヒルベルト
>らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね
>
>可算選択公理ACω なしで構成した 実数の責任は？
>だれが どうとる？

>>288
>可算選択公理さえ仮定しない ZFのみでは・・
>1）コーシー列とデデキントカットの同値は言えない（別物？）
ソースは？

>>293
>形式的には デデキントカット、コーシー列も それらしい まねごとは出来たとしても
>ガウスやコーシー、リーマン、ワイエルシュトラス、デデキント、カントール、ヒルベルト
>らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね
君、実数の公理を知らんの？

実数の公理を知らんとは。そりゃ大学一年で落第したのも無理は無いね。

>>279
>However, in foundational mathematics, their relationship is deeply nuanced
Q.デデキント実数とコーシー実数が一致しないのはどういう場合？直観主義論理上の集合論？
A.おっしゃる通りです。デデキント実数とコーシー実数が不一致（非同型）になるのは、「直観主義論理（排中律なし）の上の集合論」や「構造主義的数学（トポス理論）」の世界です。純粋なZF集合論の中では、この2つは完全に一致（同型）します。

>(google検索)
サル畜生が訳も分からず検索しても無駄

まぁいいんだけど、取り合えず>>302にきっちり回答して。君の妄想聞いても仕方ないから。

ZFでも実数Rは存在する

存在しないだのデデキント実数とコーシー実数は違うだの言ってるのは重度NPDで自分の持論こそ絶対の真理と信じ込んでるおサルだけ。
案の定>>302に回答できない。そりゃそうだ、妄想にソースなんて無い。

>>303
>>らが思っている実数（それは我々が求めている実数でもある）とはほど遠いよね
>君、実数の公理を知らんの？

ふっふ、ほっほ
”実数の連続性”ja.wikipedia
『実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある』
倒錯だよ
求めているのは 選択公理のないZF公理系で何ができるか？だ
”実数の公理”を前提にした議論とは、真逆だよ
で、実数の連続性で デデキント切断は簡便なれど コーシー点列は 完備距離空間へ繋がる発展性がある
つまり、実数Rのあとに 複素数Cのコーシー点列の収束を扱う必要があるから

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある
なお、ここで言う連続性は、関数の連続性とは別の概念である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E5%88%87%E6%96%AD
デデキント切断
概論
以下では全順序集合 K として有理数をとり、「切断が一つの数を確定する」ことを公理に採用して有理数の"隙間"を埋める形で、実数を構成する。仮に上記の A, B をそれぞれ下組、上組としておく。
有理数の切断を与えることで、切断に対応する実数をただ一つ定めることができる。
一般に全順序集合の切断には、四つの場合が考えられる。
1.下組の最大元と上組の最小元がある
2.下組には最大元があるが、上組に最小元がない
3.上組には最小元があるが、下組に最大元がない
4.下組の最大元、上組の最小元ともにない
有理数の場合、稠密性から任意の二つの有理数の間に無数の有理数が存在するため、切断1は不可能である。切断2および切断3の場合は、それぞれ下組の最大元、上組の最小元にあたる有理数に対応し、切断4の場合は、無理数に対応する。
上記の方法による実数の定義は、実数の連続性と同値である。 実際、上記の方法で構成された実数に対して切断を行った場合、切断4は不可能となり、切断2もしくは切断3のいずれかになるため、対応する境界の元がただ一つ定まる。これをデデキントの定理と言う

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
完備距離空間
距離空間 M が完備（complete）またはコーシー空間（Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 ℚ は完備でないが、これは例えば2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので ℚ からははみ出してしまう。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である

>>293
>可算選択公理ACω なしで構成した 実数の責任は？
>だれが どうとる？
誰も取らない。存在しない責任は取り様が無い。
君こそ公開掲示板で嘘デタラメ撒き散らした責任をどう取るの？

>>310
>求めているのは 選択公理のないZF公理系で何ができるか？だ
実数の構成

>”実数の公理”を前提にした議論とは、真逆だよ
倒錯してるね。実数の構成において実数の公理は論証の結論であって仮定ではない。

>倒錯だよ
君がね

>>305
(引用開始)
>>279
>However, in foundational mathematics, their relationship is deeply nuanced
Q.デデキント実数とコーシー実数が一致しないのはどういう場合？直観主義論理上の集合論？
A.おっしゃる通りです。デデキント実数とコーシー実数が不一致（非同型）になるのは、「直観主義論理（排中律なし）の上の集合論」や「構造主義的数学（トポス理論）」の世界です。純粋なZF集合論の中では、この2つは完全に一致（同型）します。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
AI対決か
君のは Grokだったね
それ ハルシ（迎合）じゃね？
”純粋なZF集合論の中では、この2つは完全に一致（同型）します”をやってもらえ
それを、google AIにかけるぜよ

二つ追加しておくね
　>>279 より
The Axiom of Countable Choice (CC)
・Axiom of Countable Choice (CC): Given any sequence of non-empty sets, you can simultaneously choose exactly one element from each set in the sequence without needing an explicit rule.
（付記）
ようするに、無条件で可算の選択ができる
ここから、可算無限列ができることは、調べればすぐ分るだろう
逆に、Axiom of Countable Choice (CC)がなければ、これが否定される

　>>280
The fundamental changes without Countable Choice include:
1. Countable Unions of Countable Sets Can Be UncountableIn standard math (ZFC), the countable union of countable sets is countable. However, without Countable Choice, it is perfectly consistent with ZF that the real numbers are the countable union of countable sets. This fundamentally contradicts classical intuition about R being "larger" than Q.
2. The Divergence of Different Constructions
・Dedekind Reals: Numbers defined by partitioning the rational numbers into two sets where every element in the left set is smaller than every element in the right set.Without Choice, you may have Dedekind reals that do not correspond to any sequence of Cauchy reals.
（付記）
1．”This fundamentally contradicts classical intuition about R being "larger" than Q.”な
　選択公理が 比較可能定理：任意の集合の濃度は比較可能 同値命題であることを思いだそう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
2．”Without Choice, you may have Dedekind reals that do not correspond to any sequence of Cauchy reals.”
　(google訳 選択公理がない場合、コーシー実数のどの列にも対応しないデデキント実数が存在する可能性があります）
　思うに、選択公理がない場合は コーシー実数の構成が不十分で 不足する部分があるよと

ソースが無ければ醤油をかければ良いじゃない。
～マリーアントワネット～

２７℃
くもり時々晴れ

>>310
実数の公理からの演繹を探求するのが「実数論」。
実数の公理のモデルの存在を示すのが「実数の構成」。これは実数論の無矛盾性を保証する。

おサルさん、大学数学がちんぷんかんぷん。だから1年で落第した。

雷注意報
発令中

>>313
ぐだぐだ言ってないで>>302にずばり回答して
君の妄想聞いても仕方ないと言ったよね？

２８℃
晴れのちくもり

>>313
>　(google訳 選択公理がない場合、コーシー実数のどの列にも対応しないデデキント実数が存在する可能性があります）
だからZFでそうであるというソースを出してって言ってるんだけど。なんで出さないの？無いから？

>思うに、選択公理がない場合は コーシー実数の構成が不十分で 不足する部分があるよと
だから君の妄想を聞いても仕方ないって言ってるんだけど。なんで妄想が正しいと思うの？重度NPDだから？

２８℃
晴れのちくもり

ほんとサルは妄想語るの大好きだよな
妄想は聞き飽きたからソースよろ〜

２８℃
晴れのちくもり

私は果たして醤油・ソース顔のどちらだろうか。

>>309
ですね
AIの嘘をそのままコピペしてるだけ

おサルさん「演繹？モデル？無矛盾？なにそれ美味しいの？」

数学における実数論と実数の構成の位置づけもちんぷんかんぷんなおサルさんでしたとさ

>数学における実数論と実数の構成の位置づけもちんぷんかんぷんなおサルさんでしたとさ
おサルさんは big picture が弱いね
検索＆コピペで分かってるフリしてても big picture は描けないぞ

>>261
CS(Q)={(xm)∈Q^N|0<∀ε∈Q,∃n∈N,n<∀i,j∈N: xi<xj+ε∧xj<xi+ε}
DC(Q)={X⊂Q|φ≠X≠Q,∀x∈X,∀y∈Q-X: x<y}
={X⊂Q|φ≠X≠Q,X=∪{(-∞,x]|x∈X}}
L:CS(Q)→P(Q):L((xm))=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
x∈∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
∀m∈N: x∈∪{(-∞,xn]|m<n}
∀m∈N,m<∃n∈N: x∈(-∞,xn]
∀m∈N,m<∃n∈N: x≦xn
∀m∈N,m<∃n∈N: (-∞,x]⊂(-∞,xn]
∀m∈N: (-∞,x]⊂∪{(-∞,xn]|m<n}
(-∞,x]⊂∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}
L((xm))∈DC(Q)
L:CS(Q)→DC(Q)
X,Y∈DC(Q)
X〜Y ::⇔ ∃z∈Q: X=Y∪{z}∨Y=X∪{z}
R=DC(Q)/〜
L((xm))〜L((ym))
∃z∈Q: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}=∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}∪{z}∨∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}=∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}∪{z}
∃z∈Q: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}=∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}∪{z}
∃z∈Q,∀m∈N: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}⊂∪{(-∞,yn]|m<n}∪{z}
∃z∈Q,∀m∈N,m<∃n∈N: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}⊂(-∞,yn]∪{z}
∃z∈Q,∀m∈N,m<∃n∈N: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}⊂(-∞,yn]
∃z∈Q,∀m∈N: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}⊂∪{(-∞,yn]|m<n}
∃z∈Q: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}⊂∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}
∃z∈Q: ∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}=∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}∪{z}⊂∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}
z∈∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}
∩{∪{(-∞,xn]|m<n}|m∈N}=∩{∪{(-∞,yn]|m<n}|m∈N}

https://youtu.be/EE_GsDBfYQ0?si=MqJYsIjJ558IiHNB

その調子で走り回ってリングアウトだ！

止まらない！独り証明が止まらないぞ！